Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Analízis 2

Kategóriák
  • Határozatlan integrálás, primitív függvény
  • Határozott integrálás
  • Paraméteres görbék
  • Differenciálegyenletek
  • Izoklinák
  • Lineáris rekurzió
  • Laplace transzformáció
  • Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
  • Fourier sorok
  • Mátrixok, vektorok, vektorterek
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
  • Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések
  • Kétváltozós függvények
  • Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
  • Kettős és hármas integrál

Kettős és hármas integrál

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
A kettős integrál kiszámolása
01
 
Kettős és hármas integrál feladatok
02
 
Kettősintegrál normáltartományon
02
 
Térfogatszámítás kettős integrállal
03
 
Néhány vicces kettősintegrál
03
 
Kettős és hármas integrálok henger és gömbi koordinátákkal
04
 
A polárkoordinátás helyettesítés
05
 
A polárkoordinátás helyettesítés 2.0
06
 
A polárkoordinátás helyettesítés | Egy izgalmas feladat
07
 
A hármas integrál
08
 
Henger koordinátás helyettesítés
09
 
Gömbi koordinátás helyettesítés
10
 
Gömbi koordinátás helyettesítés | egy izgalmas ügy
11
 
Gömbi koordinátás helyettesítés | egy nagyon tanulságos feladat
12
 
FELADAT | Kettős integrál
13
 
FELADAT | Kettős integrál
14
 
FELADAT | Kettős integrál
15
 
FELADAT | Kettős integrál
16
 
FELADAT | Kettős integrál
17
 
FELADAT | Kettős integrál trapézon
18
 
FELADAT | Kettős integrál trapézon
19
 
FELADAT | Kettős integrál trapézon
20
 
FELADAT | Kettős integrál
21
 
FELADAT | Kettős integrál
22
 
FELADAT | Kettős integrál
23
 
FELADAT | Kettős integrál
24
 
FELADAT | Kettős integrál
25
 
FELADAT | Kettős integrál
26
 
FELADAT | Kettős integrál polárkoordinátákkal
27
 
FELADAT | Kettős integrál
28
 
FELADAT | Kettős integrál
29
 
FELADAT | Kettős integrál
30
 
FELADAT | Hármas integrál
31
 
FELADAT | Hármas integrál
32
 
FELADAT | Hármas integrál
33
 
FELADAT | Kettős integrál
34
 
FELADAT | Kettős integrál
35
 
FELADAT | Kettős integrál
36
 
FELADAT | Kettős integrál

Kettősintegrál téglalapon

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

\( \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \; dydx = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) \; dxdy \)

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az $x$ szerinti határokat adjuk meg és utána az $y$ szerintit vagy fordítva.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kétváltozós függvények határozott integrálja

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátáit, kirajzolódik az $x, y$ sík felett a függvény, ami egy felület.

A kétváltozós függvények határozott integrálja így egy test térfogata.

\( \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) \; dxdy \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Polárkoordinátás helyettesítés

A polárkoordinátás helyettesítés egy olyan helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz. A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos $x$ és $y$ koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt $r$-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és jele $\theta$.

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek. A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő: 

\( x= r \cos{ \theta} \quad y = r \sin{\theta} \)

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek. A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

\( \int \int_D f(x,y) \; dydx = \int \int_D f(r \cos{\theta}, r\sin{\theta}) r \; dr d\theta \)

 

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hármas integrál

A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le. A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.

Mondjuk sűrűséget vagy fluxust vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Henger koordinátás helyettesítés

A henger-koordináták:

\( x= r \cos{\theta} \quad y = r \sin{\theta} \quad z=z \)

A henger-koordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

\( \int \int \int_D f(x,y,z) \; dxdydz = \int \int \int_D f( r \cos{\theta}, r\sin{\theta}, z) r \; dr d \theta dz \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gömbi koordinátás helyettesítés

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.

Az $r$ azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól, a $\varphi$ és $\theta$ pedig két forgás-szög.

A régi $x, y, z$ és az új gömbi koordináták közti kapcsolat:

\( x = r \sin{ \varphi} \cos{ \theta} \quad y = r \sin{ \varphi} \sin{ \theta} \quad z = r \cos{ \varphi} \)

A gömb koordinátás helyettesítés:

\( \int \int \int_D f(x, y, z) \; dxdydz = \int \int \int_D f \left( r \sin{ \varphi} \cos{ \theta}, r \sin{\varphi} \sin{\theta}, r \cos{ \varphi} \right) r^2 \sin{\varphi} \; dr d\theta d\varphi \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Határozzuk meg az alábbi kettős integrál értékét:

a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^2+xy^4+y^3 \; dxdy  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott derékszögű háromszög!

$$ \iint_D x^2+4y^3 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D x+4y \; dydx  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D xy \; dydx  $$

c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Végezzük el az alábbi intergálásokat.

a) $$ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} xe^{xy} \; dxdy  $$

b) $$ \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\sqrt{\pi}} \cos{y^2} \; dydx  $$

c) $$ \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sqrt{1+y^3} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} 5-x^2-y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Integráljuk a $D: x^2+y^2\leq 9$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Számítsuk ki a $z=\sqrt{x^2+y^2}$ és a $z=6-x^2-y^2$ felületek által határolt térrész térfogatát.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Végezzük el az alábbi intergálásokat.

a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (x+y+z) \; dxdydz  $$

b) $$ \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 1 \; dxdydz  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{5} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{-2}^{2} 1 \; dxdydz  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Integráljuk az origó középpontú $R=5$ sugarú gömbön ezt a függvényt:

\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)=z \sqrt{x^2+y^2} \)

\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)

\( D: \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+y^2}<z<\sqrt{3} \sqrt{x^2+y^2} \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<9 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} 3x-2y^3+2 \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{y}{(xy+2)^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( y+e^{3x}-1 \right) \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{6y}{ \left( 2x+3y^2+1 \right)^2 } \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( x^2-1 \right) \cdot e^{-3y} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(6,0), C(3,4), és a D(1,4) pontok által meghatározott trapéz!

$$ \iint_T y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(5,0), C(4,6), és a D(3,6) pontok által meghatározott trapéz!

$$ \iint_T e^{6x+y} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(2,0), B(4,0), C(0,4), és a D(6,4) pontok által meghatározott trapéz!

$$ \iint_T x+y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{y^2}^{1} y \sin{x^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{16} \int_{ \frac{ \sqrt{y}}{2}}^{2}  \sqrt[5]{1+x^3} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 0\leq x \quad 0\leq y \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= \frac{x^3y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad x\leq y \quad -\sqrt{3}x\leq y \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= xy \cdot \sqrt{x^2+y^2} \)

\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 3x^2\leq y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

25.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= xy \)

\( D: x^2-4x+y^2 \leq 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

26.

Számítsuk ki a $ z = \sqrt{x^2+y^2} $ és a $ z=2-x^2-y^2 $ felületek által határolt térrész térfogatát.

Megnézem, hogyan kell megoldani

27.

Integráljuk a következő függvényt:

$$ \int_{0}^{2} \int_{ 0 }^{\sqrt{4-y^2}}  x^2+y^2 \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

28.

Integráljuk a következő függvényt:

$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-x^2} }^{0}  \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

29.

Integráljuk a következő függvényt:

$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-y^2} }^{0}  \frac{4\sqrt{x^2+y^2}}{1+x^2+y^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani

30.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad 4\leq x^2+y^2+z^2 \leq 9 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

31.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)= z\cdot \sqrt{x^2+y^2} \)

\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

32.

Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

33.

Oldjuk meg az alábbi integrált.

\( \int_{0}^{2} \int_{ \frac{y}{2}}^{1} e^{x^2} \; dxdy \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

34.

Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény integrálját azon a véges tartományon, amelyet az adott egyenletű görbék zárnak közre.

\( f(x,y)=2x \cos{y} \quad y=x^2 \quad y+x=6 \quad y=0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

35.

Vázoljuk fel az integrálási tartományt, majd számítsuk ki a megadott függvény kettős integrálját!

\( f(x,y)=\frac{8y}{x^3} \quad D=\left\{ (x,y) \in R^2 \; \mid \; 1 \leq x \leq 4 \quad \sqrt{x} \leq y x \right\} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

36.

Számítsuk ki az $f(x,y)=e^y + x$ kettős integrálját azon a tartományon, melyet az $x$ tengely, az $x=4$ egyenes és az $y=\ln{x}$ függvények határolnak.

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogy mi az a kettősintegrál. Kétváltozós függvények integrálása, A grafikon alatti térfogat, Integrálás téglalap alakú tartományon, Integrálás normáltartományon, A határok felcserélhetősége, A kettősintegrál kiszámolása, Kettősintegrál feladatok megoldással. Mi az a kettősintegrál, A kétváltozós függvények ábrázolása, A grafikon alatti térfogat, Normáltartomány, Integrálás normáltartományon, A határok felcserélhetősége, A kettősintegrál kiszámolása. Az integrálás sorrendjének felcserélése, hogy elkerüljük a ronda integrálásokat, A sorrend felcserélése és a határoló függvények kicserélése. Mik azok a polárkoordináták? Hogyan kell átállni a normál koordinátákról polárkoordinátákra? A polárkoordináták haszna, Polárkoordináta jelentése, Polárkoordináta rendszer, Polárkoordinátás helyettesítés, Integrálás a polárkoordinátás helyettesítéssel. Mikor kell polárkoordinátás helyettesítést használni? Izgalmasabb polárkoordinátás helyettesítések, A polárkoordináták igazi ereje, egészen extrém alakzatokon történő integrálás. Két felület közötti térrész térfogatának kiszámolása polárkoordinátákkal, Izgalmasabb polárkoordinátás helyettesítések, A polárkoordináták igazi ereje, egészen extrém alakzatokon történő integrálás. Mi az a hármas integrál, Hogyan néz ki, Néhány példa hármas integrálra, Térfogati integrál, Térfogati integrál feladatok megoldással, Testek térfogatának kiszámítása, Hármas integrál feladatok megoldással. Hármas integrál hengerkoordinátákkal, A henger koordinátás helyettesítés, Integrálás feladatok hengerkoordinátákkal. Gömbi koordináták, A gömbi koordinátás helyettesítés, Hármas integrálok gömbi koordinátákkal, Térfogat integrál gömbi koordinátákkal, Hármas integrál feladatok gömbi koordinátákkal, A gömb térfogatának kiszámolása. Végezetül gömbi koordinátás helyettesítés alkalmazása hármas integrálo kiszámolásánál, Mik azok a gömbi koordináták, A gömbi koordinátás helyettesítés, Hármas integrálok gömbi koordinátákkal, Integrálás forgáskúpon.



A kettős integrál kiszámolása

Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.

A függvény grafikonja egy vonal.

Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.

Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.

Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,

vagy fordítva.

Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál

ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.

Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.

Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.

Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…

és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.

A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.

Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.

x-et integráljuk,  pedig csak konstans szorzónak számít.

És  is konstans szorzónak számít.

Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.

De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.

Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.

Ezúttal y szerint.

Végül behelyettesítünk.

y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.

Hát ez kész.

Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.

Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…

de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.

Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.

x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.

Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…

Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.

A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .

És most kezdjünk el integrálni.

A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.

Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,

x meg olyan, mintha konstans lenne.

Aztán y helyére behelyettesítünk.

És ezt integráljuk x szerint.

A folytatás még izgalmasabb lesz…


Kettősintegrál normáltartományon

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


A polárkoordinátás helyettesítés

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


A polárkoordinátás helyettesítés 2.0

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


Néhány vicces kettősintegrál

Most pedig néhány egészen vicces integrálás következik.

Itt is van az első:

Ebben a trükk az, hogy a belső integrálás x-szerinti, viszont az ilyen  sajnos parciális integrálás.

Fenének van kedve parciálisan integrálni, így aztán megcseréljük az integrálás sorrendjét.

Most a belső integrálás y-szerinti, tehát x itt olyan, mintha konstans lenne, úgyhogy csak annyit kell integrálni, hogy …

na jó, valami c-szer

Ja és még itt van ez is, hogy a kitevőben valami a-szor y van.

A következő még viccesebb lesz.

Íme, itt is van:

Na ezzel meg az a probléma, hogy y-szerint nem igazán tudjuk integrálni.

Úgyhogy kénytelenek vagyunk x-szerint.

Úgy nem lesz nehéz, mert x-szerint  csak konstansnak számít.

A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…

ami nem maradhat így, ezért egy kis trükkre van szükség.

Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk -ig

és y-szerint x-től -ig.

De mindezt fordítva is nézhetjük.

Aztán itt jön egy még izgalmasabb eset.

Az a helyzet, hogy y-szerint meglehetősen kellemetlen lenne ezt integrálni.

Ezért megint megcseréljük a sorrendet.

A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…

ami nem maradhat így, ezért ismét egy kis trükkre van szükség.

Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk 4-ig

és y-szerint -től 2-ig.

De mindezt fordítva is nézhetjük.


A hármas integrál

Az egész az egyváltozós függvények integrálásával kezdődött.

Aztán jött a kettősintegrál, amikor egy síkbeli alakzat felett integráltunk.

És most egy térbeli alakzaton fogunk integrálni.

Hát ez érdekes lesz.

Kezdetnek itt van mondjuk egy ilyen:

Rétegenként integrálgatunk…

Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.

A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le.  A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.

Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.

Ha az előző példánkban szereplő függvény az  akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.

Lássunk erre egy példát.

Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.

Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.


Henger koordinátás helyettesítés

Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.

A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le.  A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.

Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.

Ha az előző példánkban szereplő függvény az  akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.

Lássunk erre egy példát.

Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.

Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.

Érdemes megjegyezni, hogy

De azért akadnak izgalmasabb alakzatok is.

Próbáljuk meg például kiszámolni ennek a hengernek a térfogatát.

Az alapkörének egyenlete:

Az ismeretlent tartalmazó határokat belülre tesszük…

Na és itt kezdődnek a bonyodalmak.

Ezt az integrálást ugyanis meglehetősen kellemetlen lenne kiszámolni. Pont ezért vezettük be korábban a polárkoordinátákat.

Itt az ideje, hogy megint használjuk őket. Csak éppen ezúttal már három dimenzióban.

És van még egy harmadik koordináta is, ami marad z.

Ezeket a koordinátákat henger-koordinátáknak nevezzük.

…és ne felejtsük el r-el szorozni.

Ez csodás. Most pedig számoljunk ki valami bonyolultabbat. Integráljunk ezen a hengeren valamilyen függvényt.


Gömbi koordinátás helyettesítés

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.

Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…

a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.

Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.

Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.

Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.

És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.

Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:

A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:

Most pedig lássuk az integrálás határait.

A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...

A teljes gömbön integrálunk, így  befutja a teljes kört…

És  pedig…

Nos  csak egy félkört.

Most  szerint integrálunk.

Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen  ezért ez  szempontjából konstansnak számít.

Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.

Nézzük meg ezt is.

Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:

Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…

Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:

És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.

Ez itt például egy gömb.

Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.

Na a másik az már érdekesebb…

Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.

Az egyik a forgásparaboloid…

a másik pedig a forgáskúp.

A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.

Sőt, mindjárt kettővel.

Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.

Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:

Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.

És a teljes körön.

A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.

És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.

Nos, itt is vannak.

Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.

Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.

A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.

Nos, ha még emlékszünk rá:

A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:

Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.

Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.

És most lássuk a mellékszereplőket.

Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.

Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.

y szerint integrálunk,

és x három szektorban lehet.

És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.

Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…

De most sokkal rosszabb lesz.

Mindig a zöld tartományon integrálunk.

Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,

akkor mindig a nullát integráljuk.

Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:

Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.

Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.

Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.

Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.

Először x szerint deriválunk…

aztán y szerint.


Gömbi koordinátás helyettesítés | egy izgalmas ügy

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.

Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…

a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.

Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.

Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.

Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.

És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.

Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:

A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:

Most pedig lássuk az integrálás határait.

A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...

A teljes gömbön integrálunk, így  befutja a teljes kört…

És  pedig…

Nos  csak egy félkört.

Most  szerint integrálunk.

Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen  ezért ez  szempontjából konstansnak számít.

Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.

Nézzük meg ezt is.

Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:

Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…

Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:

És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.

Ez itt például egy gömb.

Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.

Na a másik az már érdekesebb…

Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.

Az egyik a forgásparaboloid…

a másik pedig a forgáskúp.

A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.

Sőt, mindjárt kettővel.

Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.

Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:

Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.

És a teljes körön.

A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.

És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.

Nos, itt is vannak.

Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.

Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.

A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.

Nos, ha még emlékszünk rá:

A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:

Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.

Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.

És most lássuk a mellékszereplőket.

Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.

Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.

y szerint integrálunk,

és x három szektorban lehet.

És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.

Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…

De most sokkal rosszabb lesz.

Mindig a zöld tartományon integrálunk.

Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,

akkor mindig a nullát integráljuk.

Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:

Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.

Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.

Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.

Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.

Először x szerint deriválunk…

aztán y szerint.


Gömbi koordinátás helyettesítés | egy nagyon tanulságos feladat

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

A polárkoordinátás helyettesítés | Egy izgalmas feladat

FELADAT | Kettős integrál polárkoordinátákkal

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Hármas integrál

FELADAT | Hármas integrál

FELADAT | Hármas integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim