- Komplex számok
- Polinomok, polinomosztás, polinomfüggvények
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Hatványozás, logaritmus, exponenciális és logaritmusos egyenletek
- Trigonometria, trigonometrikus egyenletek
- Sorozatok határértéke
- Konvergencia és divergencia definíciója, küszöbindex keresése
- Monotonitás és korlátosság
- Rekurzív sorozatok
- Függvények
- Összetett függvény és inverz függvény
- Trigonometrikus függvények és arkusz függvények
- Hiperbolikus függvények és inverzeik
- Sorok összege és sorok konvergenciája
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hôpital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Parciális deriválás, iránymenti derivált, érintősík
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Kétváltozós függvények
Ennek a témakörnek a képletei
Letöltöm az egész kurzus összes képletét:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a képleteit:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör képletei között:
Kétváltozós függvény
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint a sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x, y sík felett a függvény, ami egy felület.
Young-tétel
A Young-tétel szerint vegyes másodrendű deriváltak egyenlők (egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható):
\( f''_{xy} (x,y) = f''_{yx} (x,y) \)
Parciális deriválás a gyakorlatban
Az $ f(x,y) $ függvény $x$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_x (x,y) \)
Ez azt jelenti, hogy $x$ szerint deriválunk, $y$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $x$-essel, akkor marad
Az $ f(x,y) $ függvény $y$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_y (x,y) \)
Ez azt jelenti, hogy $y$ szerint deriválunk, $x$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $y$-ossel, akkor marad
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai
Első lépés:
\( \frac{ \delta f}{\delta x} = f'_x (x,y) \qquad \frac{ \delta f}{ \delta y} = f'_y (x,y) \)
Második lépés:
\( f'_x (x,y)=0 \)
\( f'_y (x,y)=0 \)
Az egyenletrendszer megoldásai a stacionárius pontok
Harmadik lépés:
\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} > 0$, akkor lokális minimum van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} < 0$, akkor lokális maximum van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ negatív, akkor nyeregpont van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Stacionárius pont kétváltozós függvényre
Az $f(x,y)$ függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla, az $f(x,y)$ függvény stacionárius pontjainak nevezzük.
Stacionárius pont többváltozós függvényre
Ha az $f$ többváltozós függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontban léteznek $f$ első parciális deriváltjai és
\( \delta_1 f(x_0)= \delta_2 f(x_0) = \dots = \delta_k f(x_0) = 0 \)
akkor $x_0$ az $f$ többváltozós függvény stacionárius pontja.
Hesse mátrix
A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)
Szintvonal
A sík azon pontjainak összességét, amelyekben az $f$ függvény ugyanazt a konstans értéket veszi fel, azaz $f(x,y)=c$, az $f$ függvény szintvonalának nevezzük.
Az érintősík egyenlete
Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:
\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.
Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja a $P(x_0,y_0)$ pontban:
\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{e} } = \mathrm{grad}\, (f(x_0,y_0))\cdot \underline{e} \quad \text{ahol} \; \underline{e}=\frac{\underline{v}}{\mid \underline{v} \mid} \)
Ennek a témakörnek a feladatai
Letöltöm az egész kurzus összes feladatát:
LetöltömLetöltöm ennek a témakörnek a feladatait:
LetöltömVálogass kedvedre a témakör feladatai között:
Deriváljuk a következő függvényeket.
a) \( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)
b) \( f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^3+y^3-3xy \)
Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
a) \( f(x,y)=x^4+y^4-4xy \)
b) \( f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} \)
Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$
b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$
Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=x^2+y^2+4 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $3x-y=2$
b) $ f(x,y)=x+y+4 \rightarrow \text{min.} $, a feltétel: $x^2+y^2=8$
$f(x,y)=4x^2+4y^2+5$, adjuk meg a szintvonalakat $c=0$, $c=5$, $c=10$ és $c=15$ esetben, utána pedig keressük meg a szélsőértékeket, és vizsgáljuk meg a konvexitást.
Keressük meg a szintvonalak segítségével a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=5x^2+5y^2 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $x-y=2$
b) $ f(x,y)=10xy \rightarrow \text{max.} $, a feltétel: $x+y=2$
a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!
b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?
a) Számoljuk ki a $\underline{v}=(3,4)$ iránymenti deriváltját a $P(2,1)$ pontban ennek a függvénynek:
$ f(x,y)=x^4+xy^3+y^5 $
b) Számoljuk ki a $\underline{v}=(2,2,1)$ iránymenti deriváltját a $P(3,5,4)$ pontban ennek a függvénynek:
$ f(x,y)=x^4+y^4+x\cdot z^2$
Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 \)
Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(2,5, f(2,5))$ pontban!
\( f(x,y)= 4x^3y^2-xy-y^2 \)
Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(1,-1, f(1,-1))$ pontban!
\( f(x,y)= 6xy-3x^2y-y^3 \)
Írjuk föl annak az érintősíknak az egyenletét, amely párhuzamos a $z=3x+2y-7$ síkkal és az $f(x)=2x^3y-y^2+3x$ függvényt érinti!
Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(0,2,1)$ pontban, az $f(x,y)=e^{\alpha \cdot x} + y \cdot \ln{ (xy^2+1)} $ függvényhez húzott érintő az $R(1,3,1)$ ponton?
Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(1,0,f(1,0))$ pontban, az $f(x,y)=\alpha \cdot x^2 \cdot e^y + y \cdot \ln{ (xy^2+\alpha) } $ függvényhez húzott érintő az $R(0,1,2)$ ponton?
Adjuk meg az $f(x,y)=2x \ln{ \left( x^2-xy^2-4 \right) }$ függvény totális deriváltját a $P(5,2)$ pontban.
Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!
\( f(x,y)=yx^5-2xy^3+4x-5 \)
Adjuk meg az első- és másodrendű deriváltjait!
\( f(x,y)=x^3-3xy^2-5y+e^{2x} \)
Számoljuk ki az $f(x,y)=\arctan{\left( y^x \right) }$ gradiensét a $P_0 (1,2)$ pontban.
Számoljuk ki az $f(x,y)=\sin{ \left( \ln{\left( y^x \right) } \right)}$ gradiensét a $P_0(3,1)$ pontban.
Számoljuk ki az $f(x,y)=\cos{ \ln{ \left( x^y \right)} }$ gradiensét a $P_0(7,1)$ pontban.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( g(x,y)=2x^3-6xy+3y^2 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^2-xy+y^2+9x-6y+20 \)
Itt mindent megtudhatsz arról, hogy mik azok a kétvátozós függvények, és hogyan kell deriválni őket. Már mutatjuk is. Kétváltozós függvény szélsőértéke, Kétváltozós függvényeny nyeregpont, Lokális szélsőérték, Parciális deriválás, Parciális deriválás fogalma, Parciális deriválás feladatok megoldással, Parciális edrivált jele, x szerinti derivált, y szerinti derivált, x szerinti derivált jele, y szerinti derivált jele, Elsőrendű deriváltak, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Young tétel. Megmutatjuk azt is, hogy, hogyan kell kiszámolni kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait. Vicces lesz. Kétváltozós függvény szélsőértéke, Kétváltozós függvényeny nyeregpont, Lokális szélsőérték, Parciális deriválás, Parciális deriválás fogalma, Parciális deriválás feladatok megoldással, Parciális edrivált jele, x szerinti derivált, y szerinti derivált, x szerinti derivált jele, y szerinti derivált jele, Elsőrendű deriváltak, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Young tétel. Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Stacionárius pont, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit. Lesz szó arról, is, hogy mik akKétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit. Gyorsan és szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mi az a feltételes szélsőérték. Szemléletes ábrákon keresztül értheted meg a feltételes szélsőérték lényegét. Kiderül, mit jelent a Lagrange multiplikátor, megnézzük a Lagrange multiplikátor módszert és megoldunk néhány feltételes szélsőérték feladatot. Elmeséljük, hogyan lehet feltételes szélsőérték feladatokat megoldani behelyettesítéses módszerrel. Na persze nem mindig működik a behelyettesítés, olyankor marad a Lagrange-függvény. Megmutatjuk, mik azok a szintvonalak, hogyan lehet egy kétváltozós függvény szintvonalait fölrajzolni. Az is kiderül, hogy a szintvonalak hogyan segítenek abban, hogy a lokális szélsőértékeket és a függvény konvexitását megvizsgáljuk. Sőt, megnézzük mindhárom módszert a feltételes szélsőérték kiszámolására. A rajzolgatósat, a Lagrange-módszert és a behelyettesítéses módszert is. A derivált geometriai jelentése, Érintő, Érintősík, Az érintősík egyenlete, Az érintősík normálvektora, A parciális deriváltak és az érintősík. A parciális deriváltakból álló deriváltvektor, Gradiens, Iránymenti derivált, Milyen meredeken megy a hegymászó, Az iránymenti derivált kiszámolása, A gradiens irány. Végezetül pedig megtanulhatod, hogy mik azok az implicit függvények, Explicit és implicit módon megadott függvények deriválása, Az implicit deriválás, Az implicit függvények deriválásának képlete. Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit.
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy
harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához
hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,
kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-
örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan
tulajdonságok, amik nem.
Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről
ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.
A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.
Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,
míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.
Lássunk néhány kétváltozós függvényt.
LOKÁLIS MINIMUM
NYEREGPONT
LOKÁLIS MAXIUM
A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,
vagy éppen ilyen nyeregpontja.
Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,
itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,
ami kétszer olyan szórakoztató lesz.
Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
Lássuk a parciális deriváltakat.
PARCIÁLIS DERIVÁLTAK
Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans
x szerint deriválunk,
y most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami x-essel, akkor marad
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans
y szerint deriválunk,
x most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad
A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.
Íme.
Mindkét jelölést használni fogjuk.
Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.
ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK
MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK
Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.
Így négy darab második deriváltat kapunk.
Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,
a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.
A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.
Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.
De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.
Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.
Az függvényhez a pontban húzott érintő egyenlete:
Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.
A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.
az egyváltozós függvényeknél a Az függvényt a pontban érintő sík egyenlete:
Nos ez az érintősík egyenlete.
Lássunk egy példát.
Itt van mondjuk ez a függvény:
és keressük az érintősíkot a pontban.
Itt jön az érintősík egyenlete,
és ezeket kell kiszámolnunk.
Nos ez az érintősík egyenlete:
Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,
akkor láthatjuk a sík normálvektorát.
És íme a normálvektor:
Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,
a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.
Milyen paraméter esetén halad át a pontban, az
függvényhez húzott érintő az ponton?
Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Itt jön egy újabb izgalmas feltételes szélsőérték probléma.
unter der
Megint jön a Lagrange-függvény:
Aztán megoldjuk az egyenletrendszert:
Most csak egy stacionárius pont van.
Itt jönnek a második deriváltak.
Hát, ez pozitív definit, úgyhogy a jelek szerint feltételes minimum van a stacionárius pontban.
Most nézzünk meg erre egy másik megoldást is.
Ehhez nem kell Lagrange, egyszerűen behelyettesítjük szépen a feltételt az eredeti függvénybe.
Innentől ez egy sima egyváltozós függvény.
Ennek kell a minimuma.
Hát, deriváljuk.
Nem kell túl nagy zsenialitás, hogy a derivált előjelét megállapítsuk.
Úgy tűnik, a függvénynek x=6/10-ben minimuma van.
Már csak az y-t kell valahonnan előkeríteni.
Nézzünk meg még egyet.
unter der
És íme, a stacionárius pontok:
Ez itt egy feltételes minimum.
Ez pedig egy feltételes maximum.
Nekünk most csak a minimum kell.
