Lineáris algebra képsor tartalma:

Mátrixok definitsége, Sarokfőminor, Sarokdetermináns, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit, Pozitív szemidefinit, Negatív szemidefinit, Sajátérték, Sajátvektor, Karakterisztikus egyenlet.
 

A képsor tartalma

Néhány nagyon vicc es mátrixokkal kapcsolatos fogalommal fogunk megismerkedni.

Az első ilyen fogalom a sarokdetermináns vagy másnéven sarokfőminor.

Van itt egy mátrix:

Ennek a mátrixnak az első sarokfőminora ez a 2-es

A második sarokfőminor a

bal felső -es determináns

A harmadik sarokfőminor a

bal felső -as determináns

Ennek kiszámolása elég unalmas, de a kifejtési tétellel az jön ki, hogy

A negyedik sarokfőminor pedig

az egész mátrix determinánsa

Amit még az előzőnél is unalmasabb kiszámolni, de a kifejtési tétel szerint

A másik nagyon vicces fogalom a mátrixok definitsége lesz.

A definitség megállapításához pedig éppen ezek a főminorok fognak nekünk kelleni, pontosabban az, hogy milyen előjelűek.

Most éppen az első sarokfőminor pozitív, a második szintén pozitív,

a harmadik és negyedik pedig negatív.

Lássuk a definitséget.

Az   -es mátrix

pozitív definit,

ha

negatív definit,

ha

pozitív szemidefinit,

ha

negatív szemidefinit,

ha

indefinit,

ha

minden  sajátérték:

minden  sajátérték:

minden  sajátérték:

minden  sajátérték:

van  és  sajátérték

 és

-es mátrixoknál a definitség a sarokfőminorok alapján is eldönthető:

mindkét sarokfőminor

pozitív

az első negatív, a

második pozitív

az első pozitív, a

második nulla

az első negatív, a

második nulla

a többi esetben

-es mátrixoknál a definitség már nehezebben dönthető el a sarokfőminorok alapján:

minden sarokfőminor

pozitív

váltakozva   -  +  -  +

de mínusszal indul

Ha  és nem az előző két esettel van dolgunk,

akkor biztosan indefinit.

Ha  akkor nem tudni, ilyenkor csak

a sajátértékek kiszámolásával dönthető el.

Lássunk néhány mátrixot és állapítsuk meg a definitségüket.

Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.

A sajátértékeket csak a legvégső esetben számoljuk ki, ha a sarokfőminorokkal szerencsétlenül járunk. Kezdjük az -val.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Az  mátrixnak minden sarokfőminora pozitív, tehát pozitív definit.

Nézzük mi van a  mátrixszal.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Itt is jön a kifejtési tétel, de nem szeretnék senkit untatni vele, az eredmény -15

A  mátrix sarokfőminorai váltakozó előjellel - + - + - … ezért negatív definit.

Jöhet a .

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Már megint a kifejtési tétel, de ne húzzuk az időt, az eredmény 1

A sarokfőminorok itt is váltakozó előjelűek, de most + - +

Negatív definit csak olyankor van, ha a váltakozás mínusszal indul, tehát ez most nem lehet negatív definit.

Pozitív definit sem, mert akkor minden sarokfőminor pozitív, tehát marad a két szemidefinit és az indefinit.

A szemidefiniteknél viszont a mátrix determinánsa nulla.

Most  ami nem éppen nulla, tehát indefinit.

A  mátrix sarokfőminorai alapján nem lehet pozitív vagy negatív definit,

viszont  miatt szemidefinit sem lehet ezért indefinit.

Végül lássuk mi van -vel.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Hát ennél rosszabb nem is történhetett volna.

Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor vagy valamelyik

szemidefinit vagy indefinit, de csak úgy tudjuk eldönteni,

ha kiszámoljuk a sajátértékeit.

Lássuk tehát a sajátértékeket.

A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki

Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.

Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.

és összevonunk

végül kiemelünk

A sajátértékek:

 Kiemelünk 3-at

Mindhárom  sajátértékre teljesül, hogy

a  mátrix tehát pozitív szemidefinit.

Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig

különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-

vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát  is diagonalizálható.

Lássuk a hasonló mátrixokat!

így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,

csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.

Mátrixok definitsége

08
 
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Mátrixok definitsége, Sarokfőminor, Sarokdetermináns, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit, Pozitív szemidefinit, Negatív szemidefinit, Sajátérték, Sajátvektor, Karakterisztikus egyenlet.
 

Itt jön egy fantasztikus
Lineáris algebra képsor.

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!