- Komplex számok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Függvények
- Az inverzfüggvény
- Sorozatok
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- L’Hospital szabály, Taylor sor, Taylor polinom
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
1. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^4 - 4x^3 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
2. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3 - 3x \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
3. Határozza meg az $a, b, c$ valós paramétereket úgy, hogy az $f(x)=ax^3+bx^2+cx+28$ függvénynek $x=2$-ben zérushelye, $x=-4$-ben lokális maximumhelye, $x=-1$-ben pedig inflexiós pontja legyen!
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
a) Egy vasúti alagút építése során minél mélyebbre helyezik a nyomvonalat, annál hosszabb alagutat kell fúrni és maga az építkezés is egyre drágább lesz. Az eredetileg kijelölt nyomvonal 340 méteres tengerszintfeletti magasságban halad és az építési költség 5,6 milliárd svájci frank. A nyomvonal $x$ méterrel mélyebbre helyezése az eredeti költséget ennyivel növeli: $a(x)=40x^4+160x^3$ frank.
A mélyebben futó nyomvonalnak az előnye, hogy az áthaladó vonatoknak a hegységben történő átkelés során kisebb szintkülönbséget kell megtenniük. Ennek évenkénti gazdasági haszna: $p(x)=80x^3$ frank.
Hogyha az alagút átadását követő 40 éves periódust vizsgálunk, hány méterrel lenne érdemes mélyebbre helyezni a nyomvonalat, hogy a lehető legnagyobb legyen a megtérülés?
b) Egy termék árbevétel függvénye $R(x)=12400x^2-4000x^3$, a költségfüggvénye pedig $C(x)=400x^2+2000$, ahol $x$ a termék ára dollárban. Milyen egységár esetén maximális a profit és mekkora ez a profit?
Megnézem, hogyan kell megoldani
5.
a) Egy termék keresleti függvénye
\( f(x)=20000x^2-1000x^3-72000x \)
ahol $x$ a termék árát jelöli euróban. Milyen ár esetén maximális az árbevétel?
b) Egy másik termék keresleti függvénye
\( f(x)=260x^3-11x^4 \)
ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.
A termék fajlagos költsége (tehát az egy termékre jutó költség) 12 euró. Milyen ár esetén lesz maximális a profit?
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
Egy 33x18 cm-es kartonlapból téglatest alakú dobozt készítünk. A doboz kiterített hálója és méretei itt láthatóak.
a) Mekkora a doboz térfogata, ha $a=7$ cm?
b) Hogyan kell megválasztani az $a, b, c$ élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen?
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3+3x^2 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^4-18x^2+17 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
9. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=x^3-5x^2+3x-7 \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
10. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.
\( f(x)=2x^6-6x^4+\sqrt{37} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
11. Egy sorsjegyből havonta átlagosan 5000 darabot értékesítenek. Egy darab sorsjegy ára 500 Ft, de ezt csökkenteni szeretnék. A sorsjegy ára 10 Ft-os lépésekben csökkenthető. Ha az ár $n$-szer 10 Ft-tal alacsonyabb lesz, akkor havonta $10n^2$-tel több sorsjegyet tudnak eladni ( $n \in N^{+}$ ). Mi az az $n$ érték, amelyre a sorsjegyek eladásából származó havi bevétel maximális?
Itt szuper érthetően elmeséljük, hogyan kell egy teljes függvényvizsgálat feladatot megoldani. A teljes függvényvizsgálat lépései: Értelmezési tartomány, zérushely meghatározása, deriválás, a derivált előjele és monotonitás, második derivált, a második derivált előjele és konvexitás, határértékek, értékkészlet, a függvény ábrázolása. Azt is lépésről-lépésre megmutatjuk, hogyan kell szöveges szélsőértékfeladatokat megoldani. Hogyan írjuk föl a függvényt a megadott adatok alapján, és aztán hogyan vizsgáljuk meg, hogy a függvénynek mikor van szélsőértéke.
