Kettős és hármas integrál

1.

a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} x^2+xy^4+y^3 \; dxdy  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ egyenes és a koordinátatengelyek által meghatározott derékszögű háromszög!

$$ \iint_D x^2+4y^3 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=2-x$ és $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D x+4y \; dydx  $$

b) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D xy \; dydx  $$

c) Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol D az $y=\sqrt{x}$ és $y=x^2$ által közrefogott tartomány!

$$ \iint_D \frac{y}{\sqrt{x}} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Végezzük el az alábbi intergálásokat.

a) $$ \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} xe^{xy} \; dxdy  $$

b) $$ \int_{0}^{\sqrt{\pi}} \int_{x}^{\sqrt{\pi}} \cos{y^2} \; dydx  $$

c) $$ \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \sqrt{1+y^3} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} 5-x^2-y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Integráljuk a $D: x^2+y^2\leq 9$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Számítsuk ki a $z=\sqrt{x^2+y^2}$ és a $z=6-x^2-y^2$ felületek által határolt térrész térfogatát.

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Végezzük el az alábbi intergálásokat.

a) $$ \int_{1}^{2} \int_{0}^{1} \int_{1}^{2} (x+y+z) \; dxdydz  $$

b) $$ \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} 1 \; dxdydz  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{5} \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{-2}^{2} 1 \; dxdydz  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Integráljuk az origó középpontú $R=5$ sugarú gömbön ezt a függvényt:

\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)=z \sqrt{x^2+y^2} \)

\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)=z \left( x^2+y^2 \right) \)

\( D: \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{x^2+y^2}<z<\sqrt{3} \sqrt{x^2+y^2} \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2<9 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


12. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} 3x-2y^3+2 \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


13. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{y}{(xy+2)^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


14. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( y+e^{3x}-1 \right) \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


15. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{6y}{ \left( 2x+3y^2+1 \right)^2 } \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


16. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} \left( x^2-1 \right) \cdot e^{-3y} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


17. Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(6,0), C(3,4), és a D(1,4) pontok által meghatározott trapéz!

$$ \iint_T y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


18. Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(0,0), B(5,0), C(4,6), és a D(3,6) pontok által meghatározott trapéz!

$$ \iint_T e^{6x+y} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


19. Határozzuk meg az alábbi kettősintegrál értékét, ahol T az A(2,0), B(4,0), C(0,4), és a D(6,4) pontok által meghatározott trapéz!

$$ \iint_T x+y^2 \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


20. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{1} \int_{y^2}^{1} y \sin{x^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


21. Oldjuk meg az alábbi integrált.

$$ \int_{0}^{16} \int_{ \frac{ \sqrt{y}}{2}}^{2}  \sqrt[5]{1+x^3} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


22. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 0\leq x \quad 0\leq y \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


23. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= \frac{x^3y}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad x\leq y \quad -\sqrt{3}x\leq y \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


24. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= xy \cdot \sqrt{x^2+y^2} \)

\( D: 4\leq x^2+y^2 \leq 25 \qquad 3x^2\leq y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


25. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y)= xy \)

\( D: x^2-4x+y^2 \leq 0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


26. Számítsuk ki a $ z = \sqrt{x^2+y^2} $ és a $ z=2-x^2-y^2 $ felületek által határolt térrész térfogatát.

Megnézem, hogyan kell megoldani


27. Integráljuk a következő függvényt:

$$ \int_{0}^{2} \int_{ 0 }^{\sqrt{4-y^2}}  x^2+y^2 \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


28. Integráljuk a következő függvényt:

$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-x^2} }^{0}  \frac{2}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \; dydx  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


29. Integráljuk a következő függvényt:

$$ \int_{-1}^{0} \int_{ -\sqrt{1-y^2} }^{0}  \frac{4\sqrt{x^2+y^2}}{1+x^2+y^2} \; dxdy  $$

Megnézem, hogyan kell megoldani


30. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)= \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \)

\( D: \sqrt{x^2+y^2}<z \quad \text{&} \quad 4\leq x^2+y^2+z^2 \leq 9 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


31. Integráljuk a $D$ tartományon a következő függvényt:

\( f(x,y,z)= z\cdot \sqrt{x^2+y^2} \)

\( D: 12 \leq x^2+y^2 \quad \text{&} \quad x^2+y^2+z^2 \leq 16 \quad \text{&} \quad 0 \leq z \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt egyszerű példákon keresztül elmeséljük neked, hogy mi az a kettősintegrál. Kétváltozós függvények integrálása, A grafikon alatti térfogat, Integrálás téglalap alakú tartományon, Integrálás normáltartományon, A határok felcserélhetősége, A kettősintegrál kiszámolása, Kettősintegrál feladatok megoldással. Mi az a kettősintegrál, A kétváltozós függvények ábrázolása, A grafikon alatti térfogat, Normáltartomány, Integrálás normáltartományon, A határok felcserélhetősége, A kettősintegrál kiszámolása. Az integrálás sorrendjének felcserélése, hogy elkerüljük a ronda integrálásokat, A sorrend felcserélése és a határoló függvények kicserélése. Mik azok a polárkoordináták? Hogyan kell átállni a normál koordinátákról polárkoordinátákra? A polárkoordináták haszna, Polárkoordináta jelentése, Polárkoordináta rendszer, Polárkoordinátás helyettesítés, Integrálás a polárkoordinátás helyettesítéssel. Mikor kell polárkoordinátás helyettesítést használni? Izgalmasabb polárkoordinátás helyettesítések, A polárkoordináták igazi ereje, egészen extrém alakzatokon történő integrálás. Két felület közötti térrész térfogatának kiszámolása polárkoordinátákkal, Izgalmasabb polárkoordinátás helyettesítések, A polárkoordináták igazi ereje, egészen extrém alakzatokon történő integrálás. Mi az a hármas integrál, Hogyan néz ki, Néhány példa hármas integrálra, Térfogati integrál, Térfogati integrál feladatok megoldással, Testek térfogatának kiszámítása, Hármas integrál feladatok megoldással. Hármas integrál hengerkoordinátákkal, A henger koordinátás helyettesítés, Integrálás feladatok hengerkoordinátákkal. Gömbi koordináták, A gömbi koordinátás helyettesítés, Hármas integrálok gömbi koordinátákkal, Térfogat integrál gömbi koordinátákkal, Hármas integrál feladatok gömbi koordinátákkal, A gömb térfogatának kiszámolása. Végezetül gömbi koordinátás helyettesítés alkalmazása hármas integrálo kiszámolásánál, Mik azok a gömbi koordináták, A gömbi koordinátás helyettesítés, Hármas integrálok gömbi koordinátákkal, Integrálás forgáskúpon.



A kettős integrál kiszámolása

Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.

A függvény grafikonja egy vonal.

Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

A kétváltozós függvények határozott integrálja egy test térfogata.

Kezdjük a legegyszerűbb esettel, amikor egy téglalap alakú tartományon integrálunk.

Az x tengely szerint a-tól b-ig, az y szerint c-től d-ig.

Mindegy, hogy az y szerinti határokat írjuk előbb és az x szerintit később,

vagy fordítva.

Egyedül arra kell vigyáznunk, hogy ez a kettősintegrál

ilyen hagyma szerkezetű. Vannak külső és belső rétegei.

Amikor az y szerinti határokkal kezdünk, akkor a dy a végén van.

Persze kezdhetjük az x szerinti határokkal is, ilyenkor a dx van a végén.

Ha például ki szeretnénk számolni ezt a kettősintegrált, akkor írhatjuk úgy is, hogy az x szerinti határok vannak elöl…

és írhatjuk úgy is, hogy az y szerintiek.

A számolást viszont mindig belülről kifele kell elkezdeni. Először elintézzük a belsejét – most akkor ezek szerint x szerint.

Úgy kell x szerit integrálni, hogy az x-es tagokat integráljuk, y-t pedig konstansnak tekintjük.

x-et integráljuk,  pedig csak konstans szorzónak számít.

És  is konstans szorzónak számít.

Most, hogy ez megvan, behelyettesítjük ezeket a számokat.

De nem mindegy, hogy x vagy y helyére. Nos, x szerint integráltunk, úgyhogy x helyére.

Hát ez megvolna, most rátérünk a külső integrálásra.

Ezúttal y szerint.

Végül behelyettesítünk.

y szerint integráltunk, ezért y helyére. Nem mintha lenne más választásunk.

Hát ez kész.

Most nézzünk meg mi van akkor, ha nem egy téglalap felett akarunk integrálni, hanem mondjuk egy háromszög felett.

Ezek a térhatású rajzok csodálatosak…

de a vizuális élvezeteken kívül másra nem igazán használhatóak.

Sokkal jobban járunk, ha készítünk egy felülnézeti ábrát.

x szerint 0-tól 2-ig kell integrálnunk.

Ha y szerint is 0-tól 2-ig integrálunk, nos akkor egy téglalapot kapunk…

Az nem túl jó, mert mi a háromszögön szeretnénk integrálni.

A háromszöget úgy kapjuk meg, ha az y szerinti határok 0, és .

És most kezdjünk el integrálni.

A külső integrálás határai soha ne tartalmazzanak x-et vagy y-t.

Szerencsére a sorrendet bármikor megcserélhetjük.

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Ez most y szerinti, úgyhogy az y-okat integráljuk,

x meg olyan, mintha konstans lenne.

Aztán y helyére behelyettesítünk.

És ezt integráljuk x szerint.

A folytatás még izgalmasabb lesz…


Kettősintegrál normáltartományon

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


A polárkoordinátás helyettesítés

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


A polárkoordinátás helyettesítés 2.0

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A legegyszerűbb eset, amikor egy téglalapon integrálunk. Ilyenkor az integrálás határai valamilyen számok.

A sorrend megcserélhető: mindegy, hogy először az x szerinti határokat adjuk meg és utána az y szerintit vagy fordítva.

A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha nem téglalapon integrálunk, hanem mondjuk ezen a háromszög alakú tartományon.

Ilyenkor érdemes felülnézeti rajzot készíteni, hogy jobban lássuk miről is van szó.

Az x szerinti határok rajzunkon most 0-tól 2-ig tartanak.

Az y szerinti határok viszont nem 0-tól 2-ig, mert akkor egy téglalapot kapunk…

Úgy lesz ebből háromszög, ha az y szerinti határok 0, és .

Vagyis az y szerinti határ egy függvény.

Esetünkben csak a felső határ függvény, de miért is ne lehetne az alsó határ is függvény.

Nos, legyen mondjuk

Integráljuk ezen az tartományon mondjuk azt a függvényt, hogy

Mindig a belső integrálással kezdünk.

Először tehát y szerint integrálunk.

Ilyenkor x olyan, mintha konstans lenne.

És most jöhet az x szerinti integrálás.

Csak előbb egy kicsit összevonunk.

Nem is olyan kicsit…

Hát ez nem volt túl kellemes.

Nézzünk meg egy másikat is, hátha az barátságosabb lesz.

Integráljuk a D tartományon az  függvényt.

Előfordulhat, hogy a határoló függvény csak y-nal írható le.

Itt van például ez a tartomány.

Megpróbálhatnánk a határoló függvényt y-ra rendezni, de kár fáradozni vele.

Sok felesleges munkánk adódna ugyanis:

Szóval maradjunk inkább az eredeti függvénynél,

vállalva azt a kis kellemetlenséget, hogy most az y szerinti határok lesznek konkrét számok.

Nos integráljuk ezen a tartományon az függvényt.

A kettősintegrálok segítségével különböző felületek alatti térfogatokat tudunk kiszámolni.

A helyzet akkor válik izgalmassá, ha egy olyan tartományon integrálunk, amit egyváltozós függvények határolnak.

Itt van például ez. Az x szerinti határok legyenek  és ,

az y szerinti határok pedig két függvény,  és  .

Ezek a függvények lehetnek például valamilyen parabolák…

vagy éppen olyan függvények, amik pont egy kört rajzolnak ki.

Egy 2 sugarú kört.

Lássuk csak, a kör egyenlete:

És ha , akkor

Ha szeretnénk megtudni, hogy mik lehetnek a határoló függvények, nos akkor ebből ki kell fejeznünk y-t.

Integráljuk ezen a körön az  függvényt.

A helyzet nem tűnik túl bíztatónak.

Az alapvető probléma ezzel az integrálással az, hogy nehéz. Azért nehéz, mert ronda gyökös kifejezések vannak benne.

A gyökös kifejezések pedig a kör miatt vannak.

Nos, éppen ilyen körös esetekre van egy remek módszer, ami hihetetlenül megkönnyíti ezt az integrálást.

Ez egyfajta helyettesítés, ami remekül alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

A dolog lényege, hogy a körben a hagyományos x és y koordináták helyett új koordinátákat vezetünk be.

Az egyik azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

Az új koordinátákat polárkoordinátáknak nevezzük, a módszert pedig polárkoordinátás helyettesítésnek.

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

A kör összes pontját úgy kapjuk meg, ha  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól 2-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés elvégzése után az integrálásban drasztikus változások lesznek.

A helyettesítést ezzel a képlettel végezzük:

A polárkoordinátás helyettesítésnek köszönhetően a ronda gyökös kifejezések eltűntek, és ami maradt, az életünk legegyszerűbb integrálása

Főleg, ha tudjuk, hogy

Sőt, a polárkoordinátás helyettesítés még ennél is többet tud.

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni egy olyan tartományon, ami egy lukas belsejű kör, egy körgyűrű.

Ráadásul mondjuk egy fél körgyűrű.

A polárkoordinátás helyettesítés megdöbbentően leegyszerűsíti az ilyen első ránézésre igencsak komplikáltnak tűnő helyzeteket.

Mindössze annyit kell tennünk, hogy megadjuk a szöget,

és a sugarat.

És már kész is van.

A polárkoordináták lényege, hogy az x és y koordinátákat új koordinátákra cseréljük le.

Azokban az esetekben ugyanis, amikor körök, gömbök vagy hengerek bukkannak fel, nos olyankor nem bizonyul kifizetődőnek az a fajta szögletes mentalitás, hogy x koordináta és y koordináta.

Egy olyan koordinátázást érdemes bevezetni, ami jobban alkalmazkodik a kör tulajdonságaihoz.

Egy kör belsejében a legfontosabb jellemzők a középponttól való távolság és a forgásszög.

Az egyik koordináta ezért azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk a kör középpontjától és ezt r-nek nevezzük.

A másik pedig egy forgásszög, és  jele… nos hát a jele théta, amit így írnak:

A kapcsolat a régi és az új koordináták között a következő:

Egy R sugarú kör összes pontját úgy kapjuk meg, hogy  befutja a teljes kört,

0-tól egészen –ig…

az r pedig befutja a 0-tól R-ig terjedő intervallumot.

A polárkoordinátás helyettesítés egyik haszna, hogy megdöbbentően leegyszerűsíti azokat a bonyolult integrálásokat, amiket körön vagy valamilyen köralakú alakzaton végzünk.

A helyettesítést a következő képlet segítségével végezzük el:

Lássunk néhány ilyen esetet.

Integráljuk a  tartományon a következő függvényt:

Lássuk csak, hogyan is néz ki ez a tartomány.

A konstansok határozott integrálása nagyon egyszerű:

Próbáljuk meg ugyanezt a függvényt integrálni ezen a félkörön.

Ilyenkor látszik igazán, milyen ügyesen a körre vannak szabva a polárkoordináták.

A szokásos x és y koordinátákkal borzalmas lenne ez az integrálás.

De így csak annyit kell tennünk, hogy a szögeket átírjuk,

és már kész is.

Itt jön aztán egy másik.

Integráljuk a D tartományon az f(x,y) függvényt:


Néhány vicces kettősintegrál

Most pedig néhány egészen vicces integrálás következik.

Itt is van az első:

Ebben a trükk az, hogy a belső integrálás x-szerinti, viszont az ilyen  sajnos parciális integrálás.

Fenének van kedve parciálisan integrálni, így aztán megcseréljük az integrálás sorrendjét.

Most a belső integrálás y-szerinti, tehát x itt olyan, mintha konstans lenne, úgyhogy csak annyit kell integrálni, hogy …

na jó, valami c-szer

Ja és még itt van ez is, hogy a kitevőben valami a-szor y van.

A következő még viccesebb lesz.

Íme, itt is van:

Na ezzel meg az a probléma, hogy y-szerint nem igazán tudjuk integrálni.

Úgyhogy kénytelenek vagyunk x-szerint.

Úgy nem lesz nehéz, mert x-szerint  csak konstansnak számít.

A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…

ami nem maradhat így, ezért egy kis trükkre van szükség.

Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk -ig

és y-szerint x-től -ig.

De mindezt fordítva is nézhetjük.

Aztán itt jön egy még izgalmasabb eset.

Az a helyzet, hogy y-szerint meglehetősen kellemetlen lenne ezt integrálni.

Ezért megint megcseréljük a sorrendet.

A csere miatt viszont kívülre került az ismeretlent tartalmazó határ…

ami nem maradhat így, ezért ismét egy kis trükkre van szükség.

Jelenleg x-szerint 0-tól integrálunk 4-ig

és y-szerint -től 2-ig.

De mindezt fordítva is nézhetjük.


A hármas integrál

Az egész az egyváltozós függvények integrálásával kezdődött.

Aztán jött a kettősintegrál, amikor egy síkbeli alakzat felett integráltunk.

És most egy térbeli alakzaton fogunk integrálni.

Hát ez érdekes lesz.

Kezdetnek itt van mondjuk egy ilyen:

Rétegenként integrálgatunk…

Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.

A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le.  A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.

Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.

Ha az előző példánkban szereplő függvény az  akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.

Lássunk erre egy példát.

Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.

Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.


Henger koordinátás helyettesítés

Nos ez csodálatos, de fölmerülhet a kérdés, hogy mi ennek az értelme.

A minket körülvevő háromdimenziós térben a háromváltozós függvények különféle fizikai mennyiségeket írnak le.  A tér pontjainak 3 koordinátájához rendelnek hozzá ezt-azt.

Mondjuk sűrűséget vagy elektromos térerősséget vagy nyomást vagy valamilyen más nagyon érdekes fizikai mennyiséget. Az integrálás segítségével ezeket a mennyiségeket az adott térrészre összesítjük.

Ha az előző példánkban szereplő függvény az  akkor az integrálással éppen annak a tartománynak a térfogatát kapjuk, amin integráltunk.

Lássunk erre egy példát.

Itt van mondjuk ez a hasáb alakú test, aminek a térfogata ránézésre látszik, hogy 4.

Mivel azonban épp ráérünk, számoljuk ki ezt integrálással.

Érdemes megjegyezni, hogy

De azért akadnak izgalmasabb alakzatok is.

Próbáljuk meg például kiszámolni ennek a hengernek a térfogatát.

Az alapkörének egyenlete:

Az ismeretlent tartalmazó határokat belülre tesszük…

Na és itt kezdődnek a bonyodalmak.

Ezt az integrálást ugyanis meglehetősen kellemetlen lenne kiszámolni. Pont ezért vezettük be korábban a polárkoordinátákat.

Itt az ideje, hogy megint használjuk őket. Csak éppen ezúttal már három dimenzióban.

És van még egy harmadik koordináta is, ami marad z.

Ezeket a koordinátákat henger-koordinátáknak nevezzük.

…és ne felejtsük el r-el szorozni.

Ez csodás. Most pedig számoljunk ki valami bonyolultabbat. Integráljunk ezen a hengeren valamilyen függvényt.


Gömbi koordinátás helyettesítés

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.

Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…

a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.

Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.

Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.

Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.

És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.

Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:

A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:

Most pedig lássuk az integrálás határait.

A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...

A teljes gömbön integrálunk, így  befutja a teljes kört…

És  pedig…

Nos  csak egy félkört.

Most  szerint integrálunk.

Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen  ezért ez  szempontjából konstansnak számít.

Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.

Nézzük meg ezt is.

Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:

Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…

Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:

És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.

Ez itt például egy gömb.

Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.

Na a másik az már érdekesebb…

Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.

Az egyik a forgásparaboloid…

a másik pedig a forgáskúp.

A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.

Sőt, mindjárt kettővel.

Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.

Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:

Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.

És a teljes körön.

A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.

És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.

Nos, itt is vannak.

Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.

Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.

A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.

Nos, ha még emlékszünk rá:

A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:

Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.

Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.

És most lássuk a mellékszereplőket.

Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.

Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.

y szerint integrálunk,

és x három szektorban lehet.

És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.

Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…

De most sokkal rosszabb lesz.

Mindig a zöld tartományon integrálunk.

Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,

akkor mindig a nullát integráljuk.

Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:

Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.

Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.

Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.

Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.

Először x szerint deriválunk…

aztán y szerint.


Gömbi koordinátás helyettesítés | egy izgalmas ügy

A polárkoordináták háromdimenziós változatát gömbi koordinátáknak nevezzük.

Itt az első koordináta azt mondja meg, hogy milyen távol vagyunk az origótól…

a második és harmadik koordináta pedig két forgás-szög.

Most pedig lássuk, milyen kapcsolat van a régi x, y, z és az új gömbi koordináták között.

Ennek felderítése nem is olyan egyszerű vállalkozás.

Szükségünk van hozzá bizonyos trigonometriai összefüggésekre.

És most számoljunk ki valamit a gömbi koordináták segítségével.

Integráljuk mondjuk az origó középpontú R=5 sugarú gömbön ezt a függvényt:

A helyettesítéshez a többváltozós összetett függvények integrálásának képletét használjuk, íme itt is van:

Most pedig lássuk az integrálás határait.

A gömb sugara R=5 tehát 0-tól kell 5-ig integrálunk...

A teljes gömbön integrálunk, így  befutja a teljes kört…

És  pedig…

Nos  csak egy félkört.

Most  szerint integrálunk.

Mivel az integrálandó kifejezésben nincsen  ezért ez  szempontjából konstansnak számít.

Ha ugyanezen a gömbön a konstans 1 függvényt integráljuk, akkor éppen a gömb térfogatát kapjuk meg.

Nézzük meg ezt is.

Itt jön az 5 egység sugarú gömb térfogata:

Na, hát ezt is megtudtuk, ami most jön az pedig emlékezetes lesz…

Folytatódnak a gömbi koordinátás rémtörténetek. Integráljuk a D tartományon a következő függvényt:

És most pedig lássuk hogyan is néz ki az a tartomány, amin integrálnunk kell.

Ez itt például egy gömb.

Egy olyan gömb belseje, aminek a sugara 3.

Na a másik az már érdekesebb…

Itt jön két nagyon remek alakzat, amiket érdemes megjegyeznünk.

Az egyik a forgásparaboloid…

a másik pedig a forgáskúp.

A jelek szerint most valami forgáskúppal van dolgunk.

Sőt, mindjárt kettővel.

Nos eddig jó. A következő célkitűzésünk az, hogy kiderítsük a kúpok félnyílás-szögét.

Ezt úgy tudjuk legkönnyebben kideríteni, ha itt is lecseréljük x-et y-t és z-t a gömbi koordinátákra:

Nekünk most a két kúp között kell integrálnunk.

És a teljes körön.

A most következő események tekinthetők úgy is, mint egy modern dráma.

És ahogyan ez a drámáknál lenni szokott, a szereplők bemutatásával kezdjük.

Nos, itt is vannak.

Ez mind közül a legfontosabb szereplő, egy térbeli függvény, egy felület.

Úgy működik, hogy a valószínűségeket a felület alatti térfogat adja meg.

A másik nagyon fontos szereplő neve együttes eloszlásfüggvény.

Nos, ha még emlékszünk rá:

A sűrűségfüggvényből egy mókás ki integrálással állíthatjuk elő:

Az eloszlásfüggvényből sűrűségfüggvényt deriválással tudunk csinálni.

Kétszer kell deriválni, először x szerint, aztán y szerint.

És most lássuk a mellékszereplőket.

Nos, a szereplőkkel megvagyunk, jöhet a történet.

Nézzük meg elsőként a peremsűrűség-függvényeket.

y szerint integrálunk,

és x három szektorban lehet.

És most pedig csináljunk a sűrűségfüggvényből eloszlásfüggvényt.

Ez már egyváltozós esetben sem volt túl kellemes…

De most sokkal rosszabb lesz.

Mindig a zöld tartományon integrálunk.

Ha az (x,y) pont a besatírozott részbe esik,

akkor mindig a nullát integráljuk.

Az együttes eloszlásfüggvény megszületése:

Újabb rémtörténetek következnek. Ezúttal az együttes eloszlásfüggvénnyel történnek mindenféle szörnyű dolgok.

Az első szörnyűség a perem-eloszlásfüggvények kiszámolása.

Itt x olyan, mintha egy konstans lenne, y pedig tart a végtelenbe.

Aztán jön a perem-sűrűségfüggvény.

Először x szerint deriválunk…

aztán y szerint.


Gömbi koordinátás helyettesítés | egy nagyon tanulságos feladat

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

A polárkoordinátás helyettesítés | Egy izgalmas feladat

FELADAT | Kettős integrál polárkoordinátákkal

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál trapézon

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Kettős integrál

FELADAT | Hármas integrál

FELADAT | Hármas integrál