A leképezést lineáris leképezésnek nevezzük, ha bármely vektorokra és számra teljesül, hogy

lineáris leképezés, ha

és

A lineáris leképezésnek a bázisban felírt mátrixát úgy kapjuk meg, hogy a bázisvektorok képeit egymásmellé írjuk

Ha egy másik bázisban írjuk föl a mátrixot, akkor

A két mátrix közötti átjárást az alábbi tétel biztosítja:

Itt az új bázisra való áttérés mátrixa:

Itt a sajátbázisra való áttérés mátrixa:

SAJÁTBÁZIS

Bármilyen bázist választunk is -ben, a leképezés mátrixa mindig egy -es mátrix lesz. Ha ennek a mátrixnak van n darab független sajátvektora, akkor ezek a sajátvektorok szintén egy bázist alkotnak -ben, amit sajátbázisnak nevezünk.

A leképezés sajátbázisa nagyon sok mindent tud.

Ha egy leképezésnek létezik sajátbázisa, az azt jelenti, hogy a leképezés mátrixának van n darab független sajátvektora, vagyis a mátrix diagonalizálható.

A diagonalizáló mátrix úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat egymás mellé írjuk.

Ez egyúttal a sajátbázisra való áttérés mátrixa is.

Ha létezik sajátbázis, akkor a leképezés mátrixa sajátbázisban felírva

mindig diagonális mátrix.

Ebben a mátrixban éppen az

sajátvektorokhoz tartozó sajátértékek.

Lássunk erre egy példát!

Van itt ez az leképezés:

Ellenőrizzük, hogy valóban lineáris leképezés-e, ha igen adjuk meg a képteret, a magteret és a transzformáció mátrixát, adjuk meg a sajátértékeit, sajátvektorait,

ha van, akkor a sajátbázisát és a diagonális alakját.

Elsőként megnézzük, hogy valóban lineáris leképezés-e.

Legyen

Nézzük meg, hogy teljesül-e:

Ez is teljesül, tehát a leképezés lineáris. Végre rátérhetünk az izgalmasabb részekre.

Nézzük mi lesz a magtér és a képtér.

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek képe nullvektor, tehát

A jelek szerint tehát és vagyis a magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:

A magtérben olyan vektorok vannak, amelyek első és második koordinátája megegyezik, a harmadik koordinátája pedig nulla:

A képtérben olyan vektorok vannak, amelyek első koordinátája valami, a második koordináta ennek a mínuszegyszerese, a harmadik koordináta pedig bármi.

A transzformáció képtere tehát kétdimenziós:

Nézzük meg a leképezés mátrixát.

A mátrixot a standard bázisban írjuk fel:

vagyis a transzformáció mátrixa:

Lássuk van-e a leképezésnek sajátbázisa. Ehhez ki kell számolnunk a sajátértékeket

és meg kell keresni a hozzájuk tartozó sajátvektorokat.

A karakterisztikus egyenlet:

Az utolsó sor szerint fejtünk ki.

A sajátértékek:

A sajátértékekhez tartozó sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk a egyenletrendszert.

Ez három különböző egyenletrendszer lesz, amit megoldhatnánk elemi bázistranszformációval is, de most nincs kedvünk azzal megoldani.

Van 3 független sajátvektor, így létezik sajátbázis és a transzformáció mátrixa diagonalizálható.

A diagonalizáló mátrixot úgy kapjuk, hogy a sajátvektorokat egymásmellé írjuk, ami tulajdonképpen nem más, mit az új bázisra, való áttérés mátrixa.

Ez az új bázis éppen a sajátbázis.

És íme, a diagonális alak:

Nézzünk meg egy másik leképezést is!