Rémes előzmények

1. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( 3x+2 = 12 - 2x \)

b) \( \frac{2x+1}{7} + x -2 = \frac{x+5}{4} \)

c) \( \frac{x+2}{x-5} = 3 \)

d) \( \frac{x}{x+2} +3 = \frac{4x+1}{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) \( 3x^2+16x+5=0 \)

b) \( 3x^2-14x+8=0 \)

c) \( -2x^2+5x-3=0 \)

d) \( x^2-6x+10=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket.

a) \( \frac{4x-5}{x-1} < 3 \)

b) \( x \geq \frac{9}{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi abszolútértékes egyenleteket.

a) \( \mid x-3\mid=2x+9 \)

b) \( x \geq \frac{9}{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Oldjuk meg az alábbi gyökös egyenleteket.

a) \( \sqrt{x-4}=3 \)

b) \( \sqrt{x-5}=\sqrt{2-6x} \)

c) \( \sqrt{x-4}=6-x \)

d) \( \sqrt{x-1}=x-7 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Végezzük el az alábbi műveleteket.

a) \( \frac{6^3}{6^2} \)

b) \( \left( 6^5 \right)^3 \)

c) \( 9^{\frac{1}{2}} \)

d) \( 8^{\frac{4}{3}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Oldjuk meg az alábbi exponenciális egyenleteket.

a) \( 3^{x+4}=243 \)

b) \( \left( \frac{3}{4} \right)^{x+5} = \left( \frac{9}{16} \right)^{x-3} \)

c) \( \left( \frac{3}{2} \right)^{x-4} = \left( \frac{4}{9} \right)^{x-10} \)

d) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?

e) Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?

f) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Oldjuk meg az alábbi logaritmikus egyenleteket.

a) \( 4^{x+3}+5=13 \)

b) \( 4\cdot 3^{x+1} = 26 - 3^x \)

c) \( \log_2{(x+5)}=3 \)

d) \( \log_2{(2x+6)}+1=3+\log_2{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9.

a) Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt, hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

b) Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

c) A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év. 

d) Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Az alábbi fokban megadott szögek hány radiánnak felelnek meg?

a) 45°

b) 90°

c) 180°

d) Adjuk meg az alábbi szögek szinuszának és koszinuszának pontos értékét!

\( 0°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 180° \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Oldjuk meg az alábbi trigonometrikus egyenleteket

a) \( \sin{x} = \frac{1}{2} \)

b) \( \cos{x} = \frac{1}{2} \)

c) \( \sin{3x} = -\frac{1}{2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Oldjuk meg a $[0,2\pi]$ intervallumba eső számok halmazán az alábbi trigonometrikus egyenleteket.

a) \( 2 \cos{x} +1 =0 \)

b)  \( 2 \cos^2{x} - \cos{x} = 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Bizonyítsuk a teljes indukció segítségével, hogy

\( 1+3+5+\dots +2n-1 = n^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Ezekben az epizódokban röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogyan kell elsőfokú egyenleteket megoldani. Mi az a mérleg elv és hogyan segít ez a megoldásban. Nézünk törtes egyenleteket is és olyanokat, amiben lesznek másodfokú tagok. Megtanítjuk neked, hogy hogyan kell megoldani a másodfokú egyenleteket, megnézzük a megoldóképletet és rengeteg példán keresztül azt is, hogy hogyan kell használni. Kiderül mi a másodfokú egyenlet megoldóképletének diszkrimnánsa és az is, hogy mire jó tulajdonképpen. Gyorsan beletanulhatsz abba, hogy hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket: Eloszlatunk néhány téveszmét. Megnézzük az egyenlőtlenségek megoládásának lépéseit szépen sorban egyiket a másik után: közös nevezőre hozás, egyszerűsítés, ábrázolás számegyenesen, tényezők előjelei, a megoldás leolvasása. Megtudhatod, hogy mi az az abszolútérték, Abszolútértékes egyenletek megoldása, Abszolútértékes egyenlőtlenségek megoldása, Esetszétválasztás, Az abszolútérték jel eltüntetése és egyéb bűvészmutatványok. Valamint a gyökös egyenletek megoldása, Mit kell vizsgálni a gyökös egyenlet megoldásakor, Mikor nem szabad négyzetre emelni, Hamis gyökök, Kikötések. Emellett azt is, hogy mik azok a hatványazonosságok, megnézzük, hogyan kell használni őket, aztán jönnek az exponenciális függvények. Az exponenciális függvény, Hatványozás, Hatványazonosságok, Exponenciális egyenletek megoldása, Különböző trükkök ismertetése. Elmerülhetsz az exponenciális egyenletek megoldásának különféle fortélyaiban, a közös hatványalapra hozásban és egyéb ravasz dolgokban. Például: Exponenciális egyenletekkel megoldható szöveges feladatokban, radioaktív bomlásban és társaiban. Tanulhatsz exponenciális függvénnyel leírható folyamatokról. Ha tudni akarod, hogy mi az a logaritmus és hogyan kell megoldani logaritmusos egyenleteket. A logaritmus fogalma, Logaritmus azonosságok, Logaritmusos egyenletek, Hogyan oldjunk meg logaritmusos egyenleteket, itt elmeséljük neked. Valamint még arról is lesz szó, hogy mik az: Egységkör, Egységvektor, Forgásszög, Fok, radián, Trigonometria, Trigonometrikus függvények, Szinusz, Koszinusz, Periodikus függvények, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometrikus azonosságok, a középiskolás matek felelevenítése. És, hogy hogyan működik a teljes indukció, Domino-elv, Az indukciós feltevés.



Szinusz, koszinusz és társai

Az egységkör

Trigonometrikus egyenletek megoldása

Elsőfokú egyenletek megoldása

A másodfokú egyenlet és a megoldóképlet

Egyenlőtlenségek megoldása

Az abszolútérték

Gyökös egyenletek

Hatványazonosságok, exponenciális egyenletek

Ez exponenciális függvényekkel való ismerkedésünket kezdjük az alapokkal, a hatványazonosságokkal.

Hatványozni jó dolog és így kezdetben bőven elég annyit tudni, hogy

de semmi ördögi nem lesz itt.

Az első hatványazonosság azzal fog foglalkozni, hogy mi történik, ha megszorozzuk ezt mondjuk azzal, hogy 62.

Hát nézzük meg.

Nos ha ezeket összeszorozzuk, akkor

a kitevők összeadódnak.

Ez lesz az első azonosság.

HATVÁNYAZONOSSÁGOK

Most nézzük meg mi történik, ha ezeket elosztjuk egymással.

De azért van itt egy apró kellemetlenség.

Már jön is.

Nos amikor a nevező kitevője nagyobb, ilyenkor az eredmény egy tört.

Itt pedig a kitevő negatív lesz.

Most lássuk, hogyan kell hatványt hatványozni.

Nos így:

A kitevőket kell összeszoroznunk.

Itt van aztán ez, hogy

Na ez vajon mi lehet?

Nézzük meg mi történik ha alkalmazzuk rá a legújabb azonosságunkat.

Vagyis ez valami olyan, amit ha négyzetre emelünk, akkor 9-et kapunk.

Ilyen éppenséggel van, ezt hívjuk -nek.

A törtkitevő tehát gyökvonást jelent.

Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat.

Ha van egy ilyen, hogy

nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet.

Jön itt még néhány újabb képlet,

de most már lássuk a függvényeket.

Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x.

Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van.

Például egy ilyen szám a

2,71828182845904523536028747135266249775724709369995…

Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek.

Ez a függvény tehát az ex.

Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki.

Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta.


Exponenciális egyenletek

Az exponenciális egyenletek megoldása:

Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani.

Már jön is az első:

Mindig ez lebegjen a szemünk előtt:

Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet…

Lássuk csak,        bingo!

Na, ezzel megvolnánk.

Csak még egy dolog. Ennél a lépésnél írjuk oda, hogy: az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt.

Itt van aztán egy újabb ügy:

A két hatványalap nem ugyanaz…

de van remény.

És nézzük, mit tehetnénk ezzel:

Most pedig lássunk valami izgalmasabbat.

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Mekkora lesz a tömegük két óra múlva?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

Itt x azt jelenti, hogy hányszor 25 perc telt el.

A mi kis történetünkben két óra, vagyis 120 perc telik el:

Tehát ennyi milligramm lesz a baktériumok tömege 120 perc múlva.

Egy másikfajta baktérium generációs ideje 12 perc, vagyis 12 percenként duplázódik meg a baktériumok száma. Egy tenyészetben 736 milligramm baktérium van. Mennyi idő telt el azóta, amikor még csak 23 milligramm volt a tenyészetben?

A történet úgy szól, hogy kezdetben volt 23 milligramm, a végén pedig 736:

De az x=5 nem azt jelenti, hogy 5 perc telt el…

Az x=5 azt jelenti, hogy 5 generációnyi idő telt el:

Vagyis 60 perc telt el.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében.

Hát így elsőre ez egy elég ronda képlet, de mindjárt kiderül, hogy nem is olyan rémes.

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Hány százalékkal csökken 100 év alatt a 90-stroncium mennyisége?

A 90-stroncium felezési ideje 25 év, tehát képletünk valahogy így néz ki:

Íme, a képlet:

Ha 40 év telik el, akkor t helyére 40-et írunk:

Ezt beírjuk a számológépbe…

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mi történik 100 év alatt.

Ha 100 év telik el, nos, akkor t helyére 100-at kell írnunk:

Vagyis 100 év alatt 6,3%-ra csökken a radioaktív atommagok száma.

Újabb rémtörténetek következnek exponenciális egyenletekkel.

Itt is jön az első:

Na, ezzel megvolnánk.

Itt van aztán ez:

Eddig jó…

Vannak aztán első ránézésre eléggé rémisztő egyenletek is.

Itt jön néhány újabb remek exponenciális egyenlet.

Na, ezzel megvolnánk.

Nézzünk egy másikat.

Most pedig lásunk valami izgalmasabbat.

Így aztán elhatalmasodik rajtunk az érzés, hogy le kéne osztani 4x-nel.

Nos, az izgalmak még tovább fokozhatók.

Nézzük, vajon meg tudjuk-e oldani ezt:

Ez valójában egy másodfokú egyenlet, ami exponenciális egyenletnek álcázza magát.

És vannak egészen trükkös esetek is.

Nézzünk meg még egy ilyet.


Színre lép a logaritmus

Színre lép a logaritmus

És most egy új szereplő lép színre, a logaritmus.

Nos ez a logaritmus egy nagyon remek dolog, de kis magyarázatot igényel.

Mindössze arról van szó, hogy azt mondja meg, a-t hányadik hatványra kell emelni ahhoz, hogy x-et kapjunk.

Itt van például ez:

Ez azt jelenti, hogy 2-t hányadik hatványra kell emelnünk, hogy 8-at kapjunk.

Nos 23=8, tehát a válasz…

Vagy nézzük meg ezt:

Nos lássuk csak

Itt jön aztán egy nehezebb ügy:

A kérdés az, hogyan lesz a 8-ból 2. Az elosztjuk 4-gyel ugye nem jó válasz, mert valami hatványozás kell ide.

A jó válasz:

Próbáljuk meg kitalálni, mennyi lehet ez:

A kérdés, 8 a hányadikon a 16.

Nos ami a 8-ban és a 16-ban közös, az a 2, mert 23=8 és 24=16.

Így aztán úgy jutunk el a 8-ból a 16-hoz, hogy előbb a 8-ból csinálunk 2-t,

utána pedig a 2-ből 16-ot.

Mindezek után már nem jelenthet gondot ez sem:

Sőt ez sem:

Most pedig lássuk a logaritmusos azonosságokat.

LOGARITMUS AZONOSSÁGOK

A logaritmus egyik legnagyobb haszna az, hogy képesek vagyunk megoldani az ilyen egyenleteket, mint amilyen ez

Mindkét oldalnak vesszük a logaritmusát.

És voila.

Általánosítva, ha van egy ilyen, hogy 

akkor ebből így kapjuk meg x-et.

A megfordítását is jegyezzük meg, ha

akkor így kapjuk meg x-et.

Exponenciális egyenlet megoldása

Logaritmikus egyenlet megoldása

Oldjuk meg például ezeket:

Most pedig lássuk a függvényeket.


Logaritmusos egyenletek megoldása

Egy baktériumtenyészet generációs ideje 25 perc, ami azt jelenti, hogy ennyi idő alatt duplázódik meg a baktériumok száma a tenyészetben. Kezdetben 5 milligramm baktérium volt a tenyészetben. Hány perc múlva lesz a tenyészetben 30 milligramm baktérium?

Készítsünk erről egy rajzot.

Azt, hogy éppen hány milligramm baktériumunk van, ezzel a kis képlettel kapjuk meg:

A történet végén 30 milligramm baktériumunk van.

Ezt az egyenletet kéne valahogy megoldanunk.

Valahogy így…

Ehhez az kell, hogy a 2x önállóan álljon. Ne legyen megszorozva senkivel.

Most jön a számológép, megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 6.

Ha a világnak ahhoz a szerencsétlenebbik feléhez tartozunk, akiknek a számológépén csak sima log van…

Nos, akkor egy kis trükkre lesz szükség.

De így is kijön.

Itt az x=2,585 nem azt jelenti, hogy ennyi perc telt el…

Azt jelenti, hogy x=2,585 generációnyi idő telt el.

64,625 perc

Egy másik baktériumtenyészetben 40 perc alatt 3 szorosára nő a baktériumok száma. Mennyi a generációs idő, vagyis hány perc alatt duplázódik meg a baktériumok száma?

Kezdetben van valamennyi baktérium.

Aztán megduplázódik…

aztán megint megduplázódik.

És így tovább.

A mi történetünkben háromszorosára nő a baktériumok száma:

Megint jön a számológép és megnyomjuk rajta azokat a gombokat, hogy log, aztán 2 aztán 3.

Vagy ha az előbb így nem tudtuk kiszámolni, akkor feltehetően most se.

Ilyenkor segít nekünk ez a trükk.

És most nézzük, hogyan tovább.

Az x=1,585 azt jelenti, hogy ennyi generációs idő telt el 40 perc alatt.

Vagyis egy generációs idő hossza…

25,24 perc.

A baktériumok száma 25,24 perc alatt duplázódik meg.

A radioaktív anyagok felezési ideje azt jelenti, hogy mennyi idő alatt csökken a radioaktív anyagban az atommagok száma a felére. A 239-plutónium felezési ideje például 24 ezer év, a 90-stronciumé viszont csak 25 év.

Ez a remek kis képlet adja meg a radioaktív bomlás során az atommagok számát az idő függvényében:

Egy 90-stronciummal szennyezett területen hány százalékkal csökken 40 év alatt a radioaktív atommagok száma? Mennyi idő alatt csökken a 12,5%-ára a 90-stroncium mennyisége? A T felezési idő 25 év, és az alábbi összefüggés áll fenn:

Lássuk, mi történik 40 év alatt:

40 év alatt tehát a 33%-ára csökken a 90-stroncium atommagok száma.

Most nézzük, mennyi idő alatt csökken a 90%-ára az atommagok száma.

Tehát úgy néz ki, hogy 3,8 év alatt csökken 90%-ára az atommagok száma.

Egy anyagban a radioaktív atommagok száma 30 év alatt 12%-kal csökken. Mekkora a felezési idő? Mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra az anyagban található radioaktív atomok száma?

Itt jön a mi kis képletünk:

30 év alatt 12%-kal csökkent:

Na, ez így sajna nem túl jó…

Ha valami 12%-kal csökken, akkor 88% lesz.

A felezési idő tehát 162,7 év.

Most nézzük, hogy mennyi idő alatt csökken 50%-ról 10%-ra a radioaktív atomok száma:

377,8 év alatt csökken 50%-ról 10%-ra.

Hát, ennyi.


A teljes indukció