Kétváltozós függvények

1. Deriváljuk a következő függvényeket.

a) \( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)

b) \( f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^3+y^3-3xy \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

a) \( f(x,y)=x^4+y^4-4xy \)

b) \( f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$

b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=x^2+y^2+4 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $3x-y=2$

b) $ f(x,y)=x+y+4 \rightarrow \text{min.} $, a feltétel: $x^2+y^2=8$

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. $f(x,y)=4x^2+4y^2+5$, adjuk meg a szintvonalakat $c=0$, $c=5$, $c=10$ és $c=15$ esetben, utána pedig keressük meg a szélsőértékeket, és vizsgáljuk meg a konvexitást.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Keressük meg a szintvonalak segítségével a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=5x^2+5y^2 \rightarrow \text{min.}$, a feltétel: $x-y=2$

b) $ f(x,y)=10xy \rightarrow \text{max.} $, a feltétel: $x+y=2$

Megnézem, hogyan kell megoldani


8.

a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!

b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Adjuk meg az $e^x+y^2=x^3+\ln{y}$ implicit függvény deriváltját!

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


19. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(2,5, f(2,5))$ pontban!

\( f(x,y)= 4x^3y^2-xy-y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


23. Írjuk föl az érintősík egyenletét a $P(1,-1, f(1,-1))$ pontban!

\( f(x,y)= 6xy-3x^2y-y^3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


24. Írjuk föl annak az érintősíknak az egyenletét, amely párhuzamos a $z=3x+2y-7$ síkkal és az $f(x)=2x^3y-y^2+3x$ függvényt érinti!

Megnézem, hogyan kell megoldani


25. Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(0,2,1)$ pontban, az $f(x,y)=e^{\alpha \cdot x} + y \cdot \ln{ (xy^2+1)} $ függvényhez húzott érintő az $R(1,3,1)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani


26. Milyen $\alpha$ paraméter esetén halad át a $P(1,0,f(1,0))$ pontban, az $f(x,y)=\alpha \cdot x^2 \cdot e^y + y \cdot \ln{ (xy^2+\alpha) } $ függvényhez húzott érintő az $R(0,1,2)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt mindent megtudhatsz arról, hogy mik azok a kétvátozós függvények, és hogyan kell deriválni őket. Már mutatjuk is. Kétváltozós függvény szélsőértéke, Kétváltozós függvényeny nyeregpont, Lokális szélsőérték, Parciális deriválás, Parciális deriválás fogalma, Parciális deriválás feladatok megoldással, Parciális edrivált jele, x szerinti derivált, y szerinti derivált, x szerinti derivált jele, y szerinti derivált jele, Elsőrendű deriváltak, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Young tétel. Megmutatjuk azt is, hogy, hogyan kell kiszámolni kétváltozós függvények szélsőértékeit és nyeregpontjait. Vicces lesz. Kétváltozós függvény szélsőértéke, Kétváltozós függvényeny nyeregpont, Lokális szélsőérték, Parciális deriválás, Parciális deriválás fogalma, Parciális deriválás feladatok megoldással, Parciális edrivált jele, x szerinti derivált, y szerinti derivált, x szerinti derivált jele, y szerinti derivált jele, Elsőrendű deriváltak, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Young tétel. Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Stacionárius pont, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit. Lesz szó arról, is, hogy mik akKétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit. Gyorsan és szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mi az a feltételes szélsőérték. Szemléletes ábrákon keresztül értheted meg a feltételes szélsőérték lényegét. Kiderül, mit jelent a Lagrange multiplikátor, megnézzük a Lagrange multiplikátor módszert és megoldunk néhány feltételes szélsőérték feladatot. Elmeséljük, hogyan lehet feltételes szélsőérték feladatokat megoldani behelyettesítéses módszerrel. Na persze nem mindig működik a behelyettesítés, olyankor marad a Lagrange-függvény. Megmutatjuk, mik azok a szintvonalak, hogyan lehet egy kétváltozós függvény szintvonalait fölrajzolni. Az is kiderül, hogy a szintvonalak hogyan segítenek abban, hogy a lokális szélsőértékeket és a függvény konvexitását megvizsgáljuk. Sőt, megnézzük mindhárom módszert a feltételes szélsőérték kiszámolására. A rajzolgatósat, a Lagrange-módszert és a behelyettesítéses módszert is. A derivált geometriai jelentése, Érintő, Érintősík, Az érintősík egyenlete, Az érintősík normálvektora, A parciális deriváltak és az érintősík. A parciális deriváltakból álló deriváltvektor, Gradiens, Iránymenti derivált, Milyen meredeken megy a hegymászó, Az iránymenti derivált kiszámolása, A gradiens irány. Végezetül pedig megtanulhatod, hogy mik azok az implicit függvények, Explicit és implicit módon megadott függvények deriválása, Az implicit deriválás, Az implicit függvények deriválásának képlete. Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai, Parciális deriválás, x szerinti derivált, y szerinti derivált, Elsőrendű deriváltak, Stacionárius pont, Másodrendű deriváltak, Tiszta másodrendű parciális deriváltak, vagyes másodrendű parciális deriváltak, Hesse-mátrix, Hesse-mátrix determinánsa, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit.



A kétváltozós függvények és a parciális deriválás

TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy

harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához                                

hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,

kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-

örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan

tulajdonságok, amik nem.

Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről

ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.

A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.

Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,

míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.

Lássunk néhány kétváltozós függvényt.

LOKÁLIS MINIMUM                              

NYEREGPONT                         

LOKÁLIS MAXIUM

A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,

vagy éppen ilyen nyeregpontja.

Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,

itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,

ami kétszer olyan szórakoztató lesz.

Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Lássuk a parciális deriváltakat.

PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

   a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans

x szerint deriválunk,                                         

y most csak konstansnak számít,                       

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla                  

ha szorozva van valami x-essel, akkor marad      

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans

y szerint deriválunk,

x most csak konstansnak számít,

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla

ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad             

A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.

Íme.

Mindkét jelölést használni fogjuk.

Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.

ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK

MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK

Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.

Így négy darab második deriváltat kapunk.

Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,

a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.

A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.

Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.

De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.

Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.


Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 1.0

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 2.0

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Az érintősík egyenlete

Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.

Az függvényhez a  pontban húzott érintő egyenlete:

Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.

A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.

az egyváltozós függvényeknél a Az  függvényt a pontban érintő sík egyenlete:

Nos ez az érintősík egyenlete.

Lássunk egy példát.

Itt van mondjuk ez a függvény:

és keressük az érintősíkot a pontban.

Itt jön az érintősík egyenlete,

és ezeket kell kiszámolnunk.

Nos ez az érintősík egyenlete:

Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,

akkor láthatjuk a sík normálvektorát.

És íme a normálvektor:

Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,

a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.

Milyen  paraméter esetén halad át a  pontban, az

 függvényhez húzott érintő az  ponton?

Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.


Gradiensvektor, iránymenti derivált

A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT

Az  függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort

derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.

Íme a derivált-vektor:

, röviden .

A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani

az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált

azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-

leges  irány mentén milyen meredeken emelkedik

a függvény felülete.

Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,

aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a

 irányban indul el.

Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.

Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a  egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.

Az  függvény  iránymenti deriváltja az  pontban:

       (itt  egységvektor)                  

Lássunk erre egy példát!

Számoljuk ki az   iránymenti deriváltját a  irány szerint az  pontban. 

A képlet szerint az iránymenti derivált

Itt ez a fura  jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is

az iránymenti deriváltra: .

A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.

A derivált-vektor tehát

Eddig jó.

Most lássuk a vektort.

A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.

Mivel azonban most  nem egységnyi hosszúságú,

ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.

Elosztjuk saját hosszával:

Az iránymenti derivált tehát:

Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…

erre éppen tudunk válaszolni.

A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.

Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor

irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.

tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.


Az implicit függvény deriválása

IMPLICIT FÜGGVÉNY DERIVÁLÁSI SZABÁLYA

Az  egy explicit függvény, deriváltja annak rendje és módja szerint

Egy függvény akkor implicit, ha y nincs kifejezve, vagyis nem y=… alakú.

Implicit függvényt kapunk, ha  a függvényt elrontjuk, mondjuk így:

sőt még gyököt is vonunk

Na ez egy implicit függvény.

Ha most az így kapott implicit függvényt deriválnunk kéne, ezt úgy tehetjük meg, hogy az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk és y-t egy függvénynek tekintjük*.

mellesleg az is, hiszen .

Nos a jobb oldalon álló x deriváltja egészen biztosan 1.

A bal oldal már jóval izgalmasabb. Itt egy összetett függvény áll:

És szorozni kell még a belső függvény deriváltjával is.

Nekünk ebből -re vagyis az implicit módon megadott  függvény deriváltjára van szükségünk.

Próbáljuk meg kifejezni -t

Nos íme itt van.

Mivel pedig , ha ezt beírjuk y helyére…

Ez pedig éppen megegyezik az explicit deriválttal.

Fölmerül a kérdés, hogy miért fáradoztunk ezzel ennyit, ha végül ugyanazt kaptuk, csak sokkal bonyolultabban.

Nos a válasz az, hogy vannak sajnos olyan függvények, amelyeknek nincs explicit alakjuk.

Ennek a függvénynek van explicit alakja, ezért itt az implicit deriválással fölöslegesen fáradoztunk.

De itt van például ez.

Ebben y sehogy sem fejezhető ki, ezért kénytelenek vagyunk implicit módon deriválni.

Vagyis mindkét oldalt deriváljuk, de ne felejtsük el, hogy itt y egy függvény.

Tehát például  egy összetett függvény.

Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:

Külső függvény deriváltja,

szorozva a belső függvény deriváltjával.

Lássuk tehát az implicit deriválást.

Az egyenlet mindkét oldalát deriváljuk:

Nekünk y deriváltjára van szükségünk, ezért az egyik oldalon összegyűjtjük az összes -t, a többieket átküldjük a másik oldalra:

Aztán kiemeljük -t.

   és végül leosztunk: 

Nos ez volna az implicit módon megadott függvényünk deriváltja.

Most pedig lássuk az implicit függvények deriválási szabályát.

A módszer lényege, hogy megkönnyítse életünket.

Azt mondja, hogy ha  egy implicit függvény, akkor deriváltja:

Nos eddig nincsen ebben semmi bíztató, de lássuk hogyan működik ez a gyakorlatban.

Itt volna az implicit függvény:

amit nullára kell rendezni,

és elkeresztelni F-nek.

Mielőtt végzetes tévedések áldozatául esnénk, tisztázzuk, hogy itt  nem kétváltozós függvény, hanem implicit függvény.

Az  és az  közötti különbség ugyanis óriási.

Lássuk mi is a különbség!

 tényleg kétváltozós függvény, x és y szabadon megadható, ám

 nem kétváltozós, mert próbáljuk csak meg x helyére 0-t és y helyére a 1-et beírni.

Az jön ki, hogy 2=0 ami nem igaz, vagyis itt x és y közül csak az egyik adható meg szabadon, a másik nem. Na ezért lesz ez a függvény egyváltozós.

Most, hogy mindezt tisztáztuk, lássuk mit mond a képlet.

Az implicit deriválás képlete szerint ezt a függvényt kell deriválni a szokásos parciális deriválással x és y szerint.

És íme, itt az implicit derivált.

Pontosan ugyanaz jött ki, mint korábban,

csak most így sokkal egyszerűbben.

Erre jó az implicit deriválási szabály.

A szabály több változó esetén is működik.

Ha  egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:

Ha  egy n változós implicit függvény, akkor az , mint implicit függvény deriváltja az  változó szerint:

Nézzünk erre egy példát!

Ez egy kétváltozós implicit függvény.

Ugyan három betű van benne, x, y és z, de közülük csak kettő adható meg szabadon az egyenlőség miatt.

A kétváltozós függvényekben x és y szokott lenni a változó, tehát felfoghatjuk ezt a függvényt úgy, hogy

Z=valami x és y

Deriváljuk akkor most x és y szerint:


FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

FELADAT I Keressük a lokális szélsőértékeket és nyeregpontokat

Gazdasági feladat kétváltozós függvényekkel

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Feltételes szélsőérték, Lagrange multiplikátor

Feltételes szélsőérték behelyettesítéssel

Itt jön egy újabb izgalmas feltételes szélsőérték probléma.

  unter der  

Megint jön a Lagrange-függvény:

Aztán megoldjuk az egyenletrendszert:

Most csak egy stacionárius pont van.

Itt jönnek a második deriváltak.

Hát, ez pozitív definit, úgyhogy a jelek szerint feltételes minimum van a stacionárius pontban.

Most nézzünk meg erre egy másik megoldást is.

Ehhez nem kell Lagrange, egyszerűen behelyettesítjük szépen a feltételt az eredeti függvénybe.

Innentől ez egy sima egyváltozós függvény.

Ennek kell a minimuma.

Hát, deriváljuk.

Nem kell túl nagy zsenialitás, hogy a derivált előjelét megállapítsuk.

Úgy tűnik, a függvénynek x=6/10-ben minimuma van.

Már csak az y-t kell valahonnan előkeríteni.

Nézzünk meg még egyet.

  unter der 

És íme, a stacionárius pontok:

Ez itt egy feltételes minimum.

Ez pedig egy feltételes maximum.

Nekünk most csak a minimum kell.


Kétváltozós függvények szintvonalai

Feltételes szélsőérték szintvonalakkal és a két másik módszerrel

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete

FELADAT | Érintősík egyenlete