Lineáris algebra képsor tartalma:

Lineáris egyenletrendszerek, Együtthatómátrix, Kibővített együtthatómátrix, Gauss elimináció, Gauss algoritmus, Elemi bázistranszformáció, Pivot elem, Generáló elem, Általános megoldás.
 

A képsor tartalma

Itt volna az áldozat, ezt fogjuk megoldani.

Az egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

A jobb oldali konstansok pedig egy vektor.

Íme, az egyenletrendszer mátrixos alakja:

Node térjünk a tárgyra. Az egyenletrendszer megoldásának alapötlete a következő.

Ha van itt mondjuk egy ilyen, hogy

akkor ezt egy trükk segítségével tudjuk a legkönnyebben megoldani.

Ha az első egyenletből kivonjuk a másodikat:

Ha pedig az első egyenletből a második egyenlet háromszorosát vonjuk ki, akkor:

Ezt a trükköt fogjuk hasznosítani 3 vagy akár több ismeretlen esetén is.

A célunk az lesz, hogy átalakítsuk az egyenletrendszert egy jóval barátságosabb egyenletrendszerré, ahol minden sorban csak egy ismeretlen van.

Olyanná, mint ez.

Lássuk hogyan.

AZ EGYENLETRENDSZER                                  CSAK A MÁTRIXOS ALAK

Ezeket fogjuk először eltüntetni.

Az első egyenletet beszorozzuk 2-vel és kivonjuk a másodikból és a harmadikból.

A középső egyenletet elosztjuk 3-mal

Aztán a 2-szeresét levonjuk a felső egyenletből.

Az 5-szörösét pedig hozzáadjuk az alsó egyenlethez.

Az alsó egyenletet elosztjuk 3-mal.

Végül az alsó egyenletet hozzáadjuk a felsőhöz.

És kivonjuk a középsőből.

A megoldás során az egyenletekkel pontosan ugyanazokat a műveleteket végeztük, mint a mátrixos alakban.

A mátrixos alak viszont sokkal letisztultabb, ezért a két változat közül érdemes inkább azt használni.

Hamarosan azonban mindkét változatot küldhetjük is a múzeumba, mert jön egy sokkal szuperebb harmadik változat.

Az eddigi módszereket Gauss-eliminációnak szokás nevezni, ami most jön, nos az pedig a szuper-Gauss.

A szuper-Gauss előnye, hogy sokkal rövidebb és lehetetlen elrontani.

Nézzük meg.

GAUSS-ELIMINÁCIÓ                       SZUPER-GAUSS (ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ)

Itt volna az áldozat, ezt fogjuk megoldani.

Az egyenletrendszer együtthatómátrixa az x-ek együtthatóiból álló mátrix.

A jobb oldali konstansok pedig a  vektor.

Maga az egyenletrendszer pedig:

Node térjünk a tárgyra. A bázistranszformác ió kiinduló táblázata az együtthatómátrixból

és a  vektorból áll.

Van itt egy marhajó 1-es.

Ezt fogjuk választani.

1. GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA

Csak x-es oszlopból és e-s sorból választhatunk generáló elemet,

nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy mínusz 1-et érdemes

Válasszuk mondjuk ezt.

2. A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

generáló elem

a generáló elem oszlopát elhagyjuk

a generáló elem sorát

leosztjuk a generáló elemmel

a többi elemmel ez történik:

3. MEGINT GENERÁLÓ ELEM ÉS BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ

Újra és újra végrehajtjuk a bázistranszformációt,

amíg az összes oszlop el nem tűnik.

Ez az 1-es nagyon csábító választás lenne, de nem

lehet, mert csak e-s sorból választhatunk.

Ráfanyalodunk tehát mondjuk erre a mínusz 3-ra.

Ez az 1-es igazán csábító, de sajnos e-s sorban van így kénytelenek vagyunk mást választani.

Megint választunk egy generáló elemet.

Már csak ez az egy marad.

4. AZ UTOLSÓ TRANSZFORMÁCIÓ ÉS A MEGOLDÁS

MEGINT GENERÁLÓ ELEM

A megoldás leolvasása roppant egyszerű, mindegyik x éppen annyi, amilyen szám mellette a b oszlopban szerepel.

ilyen szám mellette a oszlopban szerepel.

Az egyenletrendszert ezzel megoldottuk! Soha ne legyen rosszabb.

Ha megnézzük a Gauss-elimináció és szuper-Gauss táblázatait, akkor látni, hogy pontosan ugyanazokat a lépéseket csináljuk végig.

Ez olyan, mintha Londonból akarnánk New Yorkba utazni, lényegében ugyanazon az úton megyünk akkor is ha gőzhajóval utazunk és akkor is ha repülővel.

Ahogyan azonban a repülővel való utazásnak is vannak bizonyos előnyei, nos a szuper-Gaussnak is lesznek, ezeket hamarosan meglátjuk.

Egyenletrendszerek megoldása, az elemi bázistranszformáció

01
 
Itt jön egy fantasztikus
Lineáris algebra képsor.

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!