Barion Pixel Alkalmazott matematika 2 | mateking
 
4 témakör, 46 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Alkalmazott matematika 2 kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
4 980 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 4 szekcióból áll: Interpolációs polinomok, Minimális feszítőfa, Dijkstra-algoritmus, keresések, LU-felbontás és QR-felbontás, Ford-Fulkerson algoritmus

Interpolációs polinomok

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire.

  • -

    A Lagrange-féle interpolációs polinom megadja azt a polinomot, amely $x_1$-ben $y_1$-et, $x_2$-ben $y_2$-t és így tovább $x_n$-ben $y_n$ értéket vesz föl.

  • -

    A Newton interpoláció első lépése, hogy elkészítjűk az úgynevezett Newton-együtthatókat. Ezt követően ezek segítségével állítjuk elő a polinomot.

  • -

    A Hermite interpoláció abban különbözőik a Lagrange és Newton féle interpolációktól, hogy az $x_1, x_2, \dots , x_n$ helyeken nem csak az eredeti polinom-függvény értékeit, hanem a deriváltjait is nézzük.

  • -

    Az interpoláció egy közelítő módszer, amely a függvény ismert értékei alapján ad közelítést a nem ismert értékeire. Ennek hibájának a megbecsléséhez van egy remek képlet.

Minimális feszítőfa, Dijkstra-algoritmus, keresések

  • -

    Egy gráf feszítőfája a gráf minden csúcsát tartalmazó fa részgráf.

  • -

    A minimális feszítőfa egy gráfban a legkisebb élsúlyú feszítőfa.

  • -

    A Kruskal algoritmus segítségével minimális feszítőfát lehet megtalálni.

  • -

    Gráfok egy adott pontjából való feltérképezésére alkalmas módszer a szélességi keresés (BFS = Breadth-first search).

  • -

    A DFS algoritmus lényege, hogy elindulunk egy úton, és megyünk, amíg csak tudunk.

  • -

    A BFS és DFS algoritmusok végrehajtása során a gráfnak egy-egy feszítőfáját kapjuk. Ezeket nevezzük BFS és DFS fának.

  • -

    Egy gráf csúcsainak bejárására van egy nagyon speciális módszer, amit Hamilton körnek nevezünk, és az a lényege, hogy egy olyan körön haladunk végig a gráfban, amely a gráf összes pontját tartalmazza.

  • -

    A Hamilton út egy olyan út, amely a gráf minden csúcsát tartalmazza.

  • -

    A Dirac-tétel azt mondja ki, hogy ha egy $G$ egyszerű, $n \geq 3$ csúcsú gráfban minden csúcs foka legalább $\frac{n}{2}$, akkor a gráfban van Hamilton kör.

  • -

    Az Ore-tétel egy feltétel Hamilton kör létezésére.

LU-felbontás és QR-felbontás

  • -

    Egy mátrix LU felbontása azt jelenti, hogy a mátrixot felbontjuk egy alsó és egy felső háromszögmátrix szorzatára.

  • -

    Egy nxn-es mátrixnak akkor létezik LU-felbontása, ha az első n-1 főminora nem nulla.

  • -

    Hogyha egy olyan mátrix LU felbontására van szükségünk, amelynek valamelyik (nem utolsó) főminora 0, akkor megtehetjük azt, hogy egy premutációs mátrix segítségével felcseréljük a sorait.

  • -

    Az LU-felbontás módszere nem négyzetes mátrixokra ugyanolyan, mint eddig, a Gauss elimináció segítségével történik.

  • -

    Ez tulajdonképpen egy olyan LU-felbontás, ahol az U mátrix az L-nek a transzponáltja.

  • -

    A QR-felbontás azt jelenti, hogy egy mátrixot egy ortogonális és egy felsőháromszögmátrix szorzatára bontjuk.

  • -

    QR-felbontást kaphatunk akkor is, ha az $A$ mátrixot addig-addig szorozgatjuk Givens forgatások mátrixaival, amíg felső háromszögmátrixot nem kapunk.

  • -

    Az $A$ mátrixból először készítünk egy felső háromszögmátrixot a Householder-tükrözések segítségével.

Ford-Fulkerson algoritmus

  • -

    Legyen $X$ egy részhalmaza a gráfnak, ami tartalmazza $S$-t. Ekkor az $X$ és a többi csúcs alkotta részgráf (amik nincsenek benne az $X$-ben) közötti éleket vágásnak nevezzük.

  • -

    Egy vágás kapacitása a vágásban szereplő élek kapacitásainak összege.

  • -

    A Ford-Fulkerson algoritmus egy olyan algoritmus, amit a maximális folyam megkeresésére használunk.

  • -

    Irányított gráfban egy él kapacitása az a nem negatív valós szám, amit hozzá rendelünk az élhez.

  • -

    A $(G, S, T, c)$ egy hálózat.

  • -

    A hálózatban folyamnak nevezünk egy olyan függvényt, amely az élekhez rendel hozzá pozitív valós számokat és amire teljesül, hogy az egy csúcsba befolyó mennyiség megegyezik a csúcsból kifolyóval.

  • -

    A folyam értékén az S-ből kifolyó és S-be befolyó mennyiségek különbségét értjük.

  • -

    A Ford-Fulkerson tétel azt mondja ki, hogy egy hálózatban a maximális folyam mindig megegyezik a minimális vágással.

  • -

    Mindig létezik egy olyan út, ami csak azokon a pontokon halad át, ahol a tartalékidő nulla, és az út hossza megegyezik a teljes folyamat hosszával. Ezt az utat kritikus útnak nevezzük.