A végtelen

Valahol egy távoli hegycsúcs tetején különös szállodához érkezik egy utazó. A szálloda különlegessége, hogy végtelen sok szobája van és az érkezés estéjén éppen egyik szoba sem üres. Amikor az utazó megkérdezi a portástól, hogy van-e esetleg egy szabad szoba számára, az sajnálkozva csóválja a fejét, hogy sajnos minden szoba foglalt. Kis idő múlva aztán mégis eszébe jut valami, hogy miként tudná elhelyezni újdonsült vendégét. Egy pillanat türelmet kér a vendégtől, bemond valamit a szálloda hangosbemondóján, majd széles vigyorral átadja az utazónak az 1-es szoba tartalék-kulcsát. A kérdés, hogy mit mondhatott vajon a portás a többi vendégnek, aminek hatására az 1-es szoba ilyen szerencsés módon fölszabadult.

Ez a kis mese akár egy vicces találós kérdés is lehetne, de ennél sokkal nagyobb jelentőségű. A történet ugyanis David Hilbert német matematikustól származik, aki a halmazelmélet megszületésének hajnalán ezzel próbálta meg szemléltetni a végtelen halmazok egyik meghökkentő tulajdonságát. A képzeletbeli szálloda portása ugyanis azt kérte a szálloda lakóitól, hogy mindenki költözzön át egy eggyel nagyobb sorszámú szobába. Mivel a szálló végtelen sok szobával rendelkezik, így egyik lakónak sem okoz problémát, hogy az utasítást végrehajtsa, hiszen mindenki, aki kilép szobája ajtaján, talál mellette egy eggyel nagyobb sorszámút, az új vendég számára pedig ily módon felszabadul az 1-es szoba. Ez az ártatlan kis történet a végtelen elemszámú halmaz precíz matematikai definíciója is egyben. A szálloda „régi” lakói egy valódi részhalmazát alkotják az összes lakó halmazának – hiszen az új vendég nem tartozik bele – ám ez a részhalmaz mégis pontosan ugyanakkora elemszámú, mint az összes lakó halmaza, mivel a szálloda az új vendég érkezése előtt éppen ugyanúgy tele volt, mint érkezése után. Nos, ez a végtelen halmaz matematikai definíciója. Akkor nevezünk egy halmazt végtelennek, ha van olyan valódi részhalmaza, amelynek az elemszáma megegyezik a teljes halmaz elemszámával. Elsőre kicsit gyanúsan szemlélhetjük ezt az állítást – nevezetesen azt, hogy az új vendég megérkezésével hajszálpontosan ugyanannyi vendég van a szállóban, mint azelőtt – de hát éppen ez az, ami a végtelen halmazt különlegessé teszi.

A gyanús eseményeknek azonban ezzel még koránt sincs vége. Hilbert szállodája ugyanis az eddigieknél is különösebb dolgokra képes. Ha nem csak egyetlen új vendég érkezik, hanem végtelen sok, nos még az ő számukra is jut hely. Mindössze annyit kell tennie a régi lakóknak, hogy mindenki átköltözik egy kétszer akkora sorszámú szobába. Az 1-es szoba lakója a 2-esbe, a 2-es szoba lakója a 4-esbe, a hármas lakója a 6-osba, stb. Így minden páratlan sorszámú szoba üressé válik. Mivel pedig végtelen sok páratlan számú szoba van, a végtelen sok új vendég már be is költözhet. Ezzel arra az egyébként természetesnek tűnő állításra világítottunk rá, hogy az egész számok éppen kétszer annyian vannak, mint a páros számok – hiszen minden második szám páros – csak hát itt van aztán a végtelen halmaz meghökkentő viselkedése, hogy másrészt meg ugyanannyian vannak, hiszen létesíthető köztük egy egyértelmű megfeleltetés: 1→2; 2→4; 3→6; 4→8, stb.

A halmazok világában, ahol egyik másik halmaz sokszor nagyon zavarosan tud viselkedni, biztos pontot jelent számunkra az, ha tudunk egy egyértelmű megfeleltetést (bijekciót) létesíteni két halmaz elemei közt. Ha például egy banketten – ahol folyton jönnek-mennek a vendégek – szeretnénk megszámolni, hogy hányan is vannak valójában, nos egyáltalán nincs könnyű feladatunk. De, ha megszámoljuk az asztalokon a terítékeket, akkor ezzel egyúttal azt is megtudjuk, hogy hány vendég van jelen, hiszen létezik egy egyértelmű megfeleltetés a vendégek és a terítékek között. A halmazelméletben ez egy bevett szokás. Ennek a kis trükknek a segítségével mindjárt igazolni fogjuk azt a meglepő tényt, hogy 0 és 1 között pontosan ugyanannyi valós szám van, mint 1 és végtelen között. Ehhez nem kell mást tennünk, mint létesíteni egy egyértelmű megfeleltetést a 0 és 1 közti számok valamint az 1 és végtelen közti számok között. Itt is van: x→1/x.

Ezáltal minden 0 és 1 közti számnak pontosan megfeleltethető egy 1 és végtelen közti szám, vagyis akárcsak a terítékek és vendégek esetében, a két halmaz elemszáma itt is meg kell, hogy egyezzen. Másként fogalmazva nincs lényegi különbség a 0 és 1 közti intervallum, valamint az 1 és végtelen közti intervallum között. Ezt a tényt precízen úgy mondjuk, hogy a két halmaz topológiailag izomorf. Ez igazán remek, de ha előveszünk egy fehér papírlapot és egy ceruzát, akkor mégis azt tapasztaljuk, hogy a 0 és 1 közti intervallumot le tudjuk rajzolni, az 1 és végtelen köztit viszont nem. Éppen ez okozta azt a kis félreértést is, ami sokáig paradoxonként kísértett a görög filozófusok körében és Zénón nevéhez fűződik. Zénón több különböző formában is megfogalmazta azt a lényegét tekintve ugyanazt a paradoxont, amely Akhilleuszról és a teknősbékáról szól. Akhilleusz egyszer versenyre hívta a teknősbékát, ám tisztában volt saját fölényével és ezért adott a teknősbékának 100 láb előnyt. Nevezzük A0-nak azt a pontot ahol Akhilleusz áll és T0-nak azt, ahol a teknős a verseny megkezdésének pillanatában. A két pont távolsága ezek szerint 100 láb. Elkezdenek futni és Akhilleusz előbb-utóbb elérkezik T0-ba, ahol a teknős állt a rajt pillanatában. Ám ez idő alatt a teknős is megtesz valamekkora utat és így eljut a T1 pontba. Természetesen a verseny megy tovább és Akhilleusz elég hamar megérkezik a T1 pontba, ám ez alatt az idő alatt a teknős is tovább halad a maga nem túl gyors tempójában és elér a T3 pontba. Akhilleusz persze gyorsan megérkezik a T3 pontba is, de ezen idő alatt a teknős is előrébb jut a T4-be. A pontok távolsága természetesen rövidül, de minden olyan pillanatot, amikor Akhilleusz van hátul megint egy olyan pillanat követ, amikor ő van hátul, hiszen ahhoz, hogy megelőzze a teknőst először el kell jutnia abba a pontba, ahol a teknős korábban állt, ám ezalatt a teknős folyton előrébb halad és kezdődik minden előröl. A paradoxont az okozza, hogy mindenki tudja, hogy Akhilleusz a valóságban utoléri, sőt le is hagyja a teknőst, ám az előbbi gondolatmenetnek ez mintha ellentmondana. Több, mint 2000 évet kellett várni, mire matematikailag precíz magyarázatot lehetett adni arra, hogy mi is a hiba a zénóni gondolatmenet végkövetkeztetésében. Ehhez először az kellett, hogy a matematikusok elkezdjenek foglalkozni a végtelen összegekkel és azok meghökkentő tulajdonságaival. Ezeket a végtelen összegeket soroknak nevezzük, és az egyik legegyszerűbb ilyen sor a következő: 1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...

Próbáljuk meg kiszámolni ennek a sornak az összegét. Az ügy érdekében nevezzük el az összeget x-nek:

X=1+1/2+1/4+1/8+...

majd pedig szorozzuk be az egészet kettővel:

2x=2+1+1/2+1/4+...

Most a vastagon szedett rész éppen megegyezik az eredeti összeggel, amit X-nek nevettünk, így ha annak helyére x-et írunk:

2X=2+X

amiből X=2 következik. Nos ezen felbuzdulva próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet vajon 1+2+4+8+16+...

Az előző módszer alapján nevezzük el összegünket X-nek:

X=1+2+4+8+16+…

aztán pedig szorozzuk be 2-vel! Ekkor

2X=2+4+8+16+32+64+128+…

Az eredeti X=1+2+4+8+16+… összeg vastagon szedett részében megjelenik a 2X, amit oda be is helyettesítünk.

Így X=1+2X amiből X=-1.

Nos, ami azt illeti ezt eléggé nehéz elhinni. A XVII. század volt az, amikor ezek a problémák világot láttak és bénítóan hatott az, hogy a kettő hatványok összege hogy lehet -1. Születtek olyan teóriák is, hogy ha végtelen sok 1-est adunk össze, ugyebár végtelent kapunk eredményül, de ha az 1-nél nagyobb kettő-hatványokat adjuk össze, akkor az már olyan sok lesz, hogy valahogy túljut a végtelenen, túlcsordul, és így jutunk el a -1-be. 200 évig bajlódtak ezekkel a problémákkal, míg végre Augustin Cauchy francia matematikus megoldotta őket. Arra jött rá, hogy végtelen sok számnak nem feltétlen kell, hogy legyen összege. Ha például szeretnénk kiszámolni, hogy mennyi 1-1+1-1+1-1... akkor helyes eredménynek tűnik a nulla, hiszen 1-1=0 és végső soron ezeket adjuk össze: (1-1)+(1-1)+(1-1)+...

Csak hát az a baj, hogy ha az első tagot leválasztjuk, és a második tagtól kezdve párosítjuk a tagokat úgy, hogy -1+1=0 akkor 1-1+1-1+1-1+1...=1+0+0+0+... vagyis a végeredmény 1. Sőt, ha a korábbi gondolatmenetünket alkalmazzuk és elnevezzük a szóban forgó összeget X-nek, akkor X=1-1+1-1+1-1+1… amit beszorozva (-1)-el azt kapjuk, hogy -X=-1+1-1+1-1+1-1+1-…

Mármost az eredeti X=1-1+1-1+1-1+1… összegben a vastagon szedett rész helyére -X írható. Ekkor tehát X=1+(-X) vagyis X=1-X így 2X=1 és X=1/2. Ez immáron a harmadik eredmény ugyanarra az összegre, és ellentétben az előzőekkel még csak nem is egész szám.

Cauchy arra jött rá, hogy ha végtelen sok számot adunk össze, az egy folyamat, amely során vagy eljutunk valahova vagy nem. Vagyis a statikus helyett dinamikus szemlélet szükséges. A szemléletmód tehát megváltozott. Képzeljük el például az 1+1/2+1/4+1/8+1/16+… összeget úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen. A bolha fáradékony, ezért ugrásai egyre kisebbek. Éppenséggel mindig fele akkorát ugrik, mint azelőtt. Vajon hova fog ez a bolha eljutni?

A bolha a kettő felé igyekszik és véges sok ugrással azt sosem képes elérni. Végtelen sok ugrásának összege azonban a kettő és ez az 1+1/2+1/4+1/8+1/16+… végtelen sor összege is. A sor összege tehát azért a kettő, mert a bolha ugrásai során a kettő felé tart, és ahogy ugrásainak száma egyre nagyobb, ő tetszőlegesen közel kerül a kettőhöz.

Így már érthető, hogy miért kaptunk meglepő eredményt az 1+2+4+8+16+… sor összegére. Ebben az esetben ugyanis egy olyan bolhával van dolgunk, aki egyáltalán nem fáradékony és szemmel láthatóan a végtelen felé igyekszik.

Mivel pedig a végtelen nem úgy viselkedik, mint egy közönséges szám, így aztán nem is végezhettük el vele azokat a műveleteket, amelyekkel a -1 jött ki végeredménynek.

A sorokkal kapcsolatos vizsgálódások világítanak rá arra is, hogy mi a hiba a zénóni gondolatmenetben. Zénon – és vele együtt a kor többi filozófusa – úgy tekintett a végtelenre, mint valami távoli megfoghatatlanra, ami soha el nem érhető. Akárcsak az 1+2+4+8+… sor bolhája, aki már negyedik ugrásával eltűnt az ábránkról. Ám a helyzet az, hogy Akhilleusz és a teknősbéka esetében egy olyan végtelennel van dolgunk, mint amilyet az 1+1/2+1/4+1/8+… sor esetében láthattunk. Vagyis hiába ugrik végtelen sokat a bolha, mégsem jut túl még a kettes számon sem. Éppen ez történik Akhilleusszal és a teknőssel is. Akhilleusz valóban végtelen sok időpillanatban tartózkodik a teknős mögött, ám ezek az idők rövidülnek, akárcsak a bolha ugrásai és ahogyan van szám a 2 után is – ahova bolhánk már nem képes eljutni – van idő a végtelenen túl is, ott pedig már bizony Akhilleusz van elől.

A végtelennek ezen tudományos színrelépése sikeresen leszámolt számos hasonló, több száz vagy éppen több ezer éve kísértő tévképzettel. Sajnos azonban ezzel egyidőben újabb megoldatlan problémák bukkantak föl. A halmazelmélet 19-ik század eleji fejlődésével egyre nagyobb igény merült fel a végtelen halmazok tulajdonságainak leírására. Azon már túltettük magunkat, hogy bizonyos halmazokhoz hozzávéve egy elemet pontosan annyi elemük van, mint azelőtt. Azon is, hogy az egész számok ugyanannyian vannak, mint a páros számok, sőt azon is, hogy a 0 és 1 között pontosan ugyanannyi szám van, mint 1 után az összes. Ezekből mind arra következtethetünk, hogy ha egyszer egy halmaz elemszáma eléri a végtelent, akkor ott már nincs lényegi különbség halmaz és halmaz között, szinte bármit csinálhatunk vele, az elemszáma végtelen marad. Egészen 1878-ig nem igazán volt eszköz a matematikusok kezében arra, hogy végtelen és végtelen között érdemi különbséget tegyenek, mígnem egy orosz születésű Németországban tevékenykedő matematikus Georg Cantor megteremtette ennek lehetőségét. A dolog nem ment könnyen, az erről írt cikkét meg sem akarták jelentetni forradalmi gondolatai miatt. Cantor rájött arra, hogy az egész számok valahogy nem úgy vannak végtelen sokan, mint a valós számok, vagyis végtelen és végtelen között minőségbeli különbség tud lenni. Az egész számok végtelenje kisebb, mint a valós számoké. Bevezette az egész számok végtelenjére az 0 (alef-null) jelölést, és ezt tekintette a végtelenek méréséhez használt alapegységnek. A szállodás történetből tudjuk, hogy 0 +1= 0 és azt is onnan tudjuk, hogy 0 + 0 = 0 . Sőt, az is igazolható, hogy 0 + 0 + 0 +…= 0 vagyis végtelen sok 0 összege is csak 0 lesz. Az egész számok tehát 0 –nyian vannak, de mi a helyzet vajon a racionális számokkal? Azok ugyanis mintha jóval többen lennének, hiszen bármely két egész szám közt végtelen sokan vannak, sőt bármely két racionális szám között is végtelen sokan vannak. A kérdést egy másik Cantor által alkotott fogalom, a megszámlálhatóság segítségével tudjuk tisztázni. Az egész számok végtelenjét az teszi ugyanis átláthatóvá, hogy van egy természetes sorrendje az elemeknek, a 0 után az 1 következik, az 1 után a 2 jön, a 2 után a 3 és így tovább. A racionális számoknál ilyen nincs, mert mi is következik az 0 után? Az 1/2-nél kisebb az 1/3, aminél viszont kisebb az 1/4 és így tovább, tehát nem létezik a 0-t követő racionális szám. Egy ravasz eljárással azonban a racionális számok is felfűzhetők egy láncra. Ezzel pedig kiderül, hogy bár jóval bonyolultabban helyezkedek el a számegyenesen, mint az egész számok, de a racionális számok is 0 –nyian vannak. A valós számok viszont semmilyen cseles eljárással nem fűzhetők fel egy láncra – erre jött rá Cantor 4 évnyi gondolkodás után, miközben meg volt győződve arról, hogy léteznie kell ilyen eljárásnak. Igazolta, hogy nem létezhet olyan eljárás amivel a valós számok sorba rendezhetők, és ezzel példát adott az 0 –nál nagyobb számosságra. Szemléletesen arról van szó, hogy az egész számok csak pontokat foglalnak el a számegyenesen és a racionális számok – bár sokkal sűrűbben – de szintén csak pontokban vannak jelen, addig a valós számok teljesen kitöltenek minden űrt és az egész számegyenesen folytonosan helyezkednek el. Ezért is nevezték el a valós számok számosságát kontinuum számosságnak, amit c-vel jelölnek. Az 0 és c két minőségileg különböző számosság, 0 a megszámlálhatóan végtelen, míg c a nem megszámlálhatóan végtelen. A nagy kérdés az, hogy vajon létezik-e ezeken kívül más végtelen is, illetve, hogy vajon létezik-e 0 –nál nagyobb, de c-nél kisebb végtelen, vagyis létezik-e végtelen a megszámlálható és a nem megszámlálható között.

Arra a kérdésre, hogy létezik-e még minőségileg más végtelen is, könnyen tudunk válaszolni. Ehhez mindössze egy viszonylag egyszerű matematikai fogalommal, a hatványhalmazzal kell megismerkednünk. Egy halmaz hatványhalmazának azt a halmazt nevezzük, amely az eredeti halmaz összes részhalmazának halmaza. Ha például az eredeti halmaz {x,y,z} akkor ennek a halmaznak hatványhalmaza {0,{x},{y},{z},{x,y},{x,z},{y,z},{x,yz}}. Ha az eredeti halmaz elemszáma n, akkor hatványhalmazának elemszáma 2n és Cantor igazolta, hogy a hatványhalmaz mindig nagyobb számosságú, mint az eredeti halmaz. Ha tehát vesszük a valós számok hatványhalmazát, akkor annak számossága 2c ami nagyobb végtelen, mint c. Hamarosan az is kiderült, hogy az egész számok hatványhalmaza kontinuum számosságú, vagyis 20 =c, de továbbra is megoldatlan kérdés maradt, hogy mi lehet vajon 1 vagyis az 0 után következő számosság. Ha 1 =c akkor az azt jelentené, hogy nincsen másik végtelen a megszámlálható és a nem megszámlálható között. Ha 1 ≠c akkor mivel azt biztosan tudjuk, hogy 0 <c így kell, hogy legyen valamilyen végtelen a megszámlálható és a nem megszámlálható között, ha pedig van ilyen, akkor kéne találni olyan halmazokat, amelyeknek ilyen a számossága. Az 1900-as évek elején, amikor Hilbert hatására a matematika újjászületett és igyekeztek axiomatikus alapokat teremteni a geometrián és az analízisen át a halmazelméletig minden matematikai ágnak ez a probléma nagyon nagy jelentőséggel bírt. Az 1900-ban augusztus során tartott második Nemzetközi Matematikai Kongresszuson készítettek egy listát a matematika akkor megoldatlan legfontosabb problémáiról, egyfajta iránymutatásként, hogy mik azok a kérdések, amelyek megoldásán érdemes volna dolgozni. Ennek a listának a legelső helyén szerepelt a Kontinuum-hipotézis megoldásának kérdése, vagyis annak az állításnak a bizonyítása – vagy épp cáfolása – hogy 1 =c. A probléma súlyából eredően számos kísérlet született arra, hogy a Kontinuum-hipotézisről végre kiderüljön, igaz-e vagy sem, ám valódi eredmény csak 1940-ben született, méghozzá eléggé rendhagyó formában. Kurt Gödel osztrák születésű matematikus mindössze 25 évesen, 1931-ben publikált egy olyan állítást, amely alapjaiban rendítette meg a matematika axiomatikus felépítése iránti törekvéseket. Híressé vált Nemteljességi tétele ugyanis azt mondja ki, hogy minden ellentmondásmentes axiómarendszerben, amely tartalmaz aritmetikát, megfogalmazhatóak olyan állítások, amelyek az adott rendszerben nem bizonyíthatók és nem is cáfolhatók. Ez annyit jelent, hogy bár a matematika Hilbert által szorgalmazott axiomatikus felépítése lehetővé tette ugyan a precíz matematikai rendszerek megszületését, sajnálatos módon azonban ezekben a rendszerekben minduntalan felbukkannak majd olyan állítások, amelyekről egészen egyszerűen nem tudjuk eldönteni, hogy igazak-e vagy sem. Természetesen megtehetjük, hogy ezeket az állításokat is besoroljuk az axiómák közé – ezzel olyan bizonyítást nem igénylő alaptézissé átminősítve őket, mint amilyenek az axiómák maguk. Csak hát az a baj, hogy Gödel szerint mindezek után is felbukkan majd újabb másik renitens állítások, amelyek szintén nem lesznek igazolhatók vagy cáfolhatók. Persze megtehetjük, hogy ezen újabb állításokat is axiómává minősítjük, ám ekkor – akárcsak a bevezetőben szereplő szálloda esetében – újabb és újabb vendégek érkeznek, akiket persze mind el fogunk tudni helyezni, de ezáltal axiómarendszerünk végtelenül nagyra nő. Gödel 1940-ben bebizonyította, hogy a Kontinuum-hipotézis a halmazelmélet axiómarendszerén belül nem cáfolható, míg 1963-ban Paul Cohen igazolta, hogy az állítás nem is bizonyítható. Így aztán az, hogy van-e számosság a megszámlálható és a megszámlálhatatlan között, pusztán a mi fantáziánkra van bízva. Ha elfogadjuk a Kontinuum-hipotézist, akkor ezt, mint bizonyítás nélküli állítást fogadjuk el, vagyis mint axiómát. Megtehetjük, hogy a halmazelmélet korábbi axiómarendszerét kibővítjük ezzel az új axiómával, mint ahogyan azt is megtehetjük, hogy nem tekintjük új axiómának a Kontinuum-hipotézist. Vagyis ennél a pontnál a halmazelmélet több párhuzamos síkon épülhet tovább. Építhetünk olyan modelleket, amelyekben az állítás igaz vagy éppen olyan modelleket is, amiben nem és ezek párhuzamosan futó építkezések két külön világot teremtenek, akárcsak a geometriában a híres párhuzamossági axióma elhagyásával vagy megtartásával születő Boyai és Euklideszi geometria.

MÉG TÖBB ILYEN

Visszajelzés