- Határozatlan integrálás, primitív függvény
- Határozott integrálás
- Paraméteres görbék
- Differenciálegyenletek
- Izoklinák
- Lineáris rekurzió
- Laplace transzformáció
- Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
- Fourier sorok
- Mátrixok, vektorok, vektorterek
- Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok inverze
- Determináns, sajátérték, sajátvektor, leképezések
- Kétváltozós függvények
- Kétváltozós határérték és totális differenciálhatóság
- Kettős és hármas integrál
Sorok & hatványsorok & Taylor-sorok
Mértani sor
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} \)
Ha $ \mid q \mid <1$ akkor a mértani sor konvergens és összege
\( \sum_{n=0}^{\infty}{a_1 q^n} = \frac{a_1}{1-q} \)
Ha $ \mid q \mid \geq 1 $ akkor a sor divergens.
Sor konvergenciája
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha részletösszegsorozata konvergens és ekkor a sor összege:
\( \sum_{n=1}^{\infty}{a_n} = \lim{S_n} \)
Konvergencia kritériumok | Szükséges feltétel
Ha $\lim{a_n} \neq 0$ akkor $ \sum{a_n}$ divergens.
Konvergencia kritériumok | Leibniz-sorok
A $\sum{ (-1)^n} \cdot a_n$ sor konvergens, ha $a_n \rightarrow 0$ monoton csökkenő sorozat.
Konvergencia kritériumok | Gyök kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a gyök kritérium alapján így dönthető el:
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $ \lim{ \sqrt[n]{ \mid a_n \mid}} = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Konvergencia kritériumok | Hányados kritérium
A $\sum{a_n}$ sor konvergenciája a hányados kritérium alapján így dönthető el:
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } < 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ abszolút konvergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } > 1 $ akkor $ \sum{a_n} $ divergens.
Ha $\lim{ \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid } = 1 $ akkor nem tudunk semmit.
Leibniz sor
Ha $a_n \rightarrow 0$ pozitív tagú monoton csökkenő sorozat, akkor a
\( \sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \dots \)
végtelen sort Leibniz sornak nevezzük.
Konvergencia kritériumok | Az összehasonlító kritérium
Ha $\sum{a_n}$ és $\sum{b_n}$ nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól $a_n \leq b_n$ akkor
$\sum{b_n}$ konvergens $\Rightarrow \; \sum{a_n}$ is konvergens
$\sum{a_n}$ divergens $\Rightarrow \; \sum{b_n}$ is divergens
Nevezetes sor határérték
\( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{\alpha}}} = \begin{cases} \text{konvergens, ha} \; \alpha >1 \\ \text{divergens, ha} \; \alpha \leq 1 \end{cases} \)
teleszkopikus sorok
A teleszkopikus sorok olyan végtelennek tűnő összegek, amik megfelelő átalakítások után már csak véges sok tagból állnak.
Például:
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (n+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3}+ \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} =1 - \frac{1}{n+1} \)
konvergenciasugár
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
konvergenciatartomány
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Taylor polinom
Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:
\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Taylor sor
Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:
\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Nevezetes függvények Taylor sora
Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:
\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)
\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)
konvergenciasugár
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
konvergenciatartomány
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lagrange-féle maradéktag
Ha $f(x)$ egymás után $k$-szor folytonosan differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $k+1$-edszer differenciálható az $(a,b)$ nyílt intervallumon, akkor létezik olyan $c \in (a,b)$ amire
\( f(b) = T(b) + R(b) = \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (b-a)^n + \frac{ f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}(b-a)^{k+1} \)
Hatványsor
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
\( \sum{a_n (x-x_0)^n} \)
Konvergensek vagy divergensek-e az alábbi sorok?
a) \( \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \)
b) \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \)
c) \( \sum_{n=0}^{\infty} 2^n \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} 5 \left( \frac{3}{4} \right)^n \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{-2} \right)^n $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{(-2)^n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} 4 \frac{3^n}{(-2)^{2n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} 6\cdot \frac{5}{4^{n+1}} \cdot 3^{n-1} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n+4^n+5^n}{6^n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{n+1} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n} $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} $$
e) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n+1)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2+3}{n^5+5n} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln{n}}{\sqrt{n}} $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 + \sqrt{n}}{ n^4-n^3+\sqrt[3]{n}} $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1) } $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2-1 } $$
c) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ 4n^2+16n+15 } $$
Mi lesz az összege az alábbi végtelen soroknak?
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ n (n+1)(n+2)} $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{ 2^n } $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!
a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.
b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!
a) \( f(x)=e^{x-3} \)
b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)
c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)
d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)
e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)
f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)
Adjuk meg a következő végtelen sorok összegét!
a) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 4^n $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^n}{(2n+1)!} $$
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\frac{1}{4+5x^4} \)
b) \( f(x)= \frac{x^4}{3+4x^3} \)
c) \( f(x)=\frac{4}{x^2+6x+7} \)
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\arctan{(4x)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x+2)} \)
c) Adjuk meg az $ f(x)=\ln{(2x+5)} \; x_0=2 $ közepű és $x_0=-3 $ közepű hatványsorát!
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\arctan{(x+1)} \)
b) \( g(x)=\ln{(x+4)} \)
c) \( h(x)=\frac{1}{(x+4)^2} \)
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\frac{1}{x+4} \)
b) \( g(x)=\frac{x+6}{x+4} \)
c) \( h(x)=\frac{3x^4}{x+4} \)
Adjuk meg az alábbi függvények hatványsorát!
a) \( f(x)=\sqrt[3]{1+x} \)
b) \( f(x)=\sqrt[4]{16-x^2} \)
c) \( f(x)=\sqrt{9x^4-5x^6} \)
d) \( f(x)=\frac{4x^3}{\sqrt[4]{16-3x^6}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \ln{ \left(1+\frac{1}{n} \right) } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sqrt[3]{n+1} }{\sqrt{n}+1} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n}{n^3+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{10^n}{n^10} \qquad \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 1 }{ \ln{n} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}+1}{n+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin{n}}{n^2} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-2)^{n+1} }{n+5^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt[n]{10} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln{n}}{n-\ln{n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-100)^n}{n!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{\ln{n}}{\ln{n^2}}\right)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{n+2} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n^2+4}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x+3)^n}{5^n} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{4^n(n^2+1)} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n} (2x+5)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-\pi)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{n^2}}{(n+3)^{n^2}}x^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( (n+3)^n \cdot x \right)^n}{ (n+5)^{n^2}} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(\sin{1})^{2n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(\tan{1})^{2n}} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 2^n \cdot n! }{ 3^{n-1} \cdot n^{n+1} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan^2{n} }{n^2+1} \)
Adjuk meg a sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 9 \cdot 2^{2n-1}}{5^{n-1}} \)
Állapítsuk meg az alábbi sor összegét.
\( \sum_{n=3}^{\infty} \frac{4}{n^2-1} \)
Döntsük el, hogy konvergens-e a következő végtelen sor.
\( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
\( \sum_{n \in \mathbb{N}^{+}} \frac{ \sin^n{\left( 2n^2 \right)}}{n^3} \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( \frac{n+2}{n+3} \right)^n \quad \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{n^2+3+7^n}{2+2^{2n}} \)
Adjuk meg a pontos értékét az alábbi sornak.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{4^n} \)
Amennyiben konvergens, úgy adjuk meg a végtelen sor összegét.
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5\cdot 6^{n+1}}{e^{2n}} \)
Írjuk fel a harmadfokú Taylor polinomját az $x_0=1$ helyen.
\( f(x)=\frac{4}{3x+2} \)
Írjuk fel a harmadfokú Taylor polinomját az $x_0= \frac{1}{4} $ helyen.
\( f(x)=\frac{1}{2-4x} \)
Írjuk fel a másodfokú Taylor polinomját az $x_0=3$ helyen.
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{3x+7}} \)
Határozzuk meg az alábbi függvény $x_0=0$ körüli Taylor-sorfejtését, Taylor-sorának konvergenciasugarát és az $f^{100}(0)$ deriváltat.
\( f(x)= \frac{1}{\sqrt{4+x^2}} \)
Itt röviden és szuper-érthetően megtudhatod, hogyan kell végtelen sorok összegét kiszámolni, mi az a teleszkopikus sor, mi az a teleszkopikus összeg, és ez miért jó a sor összegének kiszámolása szempontjából. A sorok összegének kiszámolása, Teleszkopikus sorok, A teleszkopikus összeg, Részletösszeg sorozat, A részletösszeg sorozat határértéke, Konvergens sorok. Mik azok a végtelen sorok? Könnyedén elmagyarázzuk neked 5 perc alatt. Végtelen sor definíció, Numerikus sor, Végtelen összegek, Konvergens sorok, Divergens sorok, A bolha ugrásai a számegyenesen, Sorok összege, Sorok konvergenciája, Sorok divergenciája. Mik azok a mértani sorok? Hogyan számolható ki egy mértani sor összege? Már mutatjuk is. Konvergens sorok, Divergens sorok, A mértani sor, A mértani sor összegképlete, Divergens mértani sor, Konvergens mértani sor. Konvergens és divergens sorok, A részletösszeg sorozat, Sorok konvergenciájának definiálása részletösszeg sorozattal, Konvergencia kritériumok, A szükséges feltétel, Gyök kritérium, Hányados kritérium, Leibniz kritérium, Leibniz sorok, Abszolút konvergencia, Abszolút konvergens sorok. Az összehasonlító kritérium, Becslések, Alsó becslés, Felső becslés, Ekvikonvergens sorok. A hatványsorok definíciója nagyon fontos a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. Mik azok a hatványsorok? Hatványsorok konvergenciája, Hatványsorok konvergencis sugara, Konvergencia vizsgálata, Konvergenciasugár, Konvergencia tartomány. Valamint a Taylor-polinom és a Taylor-sor nagyon fontos fogalom a matematikában. Itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. Taylor polinom, A Taylor polinom előállítása, Néhány függvény Taylor polinomja, Közelítés a Taylor polinom segítségével, A Taylor sor. Néhány függvény Taylor sorának kiszámolása, Fontosabb Taylor sorok, Függvénytranszformációk és Taylor sorok. Itt nem a hagyományos módon számoljuk ki a Taylor sorokat, mert úgy elmenne az életkedvünk. Helyette inkább érdekes trükköket fogunk használni. Néhány függvény Taylor sorának kiszámolása, Fontosabb Taylor sorok, Függvénytranszformációk és Taylor sorok. Függvények értékének közelítése, a Hiba megállapítása, A Lagrange-féle maradéktag, cos1 értékének kiszámolása. Függvények hatványsorba fejtése, A mértani sor összegképlete, Hatványsorba fejtés a mértani sor segítségével, A hatványsor konvergenciatartománya. A mértani sor összegképlete, Hatványsorba fejtés a mértani sor segítségével. Néha könnyebb az eredeti függvény helyett a deriváltjának vagy a primitív függvényének a hatványsorát kiszámolni, majd a sort tagonként integrálni, vagy deriválni. Hatványsorok tagonkénti deriválása, Hatványsorok tagonkénti integrálása, A hatványsor konvergenciatartománya. Végezetül pedig, A binomiális tétel, A binomiális együtthatók kiterjesztése tetszőleges valós számokra, A binomiális sor, Függvények hatványsorba fejtése a binomiális sor segítségével.
Azokat az összegeket, amiket úgy kapunk, hogy végtelen sok valós számot adunk össze végtelen sornak nevezzük.
Ez itt például egy végtelen sor:
Az összeadásban szereplő tagokat képzeljük el úgy, mint egy bolha ugrásait a számegyenesen.
A sor összege az a szám ahova a bolha ugrásai során eljut.
Most egy fáradékony bolhával van dolgunk, ugrásai egyre rövidülnek.
Mindig fele akkorát ugrik, mint ami még a hátralévő út a 2-ig, így véges sok ugrással sosem érheti el a 2-t, mert
Ha viszont az ugrások száma végtelen, akkor a bolha éppen eljut a 2-be.
Van itt aztán egy másik bolha is, ez egyáltalán nem fáradékony, viszont meglehetősen összevissza ugrál.
Először ugrik 1-et, majd vissza 1-et.
Utána megint ugrik 1-et, majd megint vissza…
Nos ez a bolha nem jut el sehova, ha az ugrások száma végtelen.
Mindig épp valahol úton lesz a 0 és az 1 között.
És itt egy harmadik, ahol az ugrások mindig megduplázódnak.
Konvergensnek nevezzük azokat a sorokat, ahol a bolha ugrásai során eljut egy konkrét számhoz. Azt a számot pedig ahova eljut, a sor összegének nevezzük.
Ha a bolha ugrásai során nem jut el sehova, vagy éppen plusz vagy mínusz végtelenbe jut el, akkor a sor divergens.
A sorokkal kapcsolatban kétféle kérdés merülhet föl.
Az egyik, hogy konvergens-e vagy divergens a sor. Erre viszonylag könnyen tudunk válaszolni úgynevezett konvergencia kritériumok segítségével.
A másik kérdés, hogy ha a sor konvergens, akkor mi az összege, vagyis hova tart a bolha. Nos ez egy jóval nehezebb kérdés és erre csak elég speciális sorok esetében tudunk megnyugtató választ adni.
Ilyen speciális sor például a mértani sor, amilyenek ezek a bolhás esetek is itt balra.
Lássuk, hogyan kell kiszámolni a mértani sorok összegét.
Azokat a sorokat nevezzük mértani sornak, amelyek így néznek ki, mint ez:
Itt és konkrét számok.
Ha akkor a mértani sor konvergens és összege
Ha akkor a sor divergens
divergens
Íme itt egy példa:
Mindig az első tag lesz a1,
a q pedig az, aki az n-ediken van.
A sor konvergens.
A sor divergens.
Itt van aztán egy másik.
Nos, ezek a mértani sorok nem túl izgalmasak. De néhányat még talán megnézhetünk.
de mivel a -2 a nevezőben van…
És most jöhetnek a konvergencia kritériumok.
Itt az ideje, hogy a végtelen sorok konvergenciáját kicsit precízebben is definiáljuk és megalkossunk egy bolhák nélküli definíciót.
Valójában azonban csak a bolha szót fogjuk kicserélni egy tudományosabban hangzóra.
Bevezetjük a részletösszeg-sorozat fogalmát.
A részletösszeg-sorozat jele és első tagja a bolha első ugrása, vagyis .
A második tagja az első két ugrás összege.
A harmadik tag az első három ugrás összege.
Vagyis pontosan azt mondja meg, hogy éppen hol jár a bolha.
És ahova tart, nos egészen pontosan oda tart a bolha is.
Tehát a bolha uticélja vagyis a sor összege éppen az sn határértéke.
Nos ez a precíz definíció.
Egy végtelen sor akkor konvergens, ha a részletösszeg-sorozata konvergens és ekkor a sor összege:
És most lássuk, hogyan tudjuk eldönteni, hogy egy sor konvergens-e vagy divergens.
Ez egy viszonylag könnyen megválaszolható kérdés és az úgynevezett konvergencia kritériumok fognak nekünk ebben segíteni.
Az első ilyen kritérium annyit mond, hogy ha a bolha nem fáradékony, akkor a sor biztosan divergens.
Vagyis, ha az ugrások hossza nem tart nullához, akkor a sor divergens.
Lássunk egy példát. Itt van mondjuk ez a sor:
Az állítás megfordítása viszont nem igaz, vagyis annak ellenére, hogy
divergens.
Vagyis nem minden fáradékony bolha konvergens.
A zavarodott fáradékony bolhák viszont garantáltan konvergensek. Erre jött rá Leibniz.
Legyen pozitív tagú sorozat. Ekkor a
végtelen sort Leibniz-típusú sornak nevezzük.
Minden Leibniz-sor konvergens. A magyarázat a következő.
A bolha első ugrása bármekkora lehet.
A második ugrás az előzőnél kisebb és ellentétes irányú.
Aztán megint kisebbet ugrik és megint a másik irányba.
Így szépen lassan bezárja magát és eljut uticéljához, ami a sor összege.
A sor abszolút konvergens, ha a sor is konvergens.
Vannak olyan sorok, amik konvergensek ugyan, de nem abszolút konvergensek.
A Leibniz-sorok között ez gyakran előfordul. Itt van például ez:
Nos ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens…
de nem abszolút konvergens, mert
ez utóbbi pedig, ha még emlékszünk rá divergens.
Hát ez igazán érdekes volt, most pedig következzen két nagyon gyakran használt konvergencia kritérium.
Itt jön erre egy példa:
ezért a sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
Itt van aztán egy másik:
Ajjaj. Hát ebből most nem tudtunk meg semmit.
De még van remény, próbáljuk ki ezt:
Lássunk egy példát a hányados kritériumra is:
Az n!-ról érdemes tudni, hogy
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
Kezdjük az elsővel. Itt alkalmazzuk a hányados kritériumot. Azért a hányadost, mert a faktoriális nem szereti a gyök kritériumot.
Nos ez úgy tűnik konvergens.
Lássuk a következőt.
Itt a gyök kritérium jót fog tenni majd a kitevőknek.
Ez is konvergens. Lássuk mi a helyzet a harmadikkal.
Próbálkozzunk itt is a gyök kritériummal.
Rossz hír, ezek a sorozatok sajna 1-hez tartanak:
Ennek végzetes következményei vannak, ugyanis olyankor, amikor a határérték 1, a gyök kritérium csődöt mond.
Próbálkozhatnánk esetleg a hányados kritériummal is, de azzal sem jönne ki semmi.
Leibniz sem segíthet, és sajna ez sem, ugyanis ha valaki utánaszámol,
Így aztán jelenleg semmilyen eszközünk nincs, amivel ennek a sornak a konvergenciáját megnyugtató módon tisztázhatnánk.
De szerencsére még van remény, erről fog szólni a következő képsor.
Itt jön egy újabb konvergencia kritérium. Ezt a kritériumot kimondottan olyan sorokra érdemes használni, mint amilyen ez:
A számláló és a nevező is egy polinom.
azokban az esetekben az összehasonlító kritériumot érdemes használni.
Éppen itt is jön:
Ha és nem negatív tagú sorok, és egy bizonyos tagtól akkor
konvergens is konvergens
divergens is divergens
Ezen kívül azt is érdemes tudni, hogy a
típusú sor konvergens, ha és divergens, ha .
Most, hogy mindezt megtudtuk, lássuk konvergens-e ez a sor.
Feltehetően igen.
De lássuk az összehasonlító kritériumot.
Úgy tudjuk igazolni, hogy a sor konvergens, ha felülről becsüljük egy másik konvergens sorral.
Úgy kell felülről becsülni, hogy a számlálót növeljük, a nevezőt pedig csökkentjük.
De nem bízzuk a dolgot a véletlenre.
A számlálóban és a nevezőben is vigyázni kell, hogy a legerősebb tagon ne változtassunk.
A számlálót úgy növeljük, hogy mindenkit lecserélünk a legerősebbre.
A nevezőt meg úgy csökkentjük, hogy csak a legerősebb tagot tartjuk meg.
Az eredeti sort felülről becsültük egy olyan sorral, ami konvergens, ezért az eredeti sor is konvergens.
Nézzünk meg egy másikat is.
Konvergens-e a következő sor?
Nos megint az összehasonlító kritériumot hívjuk segítségül.
A hangok azt mondják, hogy ezúttal a sor divergens lesz.
Így most alulról kell becsülni… ráadásul szintén divergenssel.
Nagyon nem is kell megerőltetnünk a fantáziánkat.
Nos ez divergens, tehát az eredeti sor is divergens.
Végül lássunk egy bonyolultabbat.
Így aztán megint alulról kell becsülni:
A számlálót csökkentjük,
a nevezőt pedig növeljük.
SZÜKSÉGES FELTÉTEL
Ha akkor divergens.
LEIBNIZ-SOROK
A sor mindig konvergens, ha
de nem mindig abszolút konvergens.
GYÖK KRITÉRIUM
Ha akkor abszolút konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
HÁNYADOS KRITÉRIUM
Ha akkor absz. konvergens
Ha akkor divergens
Ha akkor nem tudni mi van
A mértani soroknál már nagy sikereket értünk el a sorösszeg meghatározásában. Itt az idő, hogy egy újabb speciális sor, az úgynevezett teleszkopikus sor összegét is kiszámoljuk.
A sor összege ezek szerint egy.
Nos ez a megoldás nem teljesen precíz, de a részletösszeg-sorozat segítségével precízzé tudjuk tenni.
Itt jön egy másik:
A nevezőt szorzattá alakítjuk, aztán megint bűvészmutatványok következnek.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Jöjjön aztán egy kellemetlenebb ügy.
Megint először parciális törtekre bontunk.
Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanannyi n2-nek kell lennie.
A bal oldalon nulla darab van…
így a jobb oldalon is.
Nos, aztán n-ből is nulla darab van bal oldalon.
Ezért jobb oldalon is.
A konstans tag is mindkét oldalon ugyanaz kell, hogy legyen.
Végül még egy trükk. A középső tagot kettébontjuk és nem is véletlenül. Azért bontjuk ketté, hogy neki is 1/2 legyen a számlálója és így jobban szeressék őt a többiek.
Most pedig jöhet a részletösszeg-sorozat.
És még egy érdekesség:
Itt is a parciális törtekre bontás módszerét használjuk, mégpedig úgy, hogy ahol a különbség első tagjában n-1 van, ott a második tagban n van.
Erre azért van szükség, hogy a felbontás során teleszkopikus összeget kapjunk.
És most jöhet a részletösszeg-sorozat.
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
EGY KIS VAS, MEG SZÉN, ÉS MÁRIS MEGVAN, HOGY MENNYI sin2 VAGY ÉPP log5...
Már az 1600-as évek közepén fölmerült az igény olyan egyszerűbben használható mechanikus számolószerkezetek iránt, amelyek megkönnyíthetik például a beszedett adók összeszámolását. Ezek a szerkezetek finoman megmunkált fémből készült, apró alkatrészekből épültek föl, így megjelenésük akkor vált lehetővé, amikorra a technikai fejlődés olyan szintre jutott, hogy képesek voltak ilyen alkatrészeket előállítani. Az első valóban megbízhatóan működő számolószerkezetet a francia Blaise Pascal alkotta meg, hogy az adófelügyelőként tevékenykedő apja munkáját megkönnyítse. A Pascalin névre keresztelt szerkezetből hét példány készült, és csak összeadni meg kivonni tudott. A szerkezet 10-es számrendszerben számolt, és úgy működött, hogy fogaskerekes tárcsák fordulatszámai jelentették a műveletek eredményeit. Pascal találmányát nem sokkal később Leibniz tökéletesítette.
Gottfried Wilhelm Leibniz – ő volt, aki megoldotta a skizofrén nullák problémáját pár fejezettel korábban –, a matematika történetének egyik legjelentősebb szereplője, a differenciál- és integrálszámítás elméletének egyik kidolgozója 1672-re készítette el hosszú évek munkájával számológépét, amely már nemcsak összeadni és kivonni, hanem szorozni és osztani is tudott. A gép elméletileg nyolcjegyű számokkal volt képes mindenféle műveletet végezni, de adódtak vele kisebb működésbeli problémák a számolás során az egy helyi értékkel történő ugrásoknál. Leibniz gépe az összeadást és kivonást a Pascalin mintájára végezte, a szorzás és osztás elvégzéséhez pedig egy trükkös szerkezetet, a Leibniz-kereket használta. Ezzel a megoldással Leibniznek elsőként sikerült két szám szorzatát és hányadosát teljesen mechanikusan, mindössze egy bordás fémhenger megfelelő számú körbeforgatásával megadnia. Ez a bordás henger jelentette egészen az 1800-as évek végéig az egyetlen gyakorlatban is kivitelezhető mechanikus megoldást a szorzás gépesítésére.
A szörnyű kínszenvedést jelentő, papíron végzett számolásokat így szép lassan felváltották a mechanikus számolószerkezetek. Sajnos azonban az ezekkel a szerkezetekkel történő számolás még mindig igényelte az emberi jelenlétet, és sokszor előfordult, hogy mindenféle hibák folytán nem pontos eredmények születtek. A térképészet a csillagászat és más műszaki tudományok fejlődése miatt egyre nagyobb és pontosabb szinusz-, koszinusz- és logaritmustáblázatokra lett volna szükség, de a számítások lassúsága és kezdetlegessége miatt ezt az igényt egyre kevésbé sikerült kielégíteni. Így aztán az 1820-as évek elején egy bizonyos Charles Babbage angol matematikus elhatározta, hogy hatalmas és minden eddiginél pontosabb számológépet épít, amelyet a gőz ereje fog működtetni. A gép által kapott számításokat egy szerkezet egyből a nyomdákban használt nyomólemezekre véste volna, így a szükséges táblázatok elkészítése tulajdonképpen teljesen automata módon történt volna jóformán a gőzgépbe történő szénlapátolásra redukálva ezzel a számítások elvégzéséhez szükséges emberi jelenlétet.
Babbage az angol Királyi Asztronómiai Társasághoz fordult ötletével, akik támogatták törekvéseit, és ezen támogatásuk 1500 fontban is megnyilvánult. Az odaítélt összegből Babbage hozzálátott a differenciálgépnek keresztelt szerkezet elkészítéséhez. A név onnan ered, hogy Babbage egész más elven működő gépet tervezett, mint Leibniz. Ezt a differenciálszámítás tette lehetővé, amely az évek során fontos matematikai elméletté fejlődött, és lehetővé vált különböző bonyolult függvények értékeit egyszerű alapműveletekkel kiszámolni. Az elmélet lényege, hogy jóformán az összes fontosabb függvénnyt elő lehet állítani x hatványok végtelen soraként, és már véges sok tag felírásával meglepően pontos közelítést kapunk. Ezek tulajdonképpen polinomok, amelyek varázslatosan jól közelítik különböző függvények értékeit. A sinx, a cosx, az ex, a logx és jóformán minden lényeges függvény remekül közelíthető ezekkel a polinomokkal.
Ezeket a közelítő polinomokat Taylor polinomnak nevezzük feltalálójáról Brook Taylorról, aki a Cambridge-i Egyetemen először jogász diplomát szerzett, majd később a matematikával kezdett foglalkozni.
1712-ben beválasztották a Royal Society tagjai közé, és ugyanebben az évben tagja volt a Newton és Leibniz közötti, a kalkulus feltalálásáról szóló ellentétet elbíráló bizottságnak. 1715-ben jelent meg először nyomtatásban a függvények Taylor-sorba fejtésével foglalkozó műve, és ebben már szó esik a Taylor-polinomokról is, amelye véges sok tag összeadásával képesek igen jó közelítő értékeket adni a különböző függvényekre. A Taylor által megalkotott elmélet hihetetlen fontosságát akkor még nem ismerték fel. Később azonban egyre nagyobb jelentősége lett, és végül ezen alapult az összes nyomtatásban megjelent függvénytábla, sőt a számítógépek mind a mai napig ez alapján számítják a különféle függvények helyettesítési értékeit.
A mai modern számítógépek mintájára számolta volna a szinusz és koszinusz értékeket Babbage gépe is. A gép készítése azonban nem haladt túl jól. A probléma egyik oka a gép bonyolultsága volt, ugyanis 25 ezer alkatrészből állt, és a sok kis forgó alkatrész közt a működés során fellépő belső súrlódás nem várt bajokat okozott. Szintén nem tett jót a vállalkozásnak, hogy Babbage a terveket menet közben még többször is módosította. 1833-ra a költségek kissé megugrottak, az eredeti 1500 font helyett 17 ezer fontot költöttek a differenciálgép megépítésére, de a szerkezet végül nem volt működőképes. Babbage azonban nem adta fel, már a differenciálgép építése közben új elképzelései támadtak egy még az előzőnél is bonyolultabb szerkezet, az analitikai gép megépítéséről.
Az analitikai gép a tízes számrendszer helyett kettes számrendszerben végezte volna a műveleteket, ami egy sor egészen új funkció beépítését tette volna lehetővé. A géphez Babbage részletes terveket készített, ám a szerkezet sosem valósult meg. Ez a gép nemcsak számításokat tudott volna elvégezni, hanem korábban elvégzett számítások eredményei alapján újabb számításokat is, a korábbi eredményeket pedig lyukkártyák segítségével táplálták volna be a gépbe. Szintén lyukkártyák által vezérelve különböző programok lefuttatására is alkalmas lett volna, sőt Babbage egy belső tárolót, egy memóriát is tervezett a géphez. Ez a szerkezet tekinthető talán a mai számítógépek első kezdetleges ősének, amely még ugyan teljesen mechanikus eszközökkel és lyukkártyákkal vezérelve, de képes lett volna programokat lefuttatni. A gépre még programot is írt Babbage egyik barátja és kolléganője, egy bizonyos Ada Lovelace matematikus, Lord Byron költő lánya. A program az úgynevezett Bernoulli-számokat kereste volna meg.
A kudarcokon felbuzdulva Babbage egy harmadik gép, a No. 2 differenciálgép tervezéséhez is hozzálátott. Ez a szerkezet jóval kevesebbet tudott, mint az analitikai gép, mindössze az első differenciálgép tökéletesítése volt. A gép végül ebben a formájában Babbage életében nem készült el, de a londoni Science Museum 1991-re, Babbage születésének 200. évfordulójára háromévnyi kitartó munkával, a korabeli gyártási technológiák alkalmazásával felépítette a No. 2 differenciálgépet az eredeti tervek alapján, és a szerkezet azóta is tökéletesen működik.
Még Babbage életében elkészült az első olyan differenciálgép is, amely rendelkezik azzal a kellemes tulajdonsággal, hogy működött. Egy bizonyos Per Georg Scheutz svéd jogász és nyomdász olvasott Babbage gépéről egy újságban, és fiával együtt elhatározták, hogy ők is építenek egy ilyen gépet. 15 éven át dolgoztak a gép megépítésén, amely egyszerűbb felépítésű volt Babbage masináinál, és kevésbé pontos számításokat tudott csak végezni – viszont működött. A gép két részből állt, az egyik része végezte a számításokat, a másik pedig ki is nyomtatta azokat. A szerkezetet az 1855-ös párizsi világkiállításon mutatták be, ahol aranyérmet nyert. Ezzel kezdetét vette a differenciálgépek korszaka. Az egyre jobban tökéletesített differenciálgépek egészen az 1940-es évekig szorgosan nyomtatták a különféle függvénytáblázatokat, valóra váltva ezzel Babbage egyik nagy álmát.
