Analízis 1 képsor tartalma:

Egységkör, Egységvektor, Forgásszög, Fok, radián, Trigonometria, Trigonometrikus függvények, Szinusz, Koszinusz, Periodikus függvények, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometrikus azonosságok, a középiskolás matek felelevenítése.

A képsor tartalma

Itt egy csodálatos kör, aminek a középpontja az origó és a sugara 1.

Ezt a kört egységkörnek nevezzük.

Az egységkör pontjainak x és y koordinátái -1 és 1 közé eső számok.

Ezekkel a koordinátákkal foglalkozni meglehetősen unalmas időtöltésnek tűnik…

Mivel azonban a matematikában mágikus jelentőségük van, egy kis időt mégis szakítanunk kell rájuk.

Itt van mondjuk ez a P pont.

Az egységkörben az x tengely irányát kezdő iránynak nevezzük,

a P pontba mutató irányt pedig záró iránynak.

A két irány által bezárt szög lehet pozitív,

és lehet negatív.

A szöget pedig mérhetjük fokban és mérhetjük radiánban.

Nos ez a radián egész érdekesen működik:

a szögek mérésére az egységkör ívhosszát használja.

Van itt ez a szög, ami fokban számítva

És most lássuk mi a helyzet radiánban.

A kör kerületének a képlete .

Az egységkör sugara 1, tehát a kerülete .

A 45fok a teljes körnek az 1/8-a,

így a hozzá tartozó körív is a teljes kerület 1/8-a vagyis

Nos így kapjuk, hogy

Most pedig lássuk az egységkör pontjainak koordinátáit.

Kezdjük ezzel, amikor

Ezt jegyezzük föl.

A jelek szerint ez egy egyenlő szárú háromszög, tehát x=y.

Jön a Pitagorasz-tétel:

Most nézzük meg mi van akkor, ha

Ha egy háromszögben van két -os szög, akkor a háromszög egyenlő oldalú.

És most jön a Pitagorasz-tétel.

Az  esetét elintézhetjük egy tükrözés segítségével.

Ha az -os esetet tükrözzük, akkor pedig eljutunk -hoz.

-nál túl sok számolásra nincs szükség.

Ahogyan –nál és -nál sem.

És most elérkezett az idő, hogy nevet adjunk ezeknek a koordinátáknak.

Az x koordinátát hívjuk Bobnak,

az y koordinátát pedig…

Nos mégsem olyan jó név a Bob. Egy K-val kezdődő név jobban hangzana.

Legyen mondjuk koszinusz.

A másik pedig szinusz.

Rögtön folytatjuk.

A P pont x koordinátáját -nak nevezzük.

Az y koordinátáját -nak.

Kezdjük néhány egyszerűbb egyenlettel.

Nagyon tipikusak azok a másodfokú egyenletek, amelyek trigonometrikus egyenletnek álcázzák magukat.

Íme itt egy ilyen:

Itt jön a megoldóképlet:

A koszinusz mindig -1 és 1 közt van,

így aztán az első eset nem túl valószínű.

 Lássuk mi történik a másik esetben.

Szintén tipikus csel, hogy az egyenletben először alkalmazni kell ezt az azonosságot és kapunk másodfokú egyenletet.

Lássunk egy ilyet is.

Az egyenletben első fokon cosx szerepel,

ezért akkor járunk jól, ha mindenhol cosx lesz.

Most pedig lássunk egy izgalmasabb egyenletet.

A szinusz úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja,

a zöld megoldás pedig úgy jön ki, a két szög összege mindig egy egyenest kell, hogy adjon.

A koszinusz sokkal kellemesebb, itt a kék megoldást adja a számológép,

a zöld pedig mindig ennek a mínuszegyszerese.

A tangens úgy működik, hogy a kék megoldást a számológép adja,

a periódus pedig nem  hanem .

A koszinusz a szokásos.

Trigonometrikus egyenletek megoldása

07
 
Itt jön egy fantasztikus
Analízis 1 képsor.

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!