Analízis 2 epizód tartalma:

Mit nevezünk egzakt differenciálegyenletnek? Az egzakt differenciálegyenlet megoldása, Az egzaktság ellenőrzése, Az F(x,y) függvény megtalálása, Kettősintegrál, Általános megoldás, Differenciálegyenlet feladatok megoldással..

A képsor tartalma

2. Egzakt differenciálegyenlet

Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…

létezik egy olyan függvény, hogy

Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:

Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.

Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.

Ezt kétféleképpen is megtehetjük.

Vagy deriválással, vagy integrálással.

Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.

Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .

Ezt integrálással deríthetjük ki.

De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:

(rémes vérfertőzés)

Ezt deriválással ellenőrizhetjük.

Nos, deriválni jobb.

Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,

utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.

Remek terv, lássunk egy feladatot.

Van itt egy egyenlet:

Lássuk, vajon egzakt-e.

Az egyenlet akkor egzakt, ha

Nos úgy tűnik igen.

Az egzakt egyenletek megoldása ahol

A megoldást integrálással kapjuk:

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.

Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.

Most hasonlítsuk össze az eredetivel.

Úgy tűnik, hogy

Hát ez megvolna.

Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,

vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.

Sajnos ez nem mindig sikerül.

De most igen.

Lássunk egy másikat is.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.

x szerint integrálunk,

ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.

És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.

Lássuk most éppen mi lesz.

Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.

Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.

Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.

Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.

Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.

Erről fog szólni a következő képsor.

Van itt ez az egyenlet

ami sajnos nem egzakt, mert

A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.

Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.

Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.

A jelek szerint igen.

Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:

Végül kiderítjük mi lehet a .

Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.

Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.

A válasz most jön.

Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.

Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:

Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.

Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,

vagy a második csak x-et tartalmaz,

nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.

Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.

De a második az jó.

Az integráló tényező megtalálása

Itt jön aztán egy másik egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

Nos nem igazán.

Úgyhogy jön az integráló tényező.

Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…

szóval sajna nem jó.

A második bíztató…

Nos ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.

Na és még itt van ez a is.

Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.

Íme, itt egy egyenlet.

Megnézzük egzakt-e.

A jelek szerint nem egzakt.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Némi átalakítás után…

Nos, ez az egyenlet már egzakt.

Úgyhogy jöhet a megoldás:

Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.

Itt jön aztán még egy egyenlet:

Lássuk, egzakt-e.

Hát nem.

Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.

Most mindegy melyiket használjuk.

De ez könnyebbnek látszik.

Most pedig jöhet a megoldás.

 

Egzakt differenciálegyenlet

04
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Mit nevezünk egzakt differenciálegyenletnek? Az egzakt differenciálegyenlet megoldása, Az egzaktság ellenőrzése, Az F(x,y) függvény megtalálása, Kettősintegrál, Általános megoldás, Differenciálegyenlet feladatok megoldással..

Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?
Ugrás az
összeshez

Fórum

Tartsd a kapcsolatot sorstársaiddal. Segítsetek egymásnak matekból.