- Komplex számok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Függvények
- Az inverzfüggvény
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
1. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=4xe^{1-x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel nyolc és este hat óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer dollárba megadva
\( f(x)=(x-12)^2 e^{ - \frac{x}{2} }+10 \qquad 8 \leq x \leq 18 \)
Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam? A nap melyik órájában volt az árfolyam minimális, illetve maximális?
b) Egy termék keresleti függvénye
\( f(x)=10^6 \frac{1}{100+x^2} \)
ahol x termék egységárát jelöli. Milyen egységár esetén maximális az árbevétel?
c) Egy termék fajlagos nyeresége dollárban megadva
\( \pi (x) = e^{ \frac{-x^2}{2} + 2 } \)
ahol x a hetente eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban.
Milyen eladási szám esetén optimális a heti teljes nyereség?
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=4xe^{6-x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=\frac{2x}{(3+x)^2} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x\cdot e^{ \frac{-1}{x} } \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=2 \ln{(x-3)}-(x-3)^2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3x}{x^2-4} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3x}{(4-x)^2} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x+2+\frac{8}{x^2} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x+2+\frac{9}{x-3} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
12. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3-x}{x^4} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
13. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \ln{(x-1)^2}+\ln{(x+1)^2} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
14. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= e^{4x-2x^2} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
15. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x^2 \ln{x} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
16. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x^2 \ln{x} \)
Értelmezési tartomány
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
Függvény esetén azokat a szerencsés $x$-eket, amelyekhez a függvény hozzárendel egy $y$ számot, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.: $ f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} $ értelmezési tartománya $ \forall x \in R \setminus \{ -3 \} $, mert nincs gyök és nincs logaritmus, de tört van, tehát a nevező nem lehet nulla ($x \neq 3$)
Függvény konvexitása és a második derivált
Konkávnak nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "szomorú hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes felett halad.
Konvexnek nevezzük a függvényt azon a szakaszon, ahol "vidám hangulatban" van, vagy precizebben ha a szakaszon a függvény bármely két pontját összekötve a függvény a két pontot összekötő egyenes alatt halad.
A függvény hangulatáról a második derivált szolgáltat információt.
Ha a második derivált negatív, akkor a függvény konkáv, ha pozitív, akkor konvex
Függvény monotonitása és az első derivált
Ha a függvény deriváltja pozitív, akkor a függvény nő,
Ha a függvény deriváltja negatív, akkor a függvény csökken.
Stacionárius pont egyváltozós függvényre
Az $f(x)$ függvény stacionárius pontja $x_0$, ha $f$ differenciálható az $x_0$ környezetében és $f'(x_0)=0$
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=\frac{4x}{(x-3)^4} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=4xe^{1-x} \)
a) Egy részvény árfolyamának napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel nyolc és este hat óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer dollárba megadva
\( f(x)=(x-12)^2 e^{ - \frac{x}{2} }+10 \qquad 8 \leq x \leq 18 \)
Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam? A nap melyik órájában volt az árfolyam minimális, illetve maximális?
b) Egy termék keresleti függvénye
\( f(x)=10^6 \frac{1}{100+x^2} \)
ahol x termék egységárát jelöli. Milyen egységár esetén maximális az árbevétel?
c) Egy termék fajlagos nyeresége dollárban megadva
\( \pi (x) = e^{ \frac{-x^2}{2} + 2 } \)
ahol x a hetente eladott mennyiséget jelenti 1000 darabban.
Milyen eladási szám esetén optimális a heti teljes nyereség?
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=4xe^{6-x} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=\frac{2x}{(3+x)^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x\cdot e^{ \frac{-1}{x} } \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=2 \ln{(x-3)}-(x-3)^2 \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3x}{x^2-4} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3x}{(4-x)^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x+2+\frac{8}{x^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x+2+\frac{9}{x-3} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \frac{3-x}{x^4} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= \ln{(x-1)^2}+\ln{(x+1)^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= e^{4x-2x^2} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x^2 \ln{x} \)
Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)= x^2 \ln{x} \)
A teljes függvényvizsgálat lépései, Értelmezési tartomány meghatározása, Első derivált és stacionárius pont, Második derivált és inflexiós pont, A deriváltak előjele, A függvény monotonitása és lokális szélsőértékei, A függvény konvexitása, Határértékek kiszámolása, Ábrázolás, Értékkészlet.
