Analízis 1 epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogy mik azok a rendezett párok, és hogyan működik a Descartes-szorzat. Megnézzük a rendezett párok precíz halmazelméleti definícióját, kiderül, hogy mi a hasznuk, aztán pedig jjönnek a Descartes-szorzatok, vagy más néven két halmaz direkt szorzata. Nézünk példákat Descartes-szorzatra, és halmazok négyzetére, aztán az is kederül, hogy maga a koordinátarendszer is egy Descartes-szorzat.
Van itt ez a két halmaz.
És vannak olyan helyzetek, amikor szükség lenne arra, hogy összepárosítsuk az elemeiket…
Ezeket a párokat rendezett pároknak nevezzük.
A rendezett párok maguk is halmazok, a pontos definícióhoz pedig itt jön most egy kis unalmas elméleti bűvészkedés.
Az x és y által alkotott rendezett pár egy halmaz.
Ez a halmaz itt:
Az y és x által alkotott rendezett pár pedig egy másik halmaz.
A definíció nagyon ravasz, mert a régóta használt halmaz fogalomra vezeti vissza a rendezett pár fogalmát…
Közben pedig benne van a rendezett párnak az a tulajdonsága is, hogy a két elem sorrendje számít.
És most készítsük el az összes olyan rendezett párt, aminek az első eleme az A halmazból van, a második eleme pedig a B-ből…
Hát, még jó sok van…
A hét minden napjához tartozik 4 lehetőség:
Ez összesen 28 darab rendezett pár.
Na, még írjuk ide az utolsót…
És most a rendezett párokat betesszük szépen egy halmazba…
Ezt a halmazt hívjuk az A és B halmazok Descartes-szorzatának.
Vannak, akik úgy hívják, hogy direkt-szorzat. Ezt könnyebb leírni…
Az A és B halmazok Descartes-szorzata tehát úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból vesszük, a másodikat pedig B-ből.
Hogyha például itt vannak ezek a halmazok…
akkor a Descartes-szorzatuk…
Az A és B halmazok Descartes-szorzatának elemszáma mindig a két halmaz elemszámának a szorzata.
Van itt ez az A halmaz…
És nézzük meg, mi történik akkor, hogyha megszorozzuk önmagával.
Hogyha az A halmazba betesszük még a 4-et is…
Akkor a helyzet már valahogy így néz ki.
Valahonnan mintha már ismerős lenne ez…
Ja meg is van, hogy honnan.
Hogyha az A halmaz éppen a valós számok halmaza, vagyis R…
akkor az RxR Descartes szorzat épp a koordinátarendszert adja.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk a Descartes-szorzatot, jóra vagy rosszra…