Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések

1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.

a) \( A= \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \)

b) \( A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 3 & 1 & 7 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Számítsuk ki az alábbi mátrix determinánsát.

\( A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 & 1 \\ 4 & 3 & -2 & -5 \\ -4 & -1 & 5 & 7 \\ 6 & 6 & 3 & -4 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsait.

a) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)

b) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)

c) \( A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 6 & 9 & 2 \\ 2 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 5 & 5 & 8 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Az alábbi mátrixnak milyen $p$ paraméter esetén létezik inverze, milyen $p$ paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen $p$ paraméterre lesz az $A \cdot \underline{x}=\underline{0} $ egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & p \end{pmatrix}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a Cramer-szabály segítségével.

\( 3x_1+2x_2-x_3=4  \)

\( x_1+x_2+x_3=7 \)

\( 2x_1+x_2+2x_3=10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6.

a) Adott az $A$ 2x2-es mátrix, és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek az $\underline{u}$, és a $\underline{v}$ vektor.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

b) Számoljuk ki az $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

Számításaink során a bázis transzformációt használjuk.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7.

a) Adott az $A$ 2x2-es mátrix, és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek az $\underline{u}$, és a $\underline{v}$ vektor.

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \underline{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)

b) Számoljuk ki az $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}$ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

Számításaink során a Gauss eliminációt használjuk.

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. A bázis transzformáció segítségével nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. A Gauss elimináció segítségével nézzük meg ennek a 3x3-as mátrixnak a sajátértékeit és sajátvektorait.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. A bázis transzformáció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. A Gauss elimináció segítségével állítsuk elő ennek a 3x3-as mátrixnak a diagonális alakját.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.

\( A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -6 & 1 \end{pmatrix} \)

\( C=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Számoljuk ki az $A$ mátrixhoz és $\underline{x}$ vektorhoz tartozó kvadratikus alakokat.

a) \( A= \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \)

b)  \( A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 4 & 3 & 6 \\ 7 & 6 & 5 \end{pmatrix} \quad \underline{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \)

c) Adott a $Q(\underline{x})$ kvadratikus alak, határozzuk meg ebből az $A$ mátrixot.

\( Q(\underline{x})=5x^2_1 -2 x^2_2+4x^2_3+8x_1x_2+7x_1x_3-6x_2x_3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Döntsük el az alábbi kvadratikus alakok definitségét.

a) \( Q(\underline{x})= 3x^2_1+4x^2_2+9x^2_3+4x_1x_2+2x_1x_3+10x_2x_3 \)

b) \( Q(\underline{x})= -5x^2_1-2x^2_2-8x^2_3+6x_1x_2-2x_1x_3+2x_2x_3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Adjuk meg az x tengelyre való tükrözés mátrixát $R^2$-ben.

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Tükrözzük az x tengelyre a $\underline{v}$ vektort, ha

a) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

b) $\underline{v}= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és a bázis vektorok: $\underline{a_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ és $\underline{a_2}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Megnézem, hogyan kell megoldani


17.  Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

a) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ b \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)

b) \( R^2 \to R^2 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ 0 \end{pmatrix} \qquad a,b \in R \)

c) \( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b \\ a\cdot b \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


18.  Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


19. Adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját:

\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-a \\ c \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. Ellenőrizzük, hogy az alábbi leképezések lineáris leképezések-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait, ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.

\( R^3 \to R^3 \qquad \varphi\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-b \\ b-c \\ c-a \end{pmatrix} \qquad a,b,c \in R \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. Adjuk meg a $R^2$-ben az x tengelyre tükrözés, az origó középpontú $\alpha$-szögű forgatás, és az origóra tükrözés mátrixait.

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. A sík transzformációi közül melyek dimenzió tartó transzformációk? 

Megnézem, hogyan kell megoldani


23. Döntsük el, hogy az alábbi mátrixok közül melyek hasonlóak.

\( A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

\( C= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad D=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 &1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy mi az a determináns. Permutációk, Permutációk inverziószáma, 2X2-es mátrixok determinánsa, 3X3-as mátrixok determinánsa, Sarrus-szabály, Kifejtési tétel, Sakktábla-szabály. Megmutatjuk, hogy hogyan lehet a kifejtési tétellel mátrixok determinánsát kiszámolni. Determináns, 4X4-es mátrixok determinánsa, Kifejtési tétel, Sakktábla-szabály, Oszlop szerinti kifejtés, Sor szerinti kifejtés. Mik a determinánsok tulajdonságai? Alsó és felső háromszög mátrixok, A determinánsok érdekes tulajdonságai, Szorzat mátrix determinánsa, Inverz mátrix determinánsa. Mik azok a szinguláris és reguláris mátrixok? Determináns, Rang, Oszlopvektor, Sorvektor, Homogén lineáris egyenletrendszer. A Cramer szabály egy olyan módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására, ahol determinánsok kiszámításával kapjuk meg a magoldást. Sajnos a Cramer szabály csak olyan egyenletrendszerek megoldására jó, ahol az együtthatómátrix reguláris, de arra nagyon. A sajátérték és a sajátvektor rendkívül fontos a lineáris algebrában. Most elmeséljük, hogyan kell kiszámolni.  Karakterisztikus egyenlet, Determináns, Sajátértékek kiszámolása, Sajátvektorok kiszámolása. Mátrixok diagonális alakja. Elmagyarázzuk neked, hogy mi a mátrixok definitsége. Sarokfőminor, Sarokdetermináns, Pozitív definit, Negatív definit, Indefinit, Pozitív szemidefinit, Negatív szemidefinit, Sajátérték, Sajátvektor, Karakterisztikus egyenlet. Megtanítjuk neked, hogy mik azok a kvadratikus alakok. Kvadratikus alakok mátrixa, Polinomok, Homogén polinomok, Kvadratikus alak felírása mátrix alapján. Hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy kvadratikus alak pozitív vagy negatív definit-e? Sok-sok példát nézünk a kvadratikus alakok definitségére. A lineáris leképzések is rendkívül fontosak a lineáris algebrában. Most elmeséljük, hogyan kell mátrixaikat megalkotni.  Lineáris transzformációk, Transzformációk mátrixa, Magtér, Képtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Bázisvektor, Bázisvektorok képe, Inverz transzformáció mátrixa. Megvizsgálunk néhány leképzést, hogy lineáris-e. Izgalmas lineáris transzformációk, Képtér, Magtér, Transzformációk mátrixa. Könnyedén elmagyarázzuk neked, hogy mi az a sajátbázis, diagonális alak. Diagonális alak előállítása, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Bázisvektor, Inverz transzformáció mátrixa. Megmutatjuk, hogy mi az a HOM V1, V2. Lineáris transzformációk, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel, X tengelyre tükrözés mátrixa, Origó körüli forgatás mátrixa, Projekciók, Projekciók mátrixa, Bázisvektor, Inverz transzformációk mátrixa.

Végezetül egyszerű példákon keresztül megmutatjuk, hogy mit jelent az, hogy két mátrix hasonló. Hasonló mátrixok, Sajátvektor, Sajátérték, Sajátbázis, Diagonális alak, Transzformációk mátrixa, Képtér, Magtér, Dimenziótétel.



Mi az a determináns?

MÁTRIXOK DETERMINÁNSA, SAJÁTÉRTÉKE ÉS SAJÁTVEKTORA

DEFINÍCIÓ: Ha az  egy -es mátrix, akkor determinánsa

ahol p az oszlopindexek permutációi, I(p) pedig ezen permutációk inverziószáma.

Ez egy igazán remek definíció, de egy kis magyarázatot igényel.

Valójában a mátrixok determinánsa sokkal egyszerűbb fogalom.

Arról van szó, hogy a mátrix minden sorából és oszlopából kiválasztunk egy és csak egy elemet, és ezeket az elemeket összeszorozzuk. Ezt az összes lehetséges módon

megtesszük, és a szorzatokat ellátjuk egy előjellel, végül az így kapott előjeles

szorzatokat összeadjuk.

 EGY 2x2-ES MÁTRIX DETERMINÁNSA

Nézzünk erre egy példát. Itt van egy mátrix:

aminek a determinánsa

A determináns tehát azt tudja, hogy minden mátrixból csinál

egyetlen számot.

Hamarosan az is kiderül, hogy mindez mire jó, de most lássuk

mi a helyzet egy 3X3-as mátrix determinánsával!

EGY 3x3-AS MÁTRIX DETERMINÁNSA

A 3X3-as mátrixok determinánsának kiszámolására van egy szabály,

ami szarrusz szabály néven ismert.

A szabály lényege, hogy fogjuk a mátrixot

és leírjuk saját maga mögé még egyszer,

majd vesszük a főátlókat és a mellékátlókat.

A főátlók elemeit összeszorozzuk és pozitív előjellel vesszük,

aztán a mellékátlók elemeit is összeszorozzuk, de azokat negatív előjellel vesszük.

Ez a mátrix determinánsa.

A módszer sajnos csak 3x3-as mátrixokra működik és nem túl kellemes.

Sokkal több értelme van megjegyezni az úgynevezett kifejtési tételt,

ami minden nxn-es mátrixra jó és most jön.

Ha az  egy -es mátrix, akkor determinánsa

Itt  a  elemhez tartozó aldetermináns.

Semmi ok az aggodalomra, a gyakorlatban mindez sokkal egyszerűbb.

Nézzünk egy példát!

Van itt ez a 3x3-as mátrix:

Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk az első sora

szerint fejtjük ki.

Kifejthetjük a második sor szerint is, majd megnézzük azt is,

a végeredmény ugyanaz kell, hogy legyen.

Az első sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos  

de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második elem mínusszal van.

A harmadik megint plusszal.

Most jönnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek,

hogy az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

Végül kiszámoljuk a 2X2-es mátrixok determinánsait.

És kész is.

Nézzük meg, hogy mi történik, ha a második sor szerint fejtünk ki!

Ha a második sor szerint fejtünk ki, akkor a sakktábla-szabályban is

a második sort kell nézni.

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!


A kifejtési tétel

A KIFEJTÉSI TÉTEL

A kifejtési tétel lényege az, hogy bármilyen nagy -es mátrix

determinánsának meglehetősen kellemetlen kiszámolását visszavezeti

-es mátrixok determinánsára, amit már könnyen ki tudunk számolni.

Maga a tétel első ránézésre kicsit barátságtalannak tűnik,

de mindjárt nézünk rá egy konkrét példát.

Nézzük a példát!

Van itt ez a 4x4-es mátrix:

 Ennek a determinánsát fogjuk kiszámolni, és mondjuk fejtsük ki

 a második sora szerint.

 Kifejthetnénk az első sor szerint is, majd megnézzük azt is,

 a végeredmény  így is úgy is ugyanaz lesz.

 A második sor elemeit váltakozó előjellel kell venni, ez a bizonyos  

 de egyszerűbb, ha az úgynevezett sakktábla-szabályt jegyezzük meg.

A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.

Az aldeterminánst majd mindjárt megnézzük!

A sakktábla-szabály miatt a második sor első eleme mínusszal van.

A második elem plusszal van.

Aztán a harmadik elem ismét mínusszal, mellesleg ő eleve negatív.

A negyedik elem pedig megint plusszal.

Most jöhetnek az aldeterminánsok, amik úgy keletkeznek, hogy mindig

az adott elem sorát és oszlopát kihúzzuk.

És aztán mindegyik aldeterminánst egyenként kiszámoljuk. Ez eltart egy darabig.

Próbáljuk meg érdekesebbé tenni a dolgot azzal, hogy az első sor szerint fejtünk ki.

Megint jön a sakktábla.

Itt jön aztán a következő aldetermináns kiszámolása.

Ezt  kifejthetjük mondjuk a harmadik sor szerint,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!

És kifejthetjük a harmadik sor szerint is,

de ami még ennél is izgalmasabb, hogy oszlop szerint is ki lehet fejteni.

Mondjuk nézzük meg a harmadik oszlop szerint!

Térjünk rá a következő 3x3-as determinánsra.

Kifejthetjük bármelyik sor szerint, vagy bármelyik oszlop szerint,

de alkalmazhatunk egy kis varázslást is.

Ez bevált, úgyhogy az utolsó megmaradt determinánst is így intézzük el.

Ezzel kész az eredeti 4x4-es mátrix determinánsa!

Kiszámolhattuk volna úgy is, hogy nem a második sor szerint fejtjük ki, hanem mondjuk a negyedik oszlop szerint. Nézzük meg ezt is!

számolunk…

És tényleg így is  0  jön ki!

AZ  MÁTRIX DETERMINÁNSA NULLA, HA

VAN CSUPA NULLA SORA

VAN KÉT AZONOS SORA

EGYIK SORA MÁSIK SOR SZÁMSZOROSA

EGYIK SORA MÁS SOROK LINEÁRIS KOMBINÁCIÓJA

MINDEZ SOR HELYETT OSZLOPRA IS ELMONDHATÓ

HA A  MÁTRIX ÚGY KELETKEZIK AZ  MÁTRIXBÓL, HOGY

EGY SORÁNAK VAGY OSZLOPÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,

MINDEN SORÁNAK MINDEN ELEMÉT -VAL SZOROZZUK,

KÉT SORÁT VAGY OSZLOPÁT FÖLCSERÉLJÜK

EGY SORÁHOZ VAGY OSZLOPÁHOZ MÁS SOROK VAGY OSZLOPOK LINEÁRIS   KOMBINÁCIÓJÁT ADJUK


A determinánsok tulajdonságai

Néhány nagyon izgalmas dolog fog kiderülni a mátrixok determinánsával kapcsolatban.

Vannak olyan speciális mátrixok, amiknek a determinánsát különösebb szenvedés nélkül ki tudjuk számolni. Ilyenek például az úgynevezett alsó vagy felső háromszögmátrixok.

Ezek determinánsa a főátló elemek szorzata.

Az egységmátrix is háromszögmátrix.

Vannak aztán a determinánsoknak különböző érdekes tulajdonságaik.

Nézzük ezeket meg, egy-egy példával.

Végül itt van egy fontos tétel, a determinánsok szorzási tétele, ami szerint

Ha a tételben a  mátrix helyére is az  mátrixot írjuk

    sőt   

Ha pedig az  mátrixnak létezik inverze, akkor a szorzási tétel alapján


Szinguláris és reguláris mátrixok

SZINGULÁRIS ÉS REGULÁRIS MÁTRIXOK

Az -es mátrixokat két nagy csoportba sorolhatjuk. Vannak azok a mátrixok melyeknek a determinánsa nulla és vannak azok, amiknek nem.

Ez a kis eltérés valójában hatalmas szakadékot  jelent a kétféle csoport között.

AZ  MÁTRIX REGULÁRIS

LÉTEZIK  INVERZ MÁTRIX

RANG=n

AZ  MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ

VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN FÜGGETLEN

AZ  EGYENLETRENDSZERNEK

CSAK EGY MEGOLDÁSA VAN

AZ  HOMOGÉN LINEÁRIS

EGYENLETRENDSZERNEK CSAK EGY

MEGOLDÁSA VAN (A TRIVIÁLIS MEGOLDÁS)

AZ  MÁTRIX SZINGULÁRIS

NEM LÉTEZIK  INVERZ MÁTRIX

RANG<n

AZ  MÁTRIX OSZLOPVEKTORAIBÓL ÁLLÓ

VEKTORRENDSZER LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ

AZ  EGYENLETRENDSZERNEK

VAGY VÉGTELEN SOK MEGOLDÁSA VAN

VAGY NINCS MEGOLDÁSA

AZ  HOMOGÉN LINEÁRIS

EGYENLETRENDSZERNEK VÉGTELEN

SOK MEGOLDÁSA VAN

Itt van például egy mátrix.

Nézzük meg milyen  paraméter esetén létezik inverze, milyen  paraméterre lesz a determinánsa éppen 0, illetve milyen  paraméterre lesz az

egyenletrendszernek végtelen sok megoldása.

Az összes kérdésre egyszerre megkapjuk a választ, ha kiszámoljuk a mátrix determinánsát.

Akkor létezik inverz, ha a mátrix reguláris, vagyis a determinánsa nem nulla:

Akkor lesz a determináns éppen nulla, ha

És akkor lesz az  egyenletrendszernek végtelen sok megoldása, ha a mátrix szinguláris, vagyis a determinánsa nulla,


Sajátérték és sajátvektor (bázistranszf.)

Itt van két izgalmas definíció, amik eléggé hasonlók egymáshoz és az is közös bennük, hogy első ránézésre nehéz lenne megmondani mire jók valójában.

SAJÁTÉRTÉK: Az   -es mátrix sajátvektora egy olyan  nem nullvektor, amelyhez van valami  valós szám, hogy

SAJÁTVEKTOR: Az   -es mátrix sajátértéke egy olyan  valós szám, amelyhez van valami  nem nullvektor, hogy

De aggodalomra semmi ok, lássunk inkább egy konkrét példát.

Van egy remek -es mátrix

és nézzük meg, hogy sajátvektora-e ennek mondjuk az  és a  vektor.

Elsőként az  vektort nézzük meg. Akkor sajátvektor, ha létezik olyan  szám, hogy

Sajnálatos módon azonban ilyen  nem létezik.

Ha ugyanis , akkor a 9 nem fog kijönni, ha , akkor pedig a 3 nem jön ki.

Próbálkozhatunk persze még egyéb számokkal is, de akkor pedig se a 3, se a 9 nem jön ki. Vagyis az  vektor nem sajátvektora az  mátrixnak.

Lássuk mi a helyzet a  vektorral. Akkor sajátvektor,  ha létezik olyan  szám, hogy

Ilyen  létezik, mégpedig . A  vektor tehát az  mátrixnak sajátvektora,

és a hozzá tartozó sajátérték . A következőkben arról lesz szó, hogyan tudjuk megtalálni egy mátrix összes sajátértékét és sajátvektorát.

Egy általános módszert fogunk kifejleszteni a sajátvektorok és sajátértékek kiszámolására, aminek lényege, hogy

Rendezzük nullára.

És emeljük ki a  vektort

Csakhogy van egy kis gond.

Nem sok értelme van ugyanis annak, hogy  mert az egyikük egy mátrix, a másik pedig valamilyen szám, ezért a kivonás nem elvégezhető.

Szükség van tehát egy kis trükközésre.

A trükk lényege, hogy segítségül hívjuk az egységmátrixot, ami azt tudja, hogy bármilyen  vektorra  

odacsempésszük tehát az egységmátrixot

És így már tényleg ki lehet emelni.

Amit ezzel kaptunk, az nem más, mint egy  egyenletrendszer.

Ennek biztosan megoldása az , és akkor van más megoldása is, ha .

Nekünk éppen ezek a más megoldások kellenek, azok a megoldások, amikor

tehát azt kell kiderítenünk, mikor lesz .

Vagyis most ugye   

Ez egy egyenlet lesz, amit meg kell oldanunk, és az egyenlet megoldásai éppen a sajátértékek.

Az így kapott sajátértékeket visszahelyettesítjük majd ide,

és ebből lesznek a sajátvektorok.

De menjünk szépen lépésről lépésre!

Számoljuk ki az  mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET

A főátló elemeiből kivonogatunk -kat, majd  az így kapott determinánst egyenlővé tesszük nullával. Ez a karakterisztikus egyenlet.

2. A  SAJÁTÉRTÉKEK

A  karakterisztikus egyenlet megoldásai a sajátértékek.

3. A SAJÁTVEKTOROK

Az  egyenletrendszer megoldásai a sajátvektorok.

Egy -es mátrixnak mindig  koordinátából álló sajátvektorai

vannak, a megoldandó egyenletrendszer tehát valahogy így néz ki:

Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET

A főátló elemeiből kivonogatunk -kat,

majd  az így kapott determinánst

egyenlővé tesszük nullával.

2. A  SAJÁTÉRTÉKEK

A  karakterisztikus egyen-

let megoldásai a sajátértékek.

3. A SAJÁTVEKTOROK

Az  egyenletrendszer

megoldásai a sajátvektorok.

Egy -es mátrixnak mindig

 koordinátából álló sajátvektorai vannak.

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani:

Az egyenletrendszernek mindig végtelen sok megoldása lesz.

A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat

kifejtjük a determinánst:

az így kapott egyenlet a karakterisztikus egyenlet

az egyenlet megoldásai a sajátértékek:

 és

Lássuk a sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat! Mivel az  mátrix -es ezért a sajátvektorok két koordinátásak lesznek:

Most pedig megkeressük a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.

A két sajátérték már megvan:  és

Most két sajátérték van, ezért két egyenletrendszerünk lesz.

Az egyik, amikor  a másik, amikor

Az egyik egyenletrendszer, amikor  a másik, amikor

Az egyenletrendszert bázistranszformációval oldjuk meg,

akinek ezzel kapcsolatos emlékei esetleg elhalványultak, nézze meg

az erről szóló nagyon izgalmas témakört.

A sajátvektorok:

A másik sajátvektor hasonlóan izgalmas módon:

A bázistranszformáció itt véget ér, így hát leolvassuk a megoldásokat.

A fönt maradt -et elnevezzük t-nek és s-nek.


Egy 3x3-as mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámolása (bázistranszf.)

Nézzük meg ennek a -as mátrixnak a sajátértékeit

és sajátvektorait.

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

Az első sor elemeit a sakktábla-szabály alapján váltakozó előjellel kell venni.

Kifejtjük a 2x2-es determinánsokat is.

És kicsit összevonunk. Sőt nem is olyan kicsit.

Valahogyan meg kéne oldani ezt az egyenletet, hogy megkapjuk az egyenlet megoldásait, a sajátértékeket.

A karakterisztikus egyenlet megoldásai lesznek majd a sajátértékek.

Feltéve, hogy sikerül megoldanunk az egyenletet.

 Íme, három hasznos megoldási ötlet ilyen típusú egyenletek megoldásához:

 kiesik a konstans tag

Mindhárom esetben egy olyan szorzatot kaptunk, ami egy elsőfokú és egy másodfokú egyenlet szorzata, azokat pedig már külön-külön meg tudjuk oldani.

Vannak persze olyan harmadfokú egyenletek is, amiket nehezebb megoldani,

de szerencsére ezek általában elkerülnek bennünket.

Lássuk, a három közül melyik módszer válik be a mi egyenletünknél.

Emeljünk ki 2-t.

A kettes módszer itt nem működik,

ezért a fortélyos hármas módszert próbáljuk meg, hátha beválik.

A másodfokú részt felbontjuk,

aztán pedig megpróbáljuk szorzattá alakítani.

Van egy ilyen, hogy

emlékeztetőül:

A másodfokú izét szorzattá alakítjuk

Ez igazán remek, ugyanis most már ki lehet emelni,

aztán pedig hopp, már meg is oldottuk.

Itt összevonunk:

Három sajátérték van, ami valójában csak kettő,

mert a  kétszeres sajátérték.

Jöhetnek a sajátvektorok!

Az egyenletrendszert a szokásos bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek esetleg elhalványultak az ezzel kapcsolatos emlékei, nézze meg a bázistranszformációról szóló témaköröket.

Belerakjuk a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

Itt a bázistranszformáció elakad.

Ha két x is fönt mard,

az egyik t, a másik s

Most már itt se folytatható.

Itt csak egy x maradt fönt, de mivel a  és  

már foglalt, legyen .

A sajátvektor ha  

 ahol

És a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátvektor  ha  


Mátrixok diagonális alakja (bázistranszf.)

Ha egy -es mátrixnak van  darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.

A diagonális alak így néz ki:

a főátlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.

A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:

itt  vagyis egyszerűen úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé.

Nézzünk meg erre egy példát!

Állítsuk elő ennek a -as mátrixnak a diagonális alakját.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁSA

A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat, és vesszük a determinánsát:

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

2. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSAI A SAJÁTÉRTÉKEK

Most három sajátérték van, ;  és  .

Mindhárom sajátértékhez megkeressük a hozzá tartozó sajátvektort. 

 3. A SAJÁTÉRTÉKEKHEZ TARTOZÓ SAJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE

 A sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk az  

 egyenletrendszert:

Az egyenletrendszereket bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek a bázistranszformációval kapcsolatos emlékei sajnálatos módon

elhalványultak, az nézze meg az erről szóló részt.

A bázistranszformáció elakadt, -et nem tudjuk lehozni, így elnevezzük –nek.

Leolvassuk a megoldást.

A  sajátértékhez tartozó sajátvektor:

 ahol

Most jöhet a többi sajátvektor. Megint az  egyenletrendszert kell megoldanunk:

Belerakjuk a -t

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A  sajátértékhez tartozó sajátvektor:

 ahol

és a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A  sajátértékhez tartozó sajátvektor:

 ahol

Úgy tűnik van három független sajátvektor, tehát a mátrix

diagonalizálható, a diagonalizáló mátrix pedig

A diagonális alakot az eredeti mátrixból a diagonalizáló mátrix

segítségével állítjuk elő:

A szorzásokat elvégezni azonban felesleges, mert a diagonális alak mindig úgy néz ki, hogy a főátlóban vannak a sajátértékek, az összes többi elem pedig nulla.

A sajátértékeket már régóta tudjuk        

A diagonális alak tehát:


Mátrixok definitsége

Néhány nagyon vicc es mátrixokkal kapcsolatos fogalommal fogunk megismerkedni.

Az első ilyen fogalom a sarokdetermináns vagy másnéven sarokfőminor.

Van itt egy mátrix:

Ennek a mátrixnak az első sarokfőminora ez a 2-es

A második sarokfőminor a

bal felső -es determináns

A harmadik sarokfőminor a

bal felső -as determináns

Ennek kiszámolása elég unalmas, de a kifejtési tétellel az jön ki, hogy

A negyedik sarokfőminor pedig

az egész mátrix determinánsa

Amit még az előzőnél is unalmasabb kiszámolni, de a kifejtési tétel szerint

A másik nagyon vicces fogalom a mátrixok definitsége lesz.

A definitség megállapításához pedig éppen ezek a főminorok fognak nekünk kelleni, pontosabban az, hogy milyen előjelűek.

Most éppen az első sarokfőminor pozitív, a második szintén pozitív,

a harmadik és negyedik pedig negatív.

Lássuk a definitséget.

Az   -es mátrix

pozitív definit,

ha

negatív definit,

ha

pozitív szemidefinit,

ha

negatív szemidefinit,

ha

indefinit,

ha

minden  sajátérték:

minden  sajátérték:

minden  sajátérték:

minden  sajátérték:

van  és  sajátérték

 és

-es mátrixoknál a definitség a sarokfőminorok alapján is eldönthető:

mindkét sarokfőminor

pozitív

az első negatív, a

második pozitív

az első pozitív, a

második nulla

az első negatív, a

második nulla

a többi esetben

-es mátrixoknál a definitség már nehezebben dönthető el a sarokfőminorok alapján:

minden sarokfőminor

pozitív

váltakozva   -  +  -  +

de mínusszal indul

Ha  és nem az előző két esettel van dolgunk,

akkor biztosan indefinit.

Ha  akkor nem tudni, ilyenkor csak

a sajátértékek kiszámolásával dönthető el.

Lássunk néhány mátrixot és állapítsuk meg a definitségüket.

Vannak itt ezek a mátrixok, döntsük el, hogy milyen definitek.

A sajátértékeket csak a legvégső esetben számoljuk ki, ha a sarokfőminorokkal szerencsétlenül járunk. Kezdjük az -val.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Az  mátrixnak minden sarokfőminora pozitív, tehát pozitív definit.

Nézzük mi van a  mátrixszal.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Itt is jön a kifejtési tétel, de nem szeretnék senkit untatni vele, az eredmény -15

A  mátrix sarokfőminorai váltakozó előjellel - + - + - … ezért negatív definit.

Jöhet a .

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Már megint a kifejtési tétel, de ne húzzuk az időt, az eredmény 1

A sarokfőminorok itt is váltakozó előjelűek, de most + - +

Negatív definit csak olyankor van, ha a váltakozás mínusszal indul, tehát ez most nem lehet negatív definit.

Pozitív definit sem, mert akkor minden sarokfőminor pozitív, tehát marad a két szemidefinit és az indefinit.

A szemidefiniteknél viszont a mátrix determinánsa nulla.

Most  ami nem éppen nulla, tehát indefinit.

A  mátrix sarokfőminorai alapján nem lehet pozitív vagy negatív definit,

viszont  miatt szemidefinit sem lehet ezért indefinit.

Végül lássuk mi van -vel.

első sarokfőminor:

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Hát ennél rosszabb nem is történhetett volna.

Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor vagy valamelyik

szemidefinit vagy indefinit, de csak úgy tudjuk eldönteni,

ha kiszámoljuk a sajátértékeit.

Lássuk tehát a sajátértékeket.

A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki

Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.

Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.

és összevonunk

végül kiemelünk

A sajátértékek:

 Kiemelünk 3-at

Mindhárom  sajátértékre teljesül, hogy

a  mátrix tehát pozitív szemidefinit.

Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig

különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-

vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát  is diagonalizálható.

Lássuk a hasonló mátrixokat!

így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,

csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.


Kvadratikus alakok

Ha   szimmetrikus mátrix és  egy vektor -ben, akkor a

kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.

Ezek a kvadratikus alakok nagyon barátságosak, nézzünk is meg egy példát.

Legyen mondjuk

  és 

A hozzájuk tartozó kvadratikus alak

Számoljuk ki. A szorzásokat kell hozzá elvégezni, kezdjük hátulról.

Aztán még ezeket is összeszorozzuk.

És felbontjuk a zárójeleket.

Íme itt a kvadratikus alak.

Azért hívják kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az x-ek vagy négyzeten vannak benne,

vagy elsőfokúak, de akkor meg vannak szorozva egy másik elsőfokúval és így az is négyzetesnek számít.

Nézzünk meg egy másik kvadratikus alakot is.

  és 

Most az  mátrix -as, így az  vektornak is 3 koordinátája van.

Rettenetes lenne viszont megint elvégezni a szorzásokat, főleg, hogy most -as.

Szerencsére van itt egy trükk. Nem is olyan nagy trükk.

A kvadratikus alak valahogy úgy fog kinézni, hogy lesz benne  aztán lesz  és , meg lesznek vegyes tagok.

A kérdés csak az, hogy hány darab lesz ezekből. A válasz pedig éppen az  mátrix.

Hát ez kész.

A dolog fordítva is működik, tehát ha van egy kvadratikus alak, akkor abból fel tudjuk írni a mátrixát.

ez például jó is:

Van itt egy kvadratikus alak:

A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,

egy olyan  vektort amire

és egy olyan  vektort amire

Olyan vektort könnyű találni,

amire a kvadratikus alak pozitív.

Olyat már nehezebb, amire negatív,

de azért ilyen is van.

Aztán van itt egy másik kvadratikus alak is:

A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,

egy olyan  vektort amire

és egy olyan  vektort amire

Olyat most is könnyű találni,

amire a kvadratikus alak pozitív.

próbáljuk ki ezt:

Olyat viszont nehezebb, amire negatív.

Sőt, nemhogy nehezebb, hanem lehetetlen.

Ez a kvadratikus alak tehát

tud pozitív és negatív is lenni.

Ez a kvadratikus alak viszont

csak pozitív tud lenni

A kvadratikus alakoknak ezekkel az érdekes szokásaival fogunk most foglalkozni.

A  kvadratikus alak

pozitív definit, ha minden

vektorra

negatív definit, ha minden

vektorra

pozitív szemidefinit, ha minden

vektorra

negatív szemidefinit, ha minden

vektorra

indefinit, ha van olyan  és ,

hogy   és

A definitség eldöntésében a kvadratikus alak mátrixa segít minket.

ha a kvadratikus alak  mátrixa

pozitív definit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

negatív definit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

pozitív szemidefinit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

negatív szemidefinit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

indefinit

Van itt egy kvadratikus alak, a feladatunk az, hogy döntsük el a definitségét.

Lássuk a mátrixot!

Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.

Ehhez lássuk a sarokfőminorokat.

első sarokfőminor:

3

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

ez tutira 13 

Hát úgy tűnik ez egy pozitív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is pozitív definit.

Nézzünk meg egy másikat is.

Van itt egy másik kvadratikus alak is, döntsük el ennek is a definitségét.

Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.

Ehhez jönnek a sarokfőminorok.

első sarokfőminor:

-5

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Hát úgy tűnik ez egy negatív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is negatív definit.


Lineáris leképezések és mátrixaik

A  leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely  vektorokra és  számra teljesül, hogy

Minden  lineáris leképezés valahogy így néz ki:

Ha  akkor a lineáris leképezést lineáris transzformációnak nevezzük.

A leképezés a  vektoraihoz rendel -beli vektorokat, de egyáltalán nem biztos, hogy így az egész  előáll képként. A -nek azt a részét, amely a leképezés során előáll, a leképezés képterének nevezzük és -vel jelöljük.

A nullvektorból minden lineáris leképezés nullvektort csinál, vagyis képe mindig ,

de előfordulhat, hogy más -beli vektorok képe is nullvektor lesz.

Ezen vektorok halmazát nevezzük a leképezés magterének és -vel jelöljük.

A magtér és a képtér nem csupán részhalmazok -ben és -ben, hanem alterek is.  altér -ben és  altér -ben.

A képtér és a magtér dimenziója összesen éppen kiadja  dimenzióját.

Ezt az összefüggést dimenziótételnek nevezzük:

DIMENZIÓTÉTEL:

mateking.hu

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk egy mátrixszal. Valójában mindegyiket végtelen sok mátrixszal jellemezhetjük, ezek a mátrixok pedig úgy keletkeznek, hogy veszünk egy tetszőleges bázist -ben és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk. Nézzünk erre egy példát!

Vegyük például a tengelyes tükrözést.

Ez egy  lineáris leképezés.

A tükrözés mátrixát úgy kapjuk,

hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk: 

Vegyük például a tengelyes tükrözést. Ez egy  lineáris leképezés.

Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.

Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát, akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:

A szokásos bázis alapján a tükrözés mátrixát úgy kapjuk, hogy a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk: 

Ez tehát a tükrözés mátrixa, legalábbis a szokásos bázisban.

Ha ugyanis egy másik bázis alapján írjuk föl ugyanennek a tükrözésnek a mátrixát,

akkor egészen más mátrixot kapunk. Legyen például a másik bázis a következő:

A transzformáció mátrixa most is úgy keletkezik,

hogy egymás mellé írjuk a bázisvektorok képeit.

Van itt azonban egy izgalmas fordulat.

Addig minden stimmel, hogy a bázisvektorok képe:

Addig minden stimmel, hogy   megkaptuk az új bázisvektorok képeit.

Csakhogy itt az új bázisvektorok képeit még mindig a régi bázisban adtuk meg.

Nekünk azonban a bázisvektorok képeit is az új bázisvektorok segítségével kell megadnunk.

Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az  és  vektorokból,

hogy előálljanak  és  képei.

Az tehát a kérdés, hogy mennyit vegyünk az  és  vektorokból, hogy előálljanak  és  képei.

Ezúttal a szerencse megsegít bennünket, az  vektor képe ugyanis

ami úgy tűnik éppen  mínuszegyszerese.

Az  vektor képe tehát úgy jön ki, hogy -ből 0 darab, -ből pedig -1 darab kell.

Lássuk mi a helyzet az  vektor képével. Itt is szerencsénk van.

ami éppen az eredeti  mínuszegyszerese, tehát -ből -1 darab, -ből 0 darab kell.

Lássuk a transzformáció mátrixát ebben az új bázisban!

A tükrözés mátrixa most is

úgy keletkezik, hogy egymás mellé

írjuk a bázisvektorok képeit.

Csakhogy új bázisvektorok képeinek

ezeket az új koordinátáit kell írnunk

a tükrözés mátrixába.

Na ezt kell írnunk a mátrix első oszlopába, ahova az  vektor képe kerül.

Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.

Az  vektor képe szintén szerencsésen előállítható, ugyanis

ami pedig éppen az eredeti  mínuszegyszerese, tehát -ből -1db és -ből 0db kell.

Az új bázisvektorok képeinek ezek az új koordinátái kerülnek a transzformáció mátrixába.

Az új bázisban felírt mátrix:

Mindezt egyszerűbben is megkaphatjuk egy remek kis összefüggés segítségével.

ahol  az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban. Mit is jelent mindez?

Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez

és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos  mátrix tehát

                RÉGI BÁZIS

                ÚJ BÁZIS

A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:

A leképezés mátrixa sokkal többet is tud annál, minthogy egyszerűen leírja magát a leképezést.

Minden  vektorról megmondja, hogy mi lesz a vektor képe:

A  vektor képe úgy lesz, hogy egyszerűen

megszorozzuk a vektort a leképezés mátrixával.

Nézzük meg például mi lesz a tükrözés során

ebből a remek vektorból:

A tükrözés mátrixa normál bázisban:

A  vektor képe:

És tényleg!

Nézzük meg mi történik ugyanezzel a vektorral a másik bázisban.

Az új bázisban  koordinátái megváltoznak.

A  vektor éppen kétszerese -nek,

ezért az első koordinátája kettő,

a második koordináta pedig nulla.

A tükrözés mátrixa az új bázisban:

vagyis nulla darab -re és

–2 darab -re van szükség

Lássuk a leképezés mátrixának még néhány további izgalmas tulajdonságát.

Ha egy  leképezés mátrixa  akkor

a leképezés megfordításának mátrixa

A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy,

hogy a leképezés inverze.

A leképezés megfordítását nevezhetjük úgy, hogy a leképezés inverze.

Egy leképezésnek pontosan akkor létezik inverze, ha a  mátrixnak létezik inverze,

és az inverz leképezés mátrixa:

  mátrixa 

Ha van két leképezés, mondjuk  és  a leképezések mátrixa pedig  és ,

akkor a  leképezés mátrixa  lesz.

Nézzünk meg erre egy példát.

Legyen  az eddigi tükrözés az x tengelyre,

 pedig mondjuk  tükrözés az y tengelyre.

Ekkor  a két tükrözés egymás utáni

alkalmazása.

A  leképezés mátrixa:

Az x tengelyre tükrözés mátrixa:

Az y tengelyre tükrözés mátrixa:

Ez éppen az origó középpontú tükrözés mátrixa.

A leképezések egymás után alkalmazásáról szóló tétel

A  leképezés mátrixa:

A  leképezés a  vektor

A  leképezésben minden

vektor képét így kapjuk:

Ha létezik a leképezés

inverze, akkor mátrixa:

  mátrixa 

Ezek a tételek lehetővé teszik, hogy készítsünk egy remek kis képletet ami leírja, hogy miként változik meg egy leképezés mátrixa az új bázisra való átállásnál.

A leképezés mátrixa új bázisban felírva

ahol  az új bázisra áttérés mátrixa a régi bázisban.

Lássuk, hogy mit is jelent mindez!

Van ugye a transzformáció régi mátrixa, ez

és van ez a bizonyos , ami annak a transzformációnak a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál. Ez a bizonyos  mátrix tehát

és van ez a bizonyos  ami annak a leképezés-

nek a mátrixa, ami a régi bázisból új bázist csinál.                                                                                                                                                          

Ez a bizonyos  mátrix tehát egyszerűen

úgy keletkezik, hogy fogjuk az új bázis-

vektorokat és leírjuk egymás mellé.

A képlet azt mondja, hogy az új mátrixot így kapjuk:

Ez csodás, így is kijött a tükrözés új mátrixa, kevesebb gondolkodással és több számolással.

Mindezeket foglaljuk össze!

LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK MÁTRIXA

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk:

Ha egy másik  bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt  az új bázisra való áttérés mátrixa:

Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázisvektorokat

fogjuk és leírjuk egymás mellé.

Egyszerűen úgy keletkezik, hogy az új bázis

vektorait leírjuk egymás mellé.

Ha  és  olyan mátrixok, hogy létezik egy  mátrix

úgy, hogy

akkor az előző tétel alapján  és  mindketten

ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak éppen

más-más bázisban felírva.

Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.

Ez elvezet minket néhány nagyon izgalmas összefüggéshez, amik most fognak jönni!

 és mátrixok hasonlók, tehát , ha létezik olyan  mátrix, amire


Lineáris leképezések vizsgálata

Egy  leképezést akkor nevezünk lineáris leképezésnek, ha bármely  vektorokra és  számra teljesül, hogy

A leképezés  vektoraihoz rendel hozzá -ben lévő vektorokat.

A -nek ezt a részét képtérnek nevezzük és -vel jelöljük.

Vannak olyan vektorok, amikből a leképezés nullvektort csinál.

A -nek azt a részét amiben ezek a vektorok vannak magtérnek nevezzük

és -vel jelöljük.

 lineáris leképezés, ha

 és  

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal. Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixa

Lássunk néhány példát!

Vegyük azt a leképezést, amely  és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt van két vektor

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Van itt azonban egy kis gond, ha elvégezzük az összeadást.

Úgy tűnik tehát nem teljesül, hogy  ezért a másik tulajdonságot meg se nézzük,  sajna nem lineáris leképezés.

Nézzünk meg egy másik leképezést is, amely  és

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret a magteret és a transzformáció mátrixát.

Itt vannak megint ezek a vektorok

és vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e:

Nézzük, teljesül-e, hogy:

Mindkettő teljesül, tehát a leképezés lineáris.

Most, hogy ez kiderült, lássuk mi lesz a magtér és a képtér, illetve a leképezés mátrixa.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

Ebből  következik, vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája bármi, de második koordinátája nulla, vagyis:

A transzformáció mátrixa standard bázisban:

             tehát a transzformáció mátrixa: 

Ez igazán remek, úgyhogy nézzünk meg még egy leképezést is.

Vegyük azt az  leképezést, hogy

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Itt van két vektor

és lássuk, hogy teljesül-e:

Ezek sajna nem egyenlők, így nem teljesül,

hogy  tehát

 nem lineáris leképezés.


Néhány nevezetes lineáris leképezés és mátrixa

Elérkezett az idő, hogy megnézzük néhány fontosabb lineáris leképezés mátrixát.

Olyan leképezésekét, amiket már régebbről mindenki ismer.

Az első ilyen leképezés a tengelyes tükrözés.

A mátrixot a szokásos bázis szerint írjuk fel:

x tengelyre tükrözés

Aztán itt van az  leképezések közül az egyik

legfontosabb, az origó középpontú -szögű forgatás,

ami esetén éppen az origó középpontú tükrözés.

origó középpontú

-szögű forgatás

A szokásos bázisban az -szögű forgatás mátrixa:

Lássuk a koordinátákat!

Az -irányszögű egységvektor első koordinátája

második koordinátája

Az irányszög most éppen , ezért

az első koordináta

a második koordináta

Vannak itt aztán ezek a trigonometriai összefüggések,

amiket érdemes megjegyeznünk:

Az irányszög most , ezért

az első koordináta

a második koordináta

Az origó középpontú tükrözés mátrixát egyszerűen

úgy kapjuk, hogy

origóra tükrözés

A lineáris leképezések egy külön csoportját alkotják a vetítések, vagy más néven projekciók.  Nézzük meg az x tengelyre való merőleges vetítést.

A szokásos bázis alapján a vetítés mátrixa:

x tengelyre vetítés


HOM (V1,V2)

A LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK VEKTORTERE: HOM (V1,V2)

A  lineáris leképezést másnéven homomorfizmusnak is nevezzük.

Ezek a homomorfizmusok és azok mátrixai maguk is egy vektorteret alkotnak,

ezt a vektorteret -nek nevezzük.

Injektívnek nevezzük azokat a    homomorfizmusokat, ahol különböző vektorok képe is különböző:

Ha  akkor  

Ha tudunk mutatni olyan  vektorokat amire  

akkor a homomorfizmus nem injektív.

Lássuk milyen következményei vannak ennek.

Nevezzük el mondjuk valami -nek.

Viszont ugye

Tehát  ami azt jelenti, hogy  benne van a magtérben.

Vagyis az, hogy egy leképezés nem injektív, éppen azt jelenti, hogy -ben vannak a nullvektoron kívül más vektorok is, tehát

Az állítás megfordítása is igaz, ha  akkor a magtérben kell, hogy legyen

a nullvektoron kívül valamilyen más  vektor is,

aminek a képe viszont  , mert ugye benne van a magtérben.

Vagyis két különböző vektor képe ugyanaz és így a leképezés nem injektív.

A    homomorfizmus pontosan akkor injektív, ha

Ekkor  a dimenziótétel alapján  vagyis a leképezés dimenziótartó.

A sík szokásos transzformációi közül az x vagy y tengelyre tükrözés és az origó körüli forgatás dimenziótartó transzformáció, az x tengelyre vetítés nem.

Van aztán egy másik izgalmas tulajdonság is.

Egy leképezést szürjektívnek nevezünk, ha a teljes  előáll képként.

Azok a    homomorfizmusok, amelyek injektívek és szürjektívek is egyszerre,

a bijektív homomorfizmusok.

Ezekre külön elnevezés van forgalomban, őket nevezzük izomorfizmusoknak.

Ha    izomorfizmus, akkor  és a dimenziótétel miatt

Ráadásul a képtér éppen megegyezik -vel, ezért .

Ha    izomorfizmus, akkor .

Az izomorfizmus tehát egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés két vektortér vektorai között, az egyik vektortér minden vektorához tartozik a másik vektortérben pontosan egy bizonyos vektor, vagyis a két vektortér lényegében ugyanaz.

Ez a  miatt is így kell, hogy legyen, hiszen egy vektorteret a dimenziója már jellemez. 


Hasonló mátrixok

Minden lineáris leképezést jellemezhetünk mátrixokkal.

Ezeket a mátrixokat úgy kapjuk, hogy veszünk egy bázist -ben, és a bázisvektorok képeit egymás mellé írjuk.

Mivel végtelen sok bázis van -ben, ezért ugyanannak a lineáris leképezésnek végtelen sok mátrixa van.

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixa

Egy másik  bázisban felírt mátrixa pedig

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt  az új bázisra való áttérés mátrixa:

Ez a bizonyos  mátrix tehát egyszerűen úgy keletkezik,

hogy fogjuk az új bázisvektorokat és leírjuk egymás mellé.

Ha  és  olyan mátrixok, hogy létezik egy

mátrix, úgy, hogy

akkor az előző tétel alapján  és  mindketten ugyanannak a leképezésnek a mátrixa, csak más-más bázisban felírva.

Ezt a tényt úgy nevezzük, hogy a két mátrix egymáshoz hasonló.

 és  mátrixok hasonlók, vagyis , ha létezik olyan  mátrix, amire

Ha még emlékszünk rá, az  mátrix akkor diagonalizálható, ha létezik n darab független sajátvektora, vagyis sajátvektorokból álló bázisa és a diagonalizáló mátrix éppen a sajátvektorok egymásmellé írásából kaptuk.

Na ez nem más, mint az iménti új bázisra való átállás tétele:

  ahol  sajátvektorokból álló mátrix

Ezek szerint bármely  mátrix hasonló a diagonális alakjával:

.

Ha pedig van egy másik  mátrix, amelynek szintén létezik diagonális alakja és

akkor ebből következik, hogy .

Az állítás megfordítása is igaz, vagyis megállapíthatjuk, hogy ha  és mindketten diagonalizálható mátrixok, akkor

Lássunk néhány példát!

Itt vannak ezek a mátrixok, a feladatunk pedig az, hogy döntsük el melyek hasonlóak közülük.

Próbáljuk meg előállítani a diagonális alakjukat, mert ha ugyanaz a diagonális alak,

akkor hasonlóak.

Előfordulhat köztük olyan mátrix is, amelyiknek nincs diagonális alakja,

de majd ott is biztosan történni fog valami. Szóval kezdjük el.

Az  mátrix diagonális alakjával kezdjük. Kiszámoljuk a sajátértékeket:

Úgy tűnik van három különböző sajátérték,

mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig

különböző sajátvektorok tartoznak, van három

független sajátvektor.

Így hát  diagonalizálható.

Jöhet a  diagonális alakja.

Ezzel nem lesz sok dolgunk, mert eleve diagonális mátrix.

 Kiemelünk 3-at

sőt inkább legyen -3

és aztán  is kiemelhető

Úgy tűnik van három különböző sajátérték, mivel pedig különböző sajátértékekhez mindig különböző sajátvektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát  diagonalizálható.

És itt van még ez a  is.

A determinánst a legalsó sor szerint fejtjük ki

Ez az egész nulla, úgyhogy talán hagyjuk is.

Nem tudunk semmit kiemelni, így hát felbontjuk a zárójeleket.

és összevonunk

végül kiemelünk

A sajátértékek:

Itt is van három különböző sajátérték, mivel pedig

különböző sajátértékekhez mindig különböző saját-

vektorok tartoznak, van három független sajátvektor.

Így hát  is diagonalizálható.

Lássuk a hasonló mátrixokat!

így hát három mátrix van, amelyek ugyanannak a leképezésnek a mátrixai,

csak más-más bázisban felírva, a negyedik mátrix viszont eltérő.


Sajátbázis, diagonális alak 1.0

A  leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely  vektorokra és  számra teljesül, hogy

 lineáris leképezés, ha

 és  

A  lineáris leképezésnek a  bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk

Ha egy másik  bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt  az új bázisra való áttérés mátrixa:

Itt  a sajátbázisra való áttérés mátrixa:

SAJÁTBÁZIS

Bármilyen bázist választunk is -ben, a leképezés mátrixa mindig egy -es mátrix lesz. Ha ennek a mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor ezek a sajátvektorok szintén egy bázist alkotnak -ben, amit sajátbázisnak nevezünk.

A leképezés sajátbázisa nagyon sok mindent tud.

Ha egy leképezésnek létezik sajátbázisa, az azt jelenti, hogy a leképezés mátrixának van n darab független sajátvektora, vagyis a mátrix diagonalizálható.

A diagonalizáló mátrix úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat egymás mellé írjuk.

Ez egyúttal a sajátbázisra való áttérés mátrixa is.

Ha létezik  sajátbázis, akkor a leképezés mátrixa sajátbázisban felírva

mindig diagonális mátrix.

Ebben a mátrixban  éppen az  

sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek.

Lássunk erre egy példát!

Van itt ez az  leképezés:

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait,

ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Legyen

Nézzük meg, hogy teljesül-e:

Ez is teljesül, tehát a leképezés lineáris. Végre rátérhetünk az izgalmasabb részekre.

Nézzük mi lesz a magtér és a képtér.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

A jelek szerint tehát  és vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája valami, a második koordináta ennek a mínuszegyszerese, a harmadik koordináta pedig bármi.

A transzformáció képtere tehát kétdimenziós:

Nézzük meg a leképezés mátrixát.

A mátrixot a standard bázisban írjuk fel:

vagyis a transzformáció mátrixa:

Lássuk van-e a leképezésnek sajátbázisa. Ehhez ki kell számolnunk a sajátértékeket

és meg kell keresni a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.

A karakterisztikus egyenlet:

Az utolsó sor szerint fejtünk ki.

A sajátértékek:    

A sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk a  egyenletrendszert.

Ez három különböző egyenletrendszer lesz, amit megoldhatnánk elemi bázistranszformációval is, de most nincs kedvünk azzal megoldani.

Van 3 független sajátvektor, így létezik sajátbázis és a transzformáció mátrixa diagonalizálható.

A diagonalizáló mátrixot úgy kapjuk, hogy a sajátvektorokat egymásmellé írjuk, ami tulajdonképpen nem más, mit az új bázisra, való áttérés mátrixa.

Ez az új bázis éppen a sajátbázis.

És íme, a diagonális alak:

Nézzünk meg egy másik leképezést is!


Sajátbázis, diagonális alak 3.0

Mátrixok diagonális alakja (Gauss)

Kvadratikus alakok definitsége

Egy 3x3-as mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámolása (Gauss)

A Cramer szabály

Sajátérték és sajátvektor (Gauss)

Lineáris leképezések mátrixa 2.0

Sajátbázis, diagonális alak 2.0