- Komplex számok
- Polinomok
- Vektorok, egyenesek és síkok egyenletei
- Halmazok, rendezett párok, leképezések, matematikai logika
- Függvények
- Összetett függvény és inverzfüggvény
- Sorozatok határértéke
- Küszöbindex és monotonitás
- Rekurzív sorozatok
- Sorok
- Függvények határértéke és folytonossága
- A határérték precíz definíciója
- Deriválás
- Differenciálhatóság vizsgálata és az érintő egyenlete
- Könnyű függvényvizsgálat és szélsőértékfeladatok
- Teljes függvényvizsgálat, gazdasági feladatok
- Taylor polinom és Taylor sor
- L’Hospital szabály
- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Kétváltozós függvények
- Paraméteres görbék
Sorok
Mértani sor
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} \)
Ha $ \mid q \mid <1$ akkor a mértani sor konvergens és összege
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} = \frac{a_1}{1-q} \)
Ha $ \mid q \mid \geq 1 $ akkor a sor divergens.
Konvergencia kritériumok | Gyök kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a gyök kritérium alapján így dönthető el:
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Konvergencia kritériumok | Hányados kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a hányados kritérium alapján így dönthető el:
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Konvergencia kritériumok | Leibniz-sorok
A $\sum{ (-1)^n} \cdot a_n$ sor konvergens, ha $a_n \rightarrow 0$ monoton csökkenő sorozat.
Konvergencia kritériumok | Szükséges feltétel
Ha $\lim{a_n} \neq 0$ akkor $ \sum{a_n}$ divergens.
Leibniz sor
Ha $a_n \rightarrow 0$ pozitív tagú monoton csökkenő sorozat, akkor a
\( \sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \)
végtelen sort Leibniz sornak nevezzük.
Sor konvergenciája
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens és ekkor a sor összege:
\( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} = \lim{S_n} \)
Konvergencia kritériumok | Az összehasonlító kritérium
Ha $\sum{a_n}$ és $\sum{b_n}$ nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól $a_n \leq b_n$ akkor
$\sum{b_n}$ konvergens $\Rightarrow \; \sum{a_n}$ is konvergens
$\sum{a_n}$ divergens $\Rightarrow \; \sum{b_n}$ is divergens
Nevezetes sor határérték
\( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\alpha}}} = \begin{cases} \text{konvergens, ha} \; \alpha >1 \\ \text{divergens, ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)
teleszkopikus sorok
A teleszkopikus sorok olyan végtelennek tűnő összegek, amik megfelelő átalakítások után már csak véges sok tagból állnak.
Például:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =1 - \frac{1}{n+1} \)
konvergenciasugár
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
konvergenciatartomány
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Konvergensek vagy divergensek-e az alábbi sorok?
a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \)
b) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \)
c) \( \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} 5 \left( \frac{3}{4} \right)^n \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{-2} \right)^n $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(-2)^n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} 4 \frac{3^n}{(-2)^{2n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} 6\cdot \frac{5}{4^{n+1}} \cdot 3^{n-1} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n+4^n+5^n}{6^n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n+1} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n} $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} $$
e) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n+1)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+3}{n^5+5n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln{n}}{\sqrt{n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 + \sqrt{n}}{ n^4-n^3+\sqrt[3]{n}} $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1) } $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2-1 } $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2+16n+15 } $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1)(n+2)} $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{ 2^n } $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \ln{ \left(1+\frac{1}{n} \right) } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sqrt[3]{n+1} }{\sqrt{n}+1} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n^3+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin{n}}{n^2} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-2)^{n+1} }{n+5^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt[n]{10} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln{n}}{n-\ln{n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-100)^n}{n!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{\ln{n}}{\ln{n^2}}\right)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{n+2} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n^2+4}} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\sin{1})^{2n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(\tan{1})^{2n}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 2^n \cdot n! }{ 3^{n-1} \cdot n^{n+1} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan^2{n} }{n^2+1} \)
Adjuk meg a sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 9 \cdot 2^{2n-1}}{5^{n-1}} \)
Állapítsuk meg az alábbi sor összegét.
\( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{4}{n^2-1} \)
Döntsük el, hogy konvergens-e a következő végtelen sor.
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n \in \mathbb{N}^{+}} \frac{ \sin^n{\left( 2n^2 \right)}}{n^3} \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{n+2}{n+3} \right)^n \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{n^2+3+7^n}{2+2^{2n}} \)
Adjuk meg a pontos értékét az alábbi sornak.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{4^n} \)
Amennyiben konvergens, úgy adjuk meg a végtelen sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5\cdot 6^{n+1}}{e^{2n}} \)
Mik azok a végtelen sorok? Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked 5 perc alatt. Végtelen sor definíció, Numerikus sor, Végtelen összegek, Konvergens sorok, Divergens sorok, A bolha ugrásai a számegyenesen, Sorok összege, Sorok konvergenciája, Sorok divergenciája. Mik azok a mértani sorok? Hogyan számolható ki egy mértani sor összege? Már mutatjuk is. Konvergens sorok, Divergens sorok, A mértani sor, A mértani sor összegképlete, Divergens mértani sor, Konvergens mértani sor. Arra is megtanítunk, hogy mik azok a konvergens és divergens sorok, A részletösszeg sorozat, Sorok konvergenciájának definiálása részletösszeg sorozattal, Konvergencia kritériumok, A szükséges feltétel, Gyök kritérium, Hányados kritérium, Leibniz kritérium, Leibniz sorok, Abszolút konvergencia, Abszolút konvergens sorok, Ekvikonvergens sorok. Valamint itt röviden és szuper-érthetően megtudhatod, hogyan kell végtelen sorok összegét kiszámolni, mi az a teleszkopikus sor, mi az a teleszkopikus összeg, és ez miért jó a sor összegének kiszámolása szempontjából. A sorok összegének kiszámolása, Teleszkopikus sorok, A teleszkopikus összeg, Részletösszeg sorozat, A részletösszeg sorozat határértéke, Konvergens sorok. Azt is megmutatjuk, hogyan kell végtelen sorok összegét kiszámolni, mi az a teleszkopikus sor, mi az a teleszkopikus összeg, és ez miért jó a sor összegének kiszámolása szempontjából. A sorok összegének kiszámolása, Teleszkopikus sorok, A teleszkopikus összeg, Részletösszeg sorozat, A részletösszeg sorozat határértéke, Konvergens sorok. A hatványsorok definíciója nagyon fontos a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. Mik azok a hatványsorok? Hatványsorok konvergenciája, Hatványsorok konvergencis sugara, Konvergencia vizsgálata, Konvergenciasugár, Konvergencia tartomány.
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
Itt és konkrét számok.
Ha akkor a mértani sor konvergens és összege
Ha akkor a sor divergens
divergens
Íme itt egy példa:
Mindig az első tag lesz a1,
a q pedig az, aki az n-ediken van.
A sor konvergens.
A sor divergens.
Itt van aztán egy másik.
Nos, ezek a mértani sorok nem túl izgalmasak. De néhányat még talán megnézhetünk.
de mivel a -2 a nevezőben van…
És most jöhetnek a konvergencia kritériumok.
Itt az ideje, hogy a végtelen sorok konvergenciáját kicsit precízebben is definiáljuk és megalkossunk egy bolhák nélküli definíciót.
Valójában azonban csak a bolha szót fogjuk kicserélni egy tudományosabban hangzóra.
Bevezetjük a részletösszeg-sorozat fogalmát.
A részletösszeg-sorozat jele és első tagja a bolha első ugrása, vagyis .
A második tagja az első két ugrás összege.
A harmadik tag az első három ugrás összege.
Vagyis pontosan azt mondja meg, hogy éppen hol jár a bolha.
És ahova tart, nos egészen pontosan oda tart a bolha is.
Tehát a bolha uticélja vagyis a sor összege éppen az sn határértéke.
Nos ez a precíz definíció.
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens és ekkor a sor összege:
És most lássuk, hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy sor konvergens-e vagy divergens.
Ez egy viszonylag könnyen megválaszolható kérdés és az úgynevezett konvergencia kritériumok fognak nekünk ebben segíteni.
Az első ilyen kritérium annyit mond, hogy ha a bolha nem fáradékony, akkor a sor biztosan divergens.
Vagyis, ha az ugrások hossza nem tart nullához, akkor a sor divergens.
Lássunk egy példát. Itt van mondjuk ez a sor:
Az állítás megfordítása viszont nem igaz, vagyis annak ellenére, hogy
divergens.
Vagyis nem minden fáradékony bolha konvergens.
A zavarodott fáradékony bolhák viszont garantáltan konvergensek. Erre jött rá Leibniz.
Legyen pozitív tagú sorozat. Ekkor a
végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
Minden Leibniz-sor konvergens. A magyarázat a következő.
A bolha első ugrása bármekkora lehet.
A második ugrás az előzőnél kisebb és ellentétes irányú.
Aztán megint kisebbet ugrik és megint a másik irányba.
Így szépen lassan bezárja magát és eljut uticéljához, ami a sor összege.
A sor abszolút konvergens, ha a sor is konvergens.
Vannak olyan sorok, amik konvergensek ugyan, de nem abszolút konvergensek.
A Leibniz-sorok között ez gyakran előfordul. Itt van például ez:
Nos ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens…
de nem abszolút konvergens, mert
ez utóbbi pedig, ha még emlékszünk rá divergens.
Hát ez igazán érdekes volt, most pedig következzen két nagyon gyakran használt konvergencia kritérium.
Itt jön erre egy példa:
ezért a sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
Itt van aztán egy másik:
Ajjaj. Hát ebből most nem tudtunk meg semmit.
De még van remény, próbáljuk ki ezt:
Lássunk egy példát a hányados kritériumra is:
Az n!-ról érdemes tudni, hogy
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
Kezdjük az elsővel. Itt alkalmazzuk a hányados kritériumot. Azért a hányadost, mert a faktoriális nem szereti a gyök kritériumot.
Nos ez úgy tűnik konvergens.
Lássuk a következőt.
Itt a gyök kritérium jót fog tenni majd a kitevőknek.
Ez is konvergens. Lássuk mi a helyzet a harmadikkal.
Próbálkozzunk itt is a gyök kritériummal.
Rossz hír, ezek a sorozatok sajna 1-hez tartanak:
Ennek végzetes következményei vannak, ugyanis olyankor, amikor a határérték 1, a gyök kritérium csődöt mond.
Próbálkozhatnánk esetleg a hányados kritériummal is, de azzal sem jönne ki semmi.
Leibniz sem segíthet, és sajna ez sem, ugyanis ha valaki utánaszámol,
Így aztán jelenleg semmilyen eszközünk nincs, amivel ennek a sornak a konvergenciáját megnyugtató módon tisztázhatnánk.
De szerencsére még van remény, erről fog szólni a következő képsor.
Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:
A számláló és a nevező is egy polinom.
azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.
Éppen itt is jön:
Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor
konvergens is konvergens
divergens is divergens
Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a
típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .
Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.
Feltehetően igen.
De lássuk az összehasonlító kritériumot.
Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.
Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.
De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.
A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.
Nézzünk meg egy másikat is.
Konvergens-e a következő sor?
Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.
A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.
Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.
Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.
Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.
Végül lássunk egy bonyolultabbat.
Így aztán megint alulról kell becsülni:
A számlálót csökkentjük,
a nevezőt pedig növeljük.
SZÜKSÉGES FELTÉTEL
Ha akkor divergens.
LEIBNIZ-SOROK
A sor mindig konvergens, ha
de nem mindig abszolút konvergens.
GYÖK KRITÉRIUM
Ha akkor abszolút konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
HÁNYADOS KRITÉRIUM
Ha akkor absz. konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.
A sor összege ezek szerint egy.
Nos ez a megoldás nem teljesen precíz, de a részletösszeg-sorozat segítségével precízzé tudjuk tenni.
Itt jön egy másik:
A nevezőt szorzattá alakítjuk, aztán megint bűvészmutatványok következnek.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Jöjjön aztán egy kellemetlenebb ügy.
Megint először parciális törtekre bontunk.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n2-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
Nos, aztán n-ből is nulla darab van bal oldalon.
Ezért jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Végül még egy trükk. A középső tagot kettébontjuk és nem is véletlenül. Azért bontjuk ketté, hogy neki is 1/2 legyen a számlálója és így jobban szeressék őt a többiek.
Most pedig jöhet a részletösszeg-sorozat.
És még egy érdekesség:
Itt is a parciális törtekre bontás módszerét használjuk, mégpedig úgy, hogy ahol a különbség első tagjában n-1 van, ott a második tagban n van.
Erre azért van szükség, hogy a felbontás során teleszkopikus összeget kapjunk.
És most jöhet a részletösszeg-sorozat.
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
A VÉGTELEN SOROK MÉG A GÖRÖG FILOZÓFUSOK PROBLÉMÁIT IS MEGOLDJÁK
Zénón több különböző formában is megfogalmazta a lényegét tekintve ugyanazt a paradoxont, amely Akhilleuszról és a teknősbékáról szól. Akhilleusz egyszer versenyre hívta a teknősbékát, ám tisztában volt saját fölényével, és ezért adott a teknősbékának 100 láb előnyt. Nevezzük A0-nak azt a pontot, ahol Akhilleusz áll, és T0-nak azt, ahol a teknős van a verseny megkezdésének pillanatában. A két pont távolsága ezek szerint 100 láb. Elkezdenek futni, és Akhilleusz előbb-utóbb elérkezik T0-ba, ahol a teknős állt a rajt pillanatában. Ám ez idő alatt a teknős is megtesz valamekkora utat, és így eljut a T1 pontba.
Természetesen a verseny megy tovább, és Akhilleusz elég hamar megérkezik a T1 pontba, ám ez alatt az idő alatt a teknős is tovább halad a maga nem túl gyors tempójában, és elér a T3 pontba. Akhilleusz persze gyorsan megérkezik a T3 pontba is, de ezen idő alatt a teknős is előrébb jut a T4-be. A pontok távolsága természetesen rövidül, de minden olyan pillanatot, amikor Akhilleusz van hátul, megint egy olyan pillanat követ, amikor ő van hátul, hiszen ahhoz, hogy megelőzze a teknőst, először el kell jutnia abba a pontba, ahol a teknős korábban állt, ám ezalatt a teknős folyton előrébb halad, és kezdődik minden előröl. A paradoxont az okozza, hogy mindenki tudja, hogy Akhilleusz a valóságban utoléri, sőt le is hagyja a teknőst, ám az előbbi gondolatmenetnek ez mintha ellentmondana.
Több mint 2000 évet kellett várni, mire matematikailag precíz magyarázatot lehetett adni arra, hogy mi is a hiba a zénóni gondolatmenet végkövetkeztetésében. Ehhez először arra volt szükség, hogy a matematikusok elkezdjenek foglalkozni a végtelen összegekkel és azok meghökkentő tulajdonságaival. Ezeket a végtelen összegeket soroknak nevezzük, és az egyik legegyszerűbb ilyen sor a következő:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
Próbáljuk meg kiszámolni ennek a sornak az összegét. Az ügy érdekében nevezzük el az összeget X-nek:
X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...,
majd pedig szorozzuk be az egészet kettővel:
2X = 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...
Most a vastagon szedett rész éppen megegyezik az eredeti összeggel, amit X-nek vettünk, így ha annak helyére X-et írunk:
2X = 2 + X,
amiből X = 1 következik.
Ezen felbuzdulva próbáljuk meg kiszámolni, hogy mennyi lehet vajon 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …!
Az előző módszer alapján nevezzük el összegünket X-nek:
X = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …
aztán pedig szorozzuk be 2-vel! Ekkor
2X = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 +…
Az eredeti X = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … összeg vastagon szedett részében megjelenik a 2X, amit oda be is helyettesítünk.
Így X = 1 + 2X, amiből X = –1.
Nos, ami azt illeti, ezt eléggé nehéz elhinni. A 17. század volt az az időszak, amikor ezek a problémák világot láttak, és bénítóan hatott az, hogy a kettőhatványok összege hogy lehet –1. Születtek olyan teóriák is, hogy ha végtelen sok 1-est adunk össze, akkor ugyebár végtelent kapunk eredményül, de ha az 1-nél nagyobb kettőhatványokat adjuk össze, akkor az már olyan sok lesz, hogy valahogy túljut a végtelenen, túlcsordul, és így jutunk el a –1-be. 200 évig bajlódtak ezekkel a problémákkal, míg végre Augustin Cauchy francia matematikus megoldotta őket. Arra jött rá, hogy végtelen sok számnak nem feltétlenül kell, hogy legyen összege. Ha például ki szeretnénk számolni, hogy mennyi 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1…, akkor helyes eredménynek tűnik a nulla, hiszen 1 – 1 = 0, és végső soron ezeket adjuk össze:
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + … .
Csak hát az a baj, hogy ha az első tagot leválasztjuk, és a második tagtól kezdve párosítjuk a tagokat úgy, hogy –1 + 1 = 0, akkor 1–1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 … = 1 + 0 + 0 + 0 + …, vagyis a végeredmény 1. Sőt, ha a korábbi gondolatmenetünket alkalmazzuk, és elnevezzük a szóban forgó összeget X-nek, akkor X = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1…, amit beszorozva (–1)-gyel azt kapjuk, hogy
–X = –1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1–… .
Mármost az eredeti X = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1… összegben a vastagon szedett rész helyére –X írható. Ekkor tehát X = 1 + (–X), vagyis X = 1 – X, így 2X = 1 és X = 1/2. Ez immáron a harmadik eredmény ugyanarra az összegre, és ellentétben az előzőekkel, még csak nem is egész szám...
Cauchy jött rá arra, hogy ha végtelen sok számot adunk össze, az egy folyamat, amely során vagy eljutunk valahova, vagy nem. Vagyis a statikus helyett dinamikus szemlélet szükséges. A szemléletmód tehát megváltozott. Képzeljük el például az 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … összeget úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen. A bolha fáradékony, ezért ugrásai egyre kisebbek. Éppenséggel mindig feleakkorát ugrik, mint azelőtt. Vajon hova fog ez a bolha eljutni?
A bolha a kettő felé igyekszik, és véges sok ugrással azt sosem képes elérni. Végtelen sok ugrásának összege azonban a kettő, és ez az 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … végtelen sor összege is. A sor összege tehát azért a kettő, mert a bolha ugrásai során a kettő felé tart, és ahogy ugrásainak száma egyre nagyobb, ő tetszőlegesen közel kerül a kettőhöz.
Így már érthető, hogy miért kaptunk meglepő eredményt az 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +… sor összegére. Ebben az esetben ugyanis egy olyan bolhával van dolgunk, aki egyáltalán nem fáradékony, és szemmel láthatóan a végtelen felé igyekszik.
Mivel pedig a végtelen nem úgy viselkedik, mint egy közönséges szám, így aztán nem is végezhettük el vele azokat a műveleteket, amelyekkel a –1 jött ki végeredménynek.
A sorokkal kapcsolatos vizsgálódások világítanak rá arra is, hogy mi a hiba a zénóni gondolatmenetben. Zénón – és vele együtt a kor többi filozófusa – úgy tekintett a végtelenre, mint valami távoli megfoghatatlanra, ami soha el nem érhető. Akárcsak az 1 + 2 + 4 + 8 + … sor bolhája, aki már negyedik ugrásával eltűnt az ábránkról. Ám a helyzet az, hogy Akhilleusz és a teknősbéka esetében egy olyan végtelennel van dolgunk, mint amilyet az 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … sor esetében láthattunk. Vagyis hiába ugrik végtelen sokat a bolha, mégsem jut túl még a kettes számon sem. Éppen ez történik Akhilleusszal és a teknőssel is. Akhilleusz valóban végtelen sok időpillanatban tartózkodik a teknős mögött, ám ezek az idők rövidülnek, akárcsak a bolha ugrásai, és ahogyan van szám a 2 után is – ahova bolhánk már nem képes eljutni –, van idő a végtelenen túl is, ott pedig már bizony Akhilleusz van elöl.
