- Fourier sorok
- Interpolációs polinomok
- Differenciálegyenletek
- Differenciálegyenletek, izoklinák
- Laplace transzformáció
- Paraméteres görbék
- Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
- Vektormezők, görbementi és felületi integrálok
- Kettős és hármas intergrál, térfogati integrál
- Divergencia és rotáció
- Valszám alapok, Kombinatorika
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Várható érték és szórás
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
- Becslések
- Hipotézisvizsgálat
Differenciálegyenletek
Differenciálegyenlet
A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények. Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.
Ha ez a bizonyos függvény egyváltozós, akkor a differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, ha a függvény többváltozós, akkor parciális differenciálegyenletnek.
Differenciálegyenlet rendje
A rend azt mondja meg, hogy a függvény maximum hányadik deriváltja szerepel az egyenletben.
Linearitás
Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek a differenciálegyenletben, akkor az egyenlet lineáris.
Szeparábilis differenciálegyenlet
A szeparábilis differenciálegyenlet így néz ki:
\( f(x) \; dx = g(y) \; dy \)
Megoldásának menete pedig a következő:
Az $y'$-t lecseréljük arra, hogy $ \frac{dy}{dx}$.
Aztán jön a szétválasztás: minden $y$-os dolgot a $dy$-os oldalra viszünk és minden $x$-eset a $dx$-es oldalra.
Ezt követően mindkét oldalt integráljuk és megkapjuk a megoldást.
Homogén fokszámú differenciálegyenlet
Egy differenciálegyenlet homogén fokszámú, ha $y=ux$ helyettesítés után minden $x$-es tag kitevője megegyezik.
A homogén fokszámú differenciálegyenletek megoldásának menete a következő:
Először elvégezzük az $y(x)=x u(x)$ (röviden $y=xu$) helyettesítést, ekkor $dy=u\cdot dx + x \cdot du$.
Így ez az egyenlet már szeparábilis, úgyhogy jöhet a szétválasztás.
Megoldjuk a szeparábilis egyenletet, ahol $y$ helyett most $u$-ra hajtunk. És amikor $u$ már megvan, visszacsináljuk $y$-ra.
Egzakt differenciálegyenlet
A $ p(x,y)dx + q(x,y)dy = 0$ differenciálegyenlet akkor egzakt, ha $p'_y(x,y)=q'_x(x,y)$, röviden $\frac{ \delta p}{\delta y} = \frac{ \delta q}{\delta x}$.
Az egzakt egyenletek megoldása $F(x,y)=C$, ahol $F'_x(x,y) = p(x,y)$ és $F'_y(x,y)=q(x,y)$
A megoldást intgerálással kapjuk:
\( F(x,y) = \int p(x,y) \; dx \)
Egzakt differenciálegyenlet, az integráló tényező
Ha a differenciálegyenlet nem egzakt, akkor megpróbálhatjuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
$ \frac{ \frac{ \delta p}{\delta y} - \frac{ \delta q}{ \delta x} }{p}$ és $ \frac{ \frac{ \delta p}{\delta y} - \frac{ \delta q}{ \delta x} }{q}$
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz, vagy a második csak x-et tartalmaz, nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Az integráló tényező:
$ u = e^{ - \int f(y) \; dy } $ vagy $ u = e^{ \int g(x) \; dx } $
Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet
Az elsőrendű lineáris differenciálegyenlet általános alakja úgy néz ki, hogy van benne egy $y'$, és van benne egy elsőfokú $y$.
\( y' + y P(x) = Q(x) \)
Megoldásának menete pedig a következő:
Kiszámolunk egy $v(x)$ függvényt:
\( v = e^{ \int P(x) \; dx } \)
Beszorozzuk az egyenletet $v(x)$-el, hogy a bal oldal egy szorzat deriváltja legyen.
\( y' v + yv P(x) = v Q(x) \)
Végül mindkét oldalt integráljuk.
\( \int (yv)' \; dx = \int v Q(x) \; dx \)
Konstans variálás módszere
A konstans variálás módszere egy megoldási módszer az elsőrendű lineáris differenciálegyenletekhez.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
\( y'+y P(x) = 0 \)
A homogén egyenlet megoldása:
\( y_0 = Ce^{-\int P(x) \; dx} \)
Ezt követően jön a konstansok variálása, azt mondjuk, hogy a megoldásban szereplő konstans legyen egy $C(x)$ függvény. És ezt a $C(x)$ függvényt úgy variáljuk, hogy ha behelyettesítjük az egyenletbe, akkor épp az inhomogén egyenlet jobb oldalát kapjuk.
\( y = C(x) e^{- \int P(x) \; dx } \)
Az egyenlet megoldását úgy kapjuk meg, hogy a homogén megoldásban $C(x)$ helyére beírjuk, ami kijött.
Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet
Az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet egy speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek. Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a $P(x)$ függvény ilyenkor valamilyen konstans, mondjuk $a$.
\( y' + ay = Q(x) \)
Az általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet: $y' + ay = 0$
A homogén megoldás: $y_0 = C e^{-ax} $
Az általános megoldás: homogén megoldás + partikuláris megoldás
A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg. Az, hogy mi is lesz a partikuláris megoldás, ez mindig a jobb oldali függvénytől függ:
$Q(x)=$ másodfokú polinom: $y_p = Ax^2 + Bx + C$
$Q(x)=$ harmadfokú polinom: $y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$
$Q(x)=$ exponenciális kifejezés: $y_p = Ae^{\alpha x}$
$Q(x)=$ szinusz vagy koszinusz: $y_p = A \cos{\alpha x} + B \sin{\alpha x}$
Rezonancia differenciálegyenleteknél
Rezonanciáról beszélünk, ha az elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet partikuláris megoldásában szerepel $e^{\alpha x}$ és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
A másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet általános alakja:
\( ay'' + by' + cy = 0 \)
A megoldás lépései:
Először megoldjuk a karakterisztikus egyenletet.
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van $r_1$ és $r_2$ akkor $y=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van akkor $y=C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x} $
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van $r_1=A+Bi$ és $r_2=A-Bi$ akkor $y=e^{Ax} \left( C_1 \cos{Bx} + C_2 \sin{Bx} \right) $
Másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet
A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános alakja:
\( ay'' + by' + cy = Q(x) \)
A megoldás lépései:
Először megoldjuk a karakterisztikus egyenletet: $ar^2 + br + c = 0$.
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van $r_1$ és $r_2$ akkor $y=C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} $
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van akkor $y=C_1 e^{r x} + C_2 x e^{r x} $
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van $r_1=A+Bi$ és $r_2=A-Bi$ akkor $y=e^{Ax} \left( C_1 \cos{Bx} + C_2 \sin{Bx} \right) $
Ezzel megkapjuk a homogén megoldást.
A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel végezzük:
$Q(x)=$ polinom: $y_p = A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \dots + A_1 x + A_0$
$Q(x)=$ exponenciális kifejezés: $y_p = Ae^{\alpha x}$
$Q(x)=$ szinusz vagy koszinusz: $y_p = A \cos{\alpha x} + B \sin{ \alpha x}$
Az általános megoldás a homogén megoldás és partikuláris megoldás összege.
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y' = \sqrt{y} \left(x+e^x\right) \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( y' = 2xy-x^2y' \)
b) \( y'+y^2=e^x \left(1+y^2 \right)-1 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( \left( x^2+y^2 \right) dx = xydy \)
b) \( x^2y'=x^2+xy+y^2 \)
c) \( \left( x^4+5y^4 \right) dx = 4xy^3dy \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( \left( 4x^3y^3+e^x \right)dx + \left( 3x^4y^2+3y^2 \right)dy=0 \)
b) \( \left( 2xe^y+4x^3 \right)dx + \left( x^2e^y - \sin{y} \right) dy = 0 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( (3xy+2)dx+x^2dy=0 \)
b) \( \left( y^3-x \right) dx + 3y^2dy=0 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( \left(y+\cos^3{x} \right)dx + \sin{x}\cos{x}dy=0 \)
b) \( \left( y \frac{1}{\cos^2{x}}+\cos{x} \right)dx + \frac{ \sin{x}}{ \cos{x}}dy=0 \)
c) \( 4xy dx + \left( x^2+1 \right) dy = 0 \)
d) \( 4xy^{\frac{1}{2}}dx + \left( x^2+1 \right) y^{-\frac{1}{2}}dy = 0 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( y' +y \tan{x} = e^x \cos{x} \)
b) \( xy'+y=x^3 \)
c) \( y' +4x^3y=x^3e^{x^4} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( \cos^8{x} \cdot y' + \frac{ \cos^9{x}}{\sin{x}}y=1 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( y'+4y=\cos{x} \)
b) \( y'+2y=4x^2+12 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( y'-2y=\cos{4x}+e^{3x} \)
b) \( y'-4x=x+e^{3x}+e^{4x} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( 2y''-9y'+4y=0 \)
b) \( y''-12y'+36y=0 \)
c) \( y''-4y'+13y=0 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
\( y''-10y'+16y=4x^2+12 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket.
a) \( y''+4y'-12y=4x+e^{2x} \)
b) \( y''-4y'+13y=4x+e^{2x} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y' (e^x+1)=e^x y \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y''-5y'+6y=2\sin{(2x)} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y''-5y'+6y=2\sin{(2x)} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y''(x^2+1)=2xy' \)
Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát!
\( \sin^7{x}\cdot y'-\frac{\sin^8{x}}{\cos{x}}y=1 \quad y\left( \frac{\pi}{4} \right)=1736 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y''-6y'+9y=2\cosh{(3x)} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet az $y'=z$ helyettesítéssel.
\( y''(e^x +1)=e^x y' \)
Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát!
\( \cos^8{x}\cdot y' + \frac{ \cos^9{x}}{\sin{x}} y = 1 \quad y\left( \frac{\pi}{2} \right)=1000\)
Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát!
\( y' + (\sin{x})y=\sin{x} \quad y(0)=3 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y'=\frac{ \sinh^6{(2y)}}{\cosh{(2y)}} \sqrt[5]{3+8x} \)
Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát!
\( y'+\frac{2}{x} y = 3x^2 \quad y(1)=4 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y''-y'-6y=4\cosh{(3x)} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y^{(3)} + 3y''+2y'=x \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y' = (2y+1)^6 \ln{3x} \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y'=\frac{x}{y} e^{2x^2+3y} \quad y>0 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( xy'-y=e^x \left( x^2+x^3 \right) \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y''-y=x^2-x+1+e^x \)
Oldjuk meg a következő kezdetiérték problémát!
\( y'' + y= -4\cos{x}+x \quad y(0)=2 \quad y'(0)=2 \)
Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet.
\( y' \left( x^2+1\right)=2xy \)
Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenletet! (Elég implicit alakban megadni.)
\( y' = \frac{e^{-2y^2}\cosh{(2x)}}{y} \)
Oldjuk meg ezt a differenciálegyenletet.
\( y''-4y'+5y=13\sin{2x} \)
Szuper-érthetően elmagyarázzuk neked, hogy mik azok a differenciálegyenletek és, hogy mire jók tulajdonképpen. A differenciálegyenlet rendje, Lineáris és nem lineáris egyenletek, Közönséges és parciális differenciálegyenletek, Megoldási módszerek, Differenciálegyenlet feladatok megoldással. A szeparábilis differenciálegyenletek megoldása, A differenciálegyenlet szétválasztás, Az általános megoldás, A partikuláris megoldás, Kezdetiérték-probléma, Mitől szeparábiilis egy differenciálegyenlet? Differenciálegyenlet feladatok megoldással. A homogén fokszám, Homogén fokszámú polinomok, Homogén fokszámú differenciálegyenletek, Helyettesítés, A differenciálegyenlet megoldása, Általános megoldás, Partikuláris megoldás, Differenciálegyenlet feladatok megoldással. Mit nevezünk egzakt differenciálegyenletnek? Az egzakt differenciálegyenlet megoldása, Az egzaktság ellenőrzése, Az F(x,y) függvény megtalálása, Kettősintegrál, Általános megoldás, Differenciálegyenlet feladatok megoldással.. Varázslatok a differenciálegyenlet egzakttá tételéhez, Az integráló tényező, Az integráló tényező megtalálása, Kettős integrál, Az egzakt differenciálegyenlet megoldása. Valamint természetesen, varázslatok az egyenlet egzakttá tételéhez, Az integráló tényező, Az integráló tényező megtalálása, Kettős integrál, Az egyenlet megoldása. Az elsőrendű lineáris differenciálegynlet általános alakja, Az elsőrendű lineáris differenciálegynlet megoldási módszere, Beszorzás v(x)-el, A v(x) szorzó általános alakja, Integrálás, Az elsőrendű lineáris differenciálegynlet általános megoldása. A konstans variálás módszere az állandó együtthatós elsőrendű lineáris differenciálegynletek megoldásánál. A differenciálegyenletáltalános megoldása. Az egyenlet homogén megoldása. Az állandók variálásának módszere. Differenciálegyenlet feladatok megoldással.A differenciálegyenlet homogén megoldása, Az inhomogén rész megoldása, Próbafüggvény-módszer, Partikuláris megoldás, Az általános megoldás. Az állandó együtthatós elsőrendű lineáris differenciálegynlet. A differenciálegyenlet általános megoldása. Az állandó együtthatós homogén elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldóképlete, Differenciálegyenlet feladatok megoldással. A differenciálegyenlet homogén megoldása, Az inhomogén rész megoldása, Próbafüggvény-módszer, Partikuláris megoldás, Az általános megoldás. Az egyenlet homogén megoldása, Az inhomogén rész megoldása, Próbafüggvény-módszer, Partikuláris megoldás, Az általános megoldás, A rezonancia, Partikuláris megoldás rezonancia esetén. Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet megoldása, A karakterisztikus egyenlet, A karakterisztikus egyenlet megoldása, Két valós megoldás esete, Egy valós megoldás esete, Két komplex megoldás esete, Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet megoldóképlete, A differenciálegyenlet megoldása, A zavaró függvény, Az inhomogén rész megoldása, Partikuláris megoldás, A próbafüggvény módszer, A zavaró függvény megtalálása próbafüggvény módszerrel, Az általános megoldás. Valamint másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet megoldása, A karakterisztikus egyenlet, A karakterisztikus egyenlet megoldása, A homogén differenciálegyenlet megoldása, A zavaró függvény, Rezonancia a zavaró függvénnyel, Az inhomogén rész megoldása rezonancia esetén, Partikuláris megoldás, A próbafüggvény módszer, A másodrendű lineáris állandó együtthatós inhomogén differenciálegyenlet általános megoldás.
A differenciálegyenletek olyan egyenletek, amiben az ismeretlenek függvények.
Az egyenletben ezeknek a függvényeknek a különböző deriváltjai és hatványai szerepelnek.
Ha ez a bizonyos függvény egyváltozós, akkor a differenciálegyenletet közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, ha a függvény többváltozós, akkor parciális differenciálegyenletnek.
A szereposztás a következő
A függvény változója
A függvény
röviden
És itt egy egyenlet
Rend
Azt mondja meg, hogy a függvény maximum hányadik deriváltja szerepel az egyenletben.
Linearitás
Ha az ismeretlen függvény és deriváltjai csak első fokon szerepelnek az egyenletben, akkor az egyenlet lineáris.
Itt például a rend 2.
Itt például a fokszám 3.
És most térjünk rá a legviccesebb kérdésre, a megoldásra.
A differenciálegyenleteket különböző típusok szerint fogjuk csoportosítani, aztán pedig megnézzük, hogy ezeket a típusokat hogyan kell megoldani.
Végül van itt még egy kis gubanc.
Bizonyos elvetemült fizikusok ugyanis nem x-el jelölik a változót hanem t-vel, és ilyenkor a függvény nem y, hanem x.
Ennek az a magyarázata, hogy a differenciálegyenletek gyakran olyan folyamatokat írnak le, ahol a változó az idő, aminek a jele t.
Ha a változót t-vel jelöljük és a függvényt x-el, nos akkor az egyenlet:
És a deriválás jele ilyenkor pont.
Most pedig lássuk, hogyan kell megoldani ezeket az egyenleteket.
Lássuk mit tehetnénk ezzel.
-t lecseréljük arra, hogy
Beszorzunk dx-el.
Most jön a szétválasztás: minden y-os dolgot a dy-os oldalra viszünk és minden x-eset a dx-es oldalra.
Mindkét oldalt integráljuk és megkapjuk a megoldást.
A +C ilyenkor elég csak az egyik oldalra.
ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
Ha y konstans nulla, akkor itt nem oszthattunk volna vele.
Lássuk y=0 megoldás-e
Úgy tűnik igen.
PARTIKULÁRIS MEGOLDÁS:
A partikuláris megoldást úgy kapjuk, ha a C-t rögzítjük.
Mondjuk nagyon boldoggá tenne minket egy olyan megoldás, amikor y(0)=666
Van itt aztán egy másik egyenlet, nézzük meg ezt is.
Most pedig, megszabadulunk a logaritmusoktól.
Van egy ilyen, hogy
Így aztán pápá logaritmus.
Itt C valamilyen konstans, így ec egy másik valamilyen konstans, hívjuk D-nek.
Meg kell még néznünk, hogy az y=0 megoldás-e.
Úgy látszik igen.
A partikuláris megoldás most is azt jelenti, hogy D-t rögzítjük valamilyen számnak.
Mondjuk szeretnénk, hogy teljesüljön.
Itt van aztán egy viccesebb ügy.
Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.
Hát ez megvolna.
Most pedig lássunk egy újabb differenciálegyenlet-típust.
1.A Homogén fokszámú differenciálegyenlet
Kezdjük azzal, hogy tisztázzuk, mit is jelent a homogén fokszám.
Van itt egy ilyen
nos ez egy polinom, de nem ez az érdekes.
Ha ebben elvégezzük az helyettesítést,
akkor voila, miden tagban megjelenik .
Na ezt a remek adottságot nevezzük homogenitásnak.
Ez a polinom például nem homogén fokszámú:
Ha ugyanis akkor x-nek miden tagban más-más kitevője van.
Hát ennyit a homogén fokszámról és akkor lássuk, hogyan hasznosíthatnánk ezen ismereteinket a differenciálegyenletek megoldásánál.
Oldjuk meg ezt.
Az egyenlet nem szeparábilis, ha ugyanis leosztanánk -el…
akkor oldalán biztosan marad -es tag.
Ez pedig ártalmas a megoldás szempontjából.
Ha viszont nem osztunk le, akkor pedig oldalán marad y.
Szerencsére viszont a fokszám homogén.
A -es résznél is a fokszám kettő…
és a -os résznél is.
helyettesítés, röviden
Ez az egyenlet már szeparábilis, úgyhogy most jöhet a szétválasztás.
Megoldjuk a szeparábilis egyenletet, ahol y helyett most u-ra hajtunk.
És amikor u már megvan, visszacsináljuk y-ra.
Nézzünk meg egy másikat is.
Van egy ilyen, hogy így aztán pápá tangens.
Végülis miért ne néznénk meg még egy homogén fokszámú egyenletet.
Az egyenlet nem szeparábilis, viszont a fokszám homogén.
Úgy tűnik a fokszám 4.
Ez jó jel, jöhet a szokásos helyettesítés.
Most pedig megszabadulunk a logaritmusoktól.
2. Egzakt differenciálegyenlet
Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…
létezik egy olyan függvény, hogy
Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:
Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.
Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.
Ezt kétféleképpen is megtehetjük.
Vagy deriválással, vagy integrálással.
Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.
Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .
Ezt integrálással deríthetjük ki.
De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:
(rémes vérfertőzés)
Ezt deriválással ellenőrizhetjük.
Nos, deriválni jobb.
Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,
utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.
Remek terv, lássunk egy feladatot.
Van itt egy egyenlet:
Lássuk, vajon egzakt-e.
Az egyenlet akkor egzakt, ha
Nos úgy tűnik igen.
Az egzakt egyenletek megoldása ahol
A megoldást integrálással kapjuk:
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.
Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.
Most hasonlítsuk össze az eredetivel.
Úgy tűnik, hogy
Hát ez megvolna.
Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,
vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.
Sajnos ez nem mindig sikerül.
De most igen.
Lássunk egy másikat is.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Lássuk most éppen mi lesz.
Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.
Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.
Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.
Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.
Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.
Erről fog szólni a következő képsor.
Van itt ez az egyenlet
ami sajnos nem egzakt, mert
A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.
Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.
Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.
A jelek szerint igen.
Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:
Végül kiderítjük mi lehet a .
Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.
Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.
A válasz most jön.
Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,
vagy a második csak x-et tartalmaz,
nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.
De a második az jó.
Az integráló tényező megtalálása
Itt jön aztán egy másik egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
Nos nem igazán.
Úgyhogy jön az integráló tényező.
Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…
szóval sajna nem jó.
A második bíztató…
Nos ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.
Na és még itt van ez a is.
Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.
Íme, itt egy egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint nem egzakt.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Némi átalakítás után…
Nos, ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.
Itt jön aztán még egy egyenlet:
Lássuk, egzakt-e.
Hát nem.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Most mindegy melyiket használjuk.
De ez könnyebbnek látszik.
Most pedig jöhet a megoldás.
2. Egzakt differenciálegyenlet
Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…
létezik egy olyan függvény, hogy
Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:
Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.
Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.
Ezt kétféleképpen is megtehetjük.
Vagy deriválással, vagy integrálással.
Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.
Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .
Ezt integrálással deríthetjük ki.
De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:
(rémes vérfertőzés)
Ezt deriválással ellenőrizhetjük.
Nos, deriválni jobb.
Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,
utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.
Remek terv, lássunk egy feladatot.
Van itt egy egyenlet:
Lássuk, vajon egzakt-e.
Az egyenlet akkor egzakt, ha
Nos úgy tűnik igen.
Az egzakt egyenletek megoldása ahol
A megoldást integrálással kapjuk:
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.
Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.
Most hasonlítsuk össze az eredetivel.
Úgy tűnik, hogy
Hát ez megvolna.
Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,
vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.
Sajnos ez nem mindig sikerül.
De most igen.
Lássunk egy másikat is.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Lássuk most éppen mi lesz.
Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.
Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.
Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.
Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.
Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.
Erről fog szólni a következő képsor.
Van itt ez az egyenlet
ami sajnos nem egzakt, mert
A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.
Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.
Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.
A jelek szerint igen.
Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:
Végül kiderítjük mi lehet a .
Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.
Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.
A válasz most jön.
Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,
vagy a második csak x-et tartalmaz,
nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.
De a második az jó.
Az integráló tényező megtalálása
Itt jön aztán egy másik egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
Nos nem igazán.
Úgyhogy jön az integráló tényező.
Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…
szóval sajna nem jó.
A második bíztató…
Nos ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.
Na és még itt van ez a is.
Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.
Íme, itt egy egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint nem egzakt.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Némi átalakítás után…
Nos, ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.
Itt jön aztán még egy egyenlet:
Lássuk, egzakt-e.
Hát nem.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Most mindegy melyiket használjuk.
De ez könnyebbnek látszik.
Most pedig jöhet a megoldás.
2. Egzakt differenciálegyenlet
Ez az egyenlet akkor egzakt, ha…
létezik egy olyan függvény, hogy
Az egyenlet megoldása pedig éppen ez a bizonyos függvény:
Megoldani egy egzakt differenciálegyenletet tehát annyit jelent, hogy megtalálni ezt a bizonyos függvényt.
Előtte azonban nem árt tesztelni az egyenletet, hogy egzakt-e vagy sem.
Ezt kétféleképpen is megtehetjük.
Vagy deriválással, vagy integrálással.
Nos, mindez sokkal érthetőbb lesz, ha megnézzük a résztvevők családfáját.
Az egyenletben szereplő és függvényeknek azt kell tudniuk, hogy létezzen egy közös ősük, az .
Ezt integrálással deríthetjük ki.
De ugyanakkor azt is tudják, hogy van egy közös leszármazottjuk:
(rémes vérfertőzés)
Ezt deriválással ellenőrizhetjük.
Nos, deriválni jobb.
Így aztán először deriváljuk -t és -t, hogy kiderüljön, az egyenlet valóban egzakt-e,
utána pedig integráljuk őket, hogy megkapjuk a megoldást.
Remek terv, lássunk egy feladatot.
Van itt egy egyenlet:
Lássuk, vajon egzakt-e.
Az egyenlet akkor egzakt, ha
Nos úgy tűnik igen.
Az egzakt egyenletek megoldása ahol
A megoldást integrálással kapjuk:
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
De éppen azért, mert y úgy viselkedik, mint egy konstans, ez a bizonyos lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Úgy bizonyosodhatunk meg a dologról, ha deriváljuk ezt y szerint és megnézzük mi jön ki.
Nos, elvileg így éppen -t kell kapnunk.
Most hasonlítsuk össze az eredetivel.
Úgy tűnik, hogy
Hát ez megvolna.
Megpróbálhatjuk felírni a megoldást explicit alakban is,
vagyis olyan alakban, hogy y ki van fejezve.
Sajnos ez nem mindig sikerül.
De most igen.
Lássunk egy másikat is.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint egzakt, úgyhogy jöhet a megoldás.
x szerint integrálunk,
ilyenkor y úgy viselkedik, mint egy konstans.
És itt jön ez a bizonyos , ami lehet, hogy nem egyszerűen csak , hanem y-t is tartalmaz.
Lássuk most éppen mi lesz.
Itt y nem fejezhető ki, tehát a megoldást nem tudjuk explicit alakban megadni.
Végezetül nézzünk meg még egy egyenletet.
Elsőként ellenőrizzük, hogy az egyenlet egzakt-e.
Hát ezek sajna nem egyenlők, így az egyenlet nem egzakt.
Lássuk, mit lehet tenni ilyen esetben.
Erről fog szólni a következő képsor.
Van itt ez az egyenlet
ami sajnos nem egzakt, mert
A feladatunk az, hogy valamilyen varázslat hatására egzakttá tegyük.
Mondjuk szorozzuk be az egyenletet x-el.
Lássuk, ez az x-el való beszorzás jót tett-e az egyenletnek.
A jelek szerint igen.
Ez már egy egzakt egyenlet, aminek a megoldása:
Végül kiderítjük mi lehet a .
Nos úgy tűnik hatásosnak bizonyult a beszorzás x-el.
Ez örvendetes, de fölmerül a kérdés, hogy miért éppen x-el szoroztunk be.
A válasz most jön.
Ha az egyenlet nem egzakt, akkor megpróbáljuk egzakttá tenni egy integráló tényező segítségével.
Az integráló tényező megtalálásához elsőként kiszámoljuk ezeket:
Aggodalomra semmim ok, hamarosan minden jóra fordul.
Ha ezek közül az első csak y-t tartalmaz,
vagy a második csak x-et tartalmaz,
nos olyankor van remény az integráló tényező megtalálására.
Most az elsőben van x és y is, tehát az számunkra nem hasznos.
De a második az jó.
Az integráló tényező megtalálása
Itt jön aztán egy másik egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
Nos nem igazán.
Úgyhogy jön az integráló tényező.
Az elsőben csak x-nek szabadna lennie…
szóval sajna nem jó.
A második bíztató…
Nos ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Rossz hír. Ez egy parciális integrálás.
Na és még itt van ez a is.
Nos úgy látszik tehát csak valami konstans.
Íme, itt egy egyenlet.
Megnézzük egzakt-e.
A jelek szerint nem egzakt.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Némi átalakítás után…
Nos, ez az egyenlet már egzakt.
Úgyhogy jöhet a megoldás:
Végül deriváljuk ezt y szerint, hogy kiderítsük mi a helyzet a -al.
Itt jön aztán még egy egyenlet:
Lássuk, egzakt-e.
Hát nem.
Na nem baj, akkor jön az integráló tényező.
Most mindegy melyiket használjuk.
De ez könnyebbnek látszik.
Most pedig jöhet a megoldás.
Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet
Az elsőrendű lineáris egyenlet általános alakja úgy néz ki, hogy van benne egy és van benne egy elsőfokú .
Az egyenlet megoldása vicces lesz, egy kis bűvészkedésre lesz szükség.
Beszorozzuk az egyenletet egy függvénnyel,
és ennek hatására, bal oldalon a szorzat függvény deriválási szabályát vizionáljuk.
Egy kis gubanc azért adódik ezzel, az eleje ugyanis stimmel,
de a vége…
nos ahhoz az kell, hogy
Ez egy könnyű szeparábilis egyenlet, amit meg is oldunk.
Válasszuk a pluszosat.
A megoldást tehát úgy kezdjük, hogy beszorozzuk az egyenletet ezzel a bizonyos -el, és így a bal oldalon egy szorzat deriváltja jeleneik meg.
Ez tehát az első lépés.
Kiszámoljuk a függvényt:
Beszorozzuk az egyenletet -el, hogy a bal oldal egy szorzat deriváltja legyen.
Aztán pedig integrálunk.
Végül mindkét oldalt integráljuk.
Lássunk erre egy példát.
Itt jön a függvény:
Lássuk hogyan tudnánk integrálni a –et.
Nos, valahogy így:
Csak van itt egy kis gond, ugyanis
De ezen lehet segíteni.
Válasszuk mondjuk a pluszosat.
Most, hogy végre megvan a függvény, jöhet a beszorzás.
És most álljunk meg egy picit.
Az egyenlet bal oldala hiszen ezen fáradoztunk eddig.
Ez igazán remek, most már csak integrálni kell…
és kész.
Nézzünk meg egy másikat is.
Lássuk -et:
A jelek szerint tehát be kell szorozni x-el.
Nos, így éppen visszakaptuk az eredeti egyenletet, de aggodalomra semmi ok, már jó úton vagyunk.
És most jöhet az integrálás.
Hát ezt is megoldottuk.
Végül itt jön még egy egyenlet.
És most jöhet a beszorzás.
Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet
A most következő típus speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek.
Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a függvény ilyenkor valamilyen konstans.
Erre a speciális esetre nézünk meg egy teljesen új megoldási módszert.
Megoldhatnánk persze az egyenletet úgy is, ahogyan az előző képsorban tettük, de most egy sokkal viccesebb megoldás jön.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Ez egy nagyon egyszerű egyenlet
A homogén egyenlet:
A homogén megoldás:
Az egyenlet általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki egy próbafüggvény módszernek nevezett nagyon vicces eljárással.
A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg:
másodfokú polinom:
exponenciális kifejezés:
szinusz vagy koszinusz:
Van itt ez az egyenlet:
Most elkezdjük keresni a partikuláris megoldást.
Az, hogy pontosan mi is lesz ez a partikuláris megoldás, nos ez mindig a jobb oldali függvénytől függ.
A jelek szerint, most szinusz és koszinusz lesz a partikuláris megoldásban:
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
A partikuláris megoldás most polinom-típusú lesz.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és kiderítjük, hogy mennyi A, B és C.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
Azokban az esetekben, amikor a partikuláris megoldás exponenciális kifejezéseket is tartalmaz, nos olyankor adódhatnak bizonyos problémák.
Erről szól a következő képsor.
Ha a partikuláris megoldás tartalmaz –es tagot, nos akkor a megoldás során adódhatnak bizonyos problémák.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Aztán rátérünk a partikuláris megoldásra.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És most lássuk mi az a rezonancia.
Ez olyankor fordul elő, amikor a partikuláris megoldásban szerepel és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.
Jelenleg a kitevők nem egyeznek meg, tehát nincsen rezonancia.
De most már van.
Lássuk, mi történik ilyenkor.
Vagyis éppen megegyezik a homogén megoldással.
Ezt nevezzük rezonanciának.
És ilyenkor bejön ide egy x.
Nézzünk meg egy másikat is.
A homogén megoldás a szokásos:
A partikuláris megoldásban lesz egy elsőfokú kifejezés,
egy
és egy másik ahol rezonancia van.
Elsőrendű lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet
A most következő típus speciális esete a lineáris elsőrendű egyenleteknek.
Azért hívják állandó együtthatósnak, mert a függvény ilyenkor valamilyen konstans.
Erre a speciális esetre nézünk meg egy teljesen új megoldási módszert.
Megoldhatnánk persze az egyenletet úgy is, ahogyan az előző képsorban tettük, de most egy sokkal viccesebb megoldás jön.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Ez egy nagyon egyszerű egyenlet
A homogén egyenlet:
A homogén megoldás:
Az egyenlet általános megoldása úgy jön ki, hogy a homogén megoldáshoz hozzáadjuk a partikuláris megoldást.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki egy próbafüggvény módszernek nevezett nagyon vicces eljárással.
A partikuláris megoldást próbafüggvény módszerrel keressük meg:
másodfokú polinom:
exponenciális kifejezés:
szinusz vagy koszinusz:
Van itt ez az egyenlet:
Most elkezdjük keresni a partikuláris megoldást.
Az, hogy pontosan mi is lesz ez a partikuláris megoldás, nos ez mindig a jobb oldali függvénytől függ.
A jelek szerint, most szinusz és koszinusz lesz a partikuláris megoldásban:
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
A partikuláris megoldás most polinom-típusú lesz.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe és kiderítjük, hogy mennyi A, B és C.
Aztán kiderítjük, hogy mennyi A és B.
Azokban az esetekben, amikor a partikuláris megoldás exponenciális kifejezéseket is tartalmaz, nos olyankor adódhatnak bizonyos problémák.
Erről szól a következő képsor.
Ha a partikuláris megoldás tartalmaz –es tagot, nos akkor a megoldás során adódhatnak bizonyos problémák.
Első lépésként megoldjuk az úgynevezett homogén egyenletet, ami ez:
Aztán rátérünk a partikuláris megoldásra.
Ezt behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És most lássuk mi az a rezonancia.
Ez olyankor fordul elő, amikor a partikuláris megoldásban szerepel és a kitevője éppen megegyezik a homogén megoldás kitevőjével.
Jelenleg a kitevők nem egyeznek meg, tehát nincsen rezonancia.
De most már van.
Lássuk, mi történik ilyenkor.
Vagyis éppen megegyezik a homogén megoldással.
Ezt nevezzük rezonanciának.
És ilyenkor bejön ide egy x.
Nézzünk meg egy másikat is.
A homogén megoldás a szokásos:
A partikuláris megoldásban lesz egy elsőfokú kifejezés,
egy
és egy másik ahol rezonancia van.
Az egyenlet homogén megoldása, Az inhomogén rész megoldása, Próbafüggvény-módszer, Partikuláris megoldás, Az általános megoldás.
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény:
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény:
Másodrendű lineáris állandó együtthatós homogén differenciálegyenlet
Íme itt van ez az egyenlet.
Az eddigi módszereinkkel várhatóan nem fogunk jelentős sikereket elérni ennek az egyenletnek a megoldásában, ez az egyenlet ugyanis másodrendű.
Nos ez, nem egy bíztató jel a megoldás szempontjából.
Az ilyen egyenleteket általában elég nehéz megoldani.
De szerencsére ez a típus kivétel.
Lássuk mit kell tenni vele.
Ez az egyenlet általános alakja, és a dolog úgy áll, hogy az ilyen egyenleteknek a megoldása mindig valami
Helyettesítsük be ezt az egyenletbe és nézzük meg mi történik.
Ezt az egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.
A differenciálegyenlet megoldásához ezt a másodfokú egyenletet kell megoldanunk.
A differenciálegyenlet megoldása:
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós megoldása van és akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek egy valós megoldása van, akkor
Ha a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex megoldása van
És most lássuk a megoldást.
A karakterisztikus egyenlet:
Úgy tűnik, ezt meg is oldottuk. Nézzünk meg egy másikat is.
Itt jön a karakterisztikus egyenlet:
Hát ez se volt túl nehéz.
Végül nézzük meg a harmadik típust.
Nos itt van egy kis gond.
Negatív szám van a gyök alatt, ami azt jelenti, hogy a karakterisztikus egyenletnek nincs valós megoldása.
Komplex megoldása viszont van, amihez mindössze annyit kell tudnunk, hogy
Most pedig lássuk a megoldást.
A helyzet akkor válik izgalmasabbá, ha az egyenlet inhomogén.
Lássuk, mi történik olyankor.
A homogén egyenlet és megoldása:
Ha két valós megoldása van:
Ha egy valós megoldása van:
Ha két komplex megoldása van:
Partikuláris megoldás (próbafüggvény módszer)
Van itt ez az egyenlet, ami inhomogén.
Ilyenkor először megoldjuk a homogén egyenletet,
utána pedig próbafüggvény módszerrel megkeressük a partikuláris megoldást.
A homogén egyenlet megoldásához megoldjuk a szokásos
karakterisztikus egyenletet.
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ez a bizonyos partikuláris megoldás mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján derül ki.
Ez a jobb oldali függvény most éppen egy polinom, így aztán a partikuláris megoldást is ilyen alakban keressük.
De lehetne a jobb oldali függvény exponenciális,
vagy éppen trigonometrikus.
A partikuláris megoldás
Lássuk mit kapunk, ha behelyettesítjük az eredeti egyenletbe:
És az általános megoldás:
Itt van aztán ez a másik inhomogén egyenlet.
Van azonban itt még egy kis bökkenő.
Ugyanúgy ahogyan az elsőrendű egyenleteknél, itt is lehet rezonancia.
A rezonancia akkor fordul elő, ha a homogén megoldás egyik tagja megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával.
Most tehát nincs rezonancia,
de a következő képsorban lesz…
A másodrendű egyenleteknél ez a rezonancia kicsit komplikáltabb ügy, mint annak idején az elsőrendű egyenleteknél.
Van itt ez az egyenlet:
A homogén egyenlet megoldása:
És most jöhet a partikuláris megoldás.
Ezt mindig a jobb oldalon lévő függvény alapján találjuk ki.
A homogén megoldás egyik tagja most megegyezik a partikuláris megoldás egyik tagjával, így aztán sajna rezonancia van.
A konstans szorzó ilyenkor nem számít.
És a rezonancia miatt ide még bejön egy x.
Most kiszámoljuk a partikuláris megoldás első és második deriváltját.
Aztán ezeket behelyettesítjük az eredeti egyenletbe.
Amikor karakterisztikus egyenletnek csak egy valós megoldása van, olyankor kétszeres rezonancia is lehet.
Megjelent a rezonancia.
Így aztán a partikuláris megoldásban megint kelleni fog egy x-es szorzó.
Ám ekkor a második taggal lesz rezonancia…
így aztán kell még egy x-es szorzó.
Ezt hívjuk kettős rezonanciának.
A megoldás innentől a szokásos.
Szokásosan unalmas.
Ezért most ne oldjuk meg, hanem inkább nézzük meg milyen rezonancia lehet akkor, amikor a karakterisztikus egyenletnek két komplex gyöke van.
Van itt ez a két egyenlet:
A karakterisztikus egyenletek:
A komplex megoldáshoz annyit kell tudnunk, hogy
Ezekben az esetekben rezonancia olyankor fordul elő, ha
És ilyenkor a próbafüggvény:
MÉGIS MIRE JÓK A DIFFERENCIÁLEGYENLETEK?
Az 1853-ban kezdődő és a Fekete-tenger stratégiai jelentőségű partvidéki területeiért vívott krími háború kulcsfontosságú helyszíne az Orosz Birodalom egyik legfontosabb kikötője, Szevasztopol és környéke volt. Itt semmisült meg az Orosz Birodalommal szemben álló angol–francia szövetség hajóflottájának jelentős része a vezérhajóval együtt 1854. november 14-én a Balaklavai-öbölben. A csapást azonban nem az Orosz Birodalom mérte a szövetségesek flottájára, hanem egy egész Európán végigsöprő, pusztító erejű szélvihar. A jelentős veszteséggel járó incidens arra sarkallta a Franciaországban éppen akkor uralkodó III. Napóleont, hogy vizsgálatot rendeljen el, nem lehetett-e volna valamiképpen előre tudni a szélvihar érkezéséről, és így jelezni azt a flotta parancsnokának, aki biztonságos vizekre tudta volna vezényelni hajóit. A vizsgálat lefolytatásával a Neptunusz felfedezésében is közreműködő francia csillagászt, Urbain Le Verriert bízta meg, aki megállapította, hogy az Európában akkor már szép számmal működő meteorológiai állomások mind észlelték azt a ciklont, amely a pusztító vihart okozta. Le Verrier ezeket a megfigyeléseket egy térképre berajzolva pontos képet kapott a ciklon mozgásáról, amelynek érkezését így képes lett volna előre jelezni. Persze azért ez a módszer még az előrejelzésnek egy meglehetősen kezdetleges formája, de a semminél mindenképpen több. Le Verrier ezen felismerése kulcsfontosságú volt az időjárás előrejelzés történetében. Azon túl, hogy megteremtette magát az elképzelést, miszerint lehetséges előre jelezni az időjárási eseményeket, felismerte az adatgyűjtés és az adatok rendszerezésének a fontosságát is. Ez utóbbi, vagyis a mérések és az adatok rendszerezése a mai modern kori előrejelzéseknél is roppant fontos. Nem is gondolnánk, hogy mennyire.
A valódi értelemben vett előrejelzéshez és általában a légköri folyamatok leírásához vezető út a dinamika és a termodinamika 1800-as években történő kifejlődésével indult. Ekkor írták fel a termodinamika főtételeit. A dinamikai, hidrodinamikai és termodinamikai ismeretekkel ötvözve lehetőség nyílt az időjárás nagy rendszerét mozgató differenciálegyenletek megalkotására. Ezek a differenciálegyenletek egytől egyig a Newton által kitalált fluxióelmélet továbbfejlesztéséből kialakult differenciál- és integrálszámításnak köszönhetik létüket. A matematikának ezt a területét a magyar terminológia analízisnek nevezi, angolszász területeken pedig kalkulus néven fut, és minden valamirevaló műszaki vagy természettudományi egyetemen a diákok egyik alapvető fontosságú tantárgya. Olyan, mint az építészeknek a tervrajz, vagy a zenészeknek a kotta: ez írja le azokat a nagy összefüggéseket, amelyekkel munkájuk során foglalkoznak.
1904-ben publikálta híressé vált cikkében Vilhelm Bjerknes norvég fizikus-matematikus azt az öt parciális differenciálegyenletet, amelyek a légköri folyamatok rendszerét írják le. A kormányzó egyenleteknek nevezett rendszer a mozgásegyenletekből, a termodinamikai egyenletből, a kontinuitási vagy másként tömeg-megmaradási egyenletből, a nedvességszállítási egyenletből és az állapotegyenletből áll. A Bjerknes által megalkotott és máig használt parciális differenciálegyenlet-rendszer hagyományos eszközökkel nem megoldható, kizárólag számítógépek segítségével. Már maguk a differenciálegyenletek témaköre sem kimondottan a matematika legegyszerűbb területe, ám a parciális differenciálegyenletek ezen belül is igencsak kellemetlenek tudnak lenni.
Bjerknes az időjárás numerikus előrejelzésének jövőjét az egyenletek grafikus, illetve vegyes numerikus-grafikus megoldásában látta. A kormányzó egyenletek alapján Lewis Fry Richardson angol matematikus készített először számszerű előrejelzést, az ehhez szükséges számítások azonban abban az időben még meglehetősen keservessé tették a munkát. A nagy áttörést csak jóval később, egy matematikus látásmóddal megáldott amerikai meteorológus, Edward Norton Lorenz hozta meg. A számítógépek fejlődése lehetővé tette számára, hogy 1960-ra elkészítse bolygónk meteorológiai rendszerének egy végtelenül leegyszerűsített modelljét. A modell a kormányzó egyenletek numerikus megoldásával készített előrejelzéseket. Lorenz betáplálta a számítógépbe egy adott nap mérési adatait (hőmérséklet, légnyomás, nedvességtartalom, szélerősség stb.), és a kapott adatokból a modell megjósolta a várható időjárást. A tesztek elvégzése során azonban felfigyelt egy érdekes jelenségre. Ha a kezdeti adatokon csak egy nagyon minimális változtatást hajtott végre, az sokszor meglehetősen drasztikus eltéréseket okozott a végeredményben. Kiderült, hogy a meteorológiai modellek nagyon érzékenyek a kezdeti értékek apró változásaira. Ezt a jelenséget pillangóhatásnak nevezte el arra utalva, hogy egy parányi pillangó szárnycsapásai is képesek előidézni a kezdeti adatokban olyan apró változásokat, amelyek aztán drasztikusan megváltoztathatják a modell lefutását és így a kapott végeredményt.
Ezzel egyértelművé vált, hogy a pontos előrejelzéshez nem elegendő a Bjerknes által megalkotott kormányzó egyenletek rendszere és ennek számítógépre fejlesztett megoldási algoritmusa. Szükséges hozzá egy rendkívül pontos mérési hálózat is, mert a nem megfelelő kezdeti értékek a teljes előrejelzést nagyon könnyen tévútra vihetik. A modern meteorológia fejlődéséhez tehát elengedhetetlenné vált egy olyan mérési hálózat kialakítása, amely nagyon pontos adatokat képes gyűjteni, ráadásul a Föld felszínének elképesztően sok helyéről. Létrehoztak egy képzeletbeli háromdimenziós rácsot, amely az egész Földet körbeöleli, és a légkört kocka alakú dobozokra osztja fel. Ezeknek a dobozoknak a csúcsai az úgynevezett rácspontok, és lehetőség szerint minden egyes ilyen rácspontban végezni kell méréseket a hőmérsékletre, szélerősségre, nedvességtartalomra és még számos további fontos paraméterre. Ezek az értékek az úgynevezett kezdeti értékek, amelyek alapján az előrejelzési modelleket futtatják. Minél sűrűbb a rács, annál pontosabbá válnak az előrejelzések. A rácspontok közti távolság a mérőeszközök számának növekedésével egyre jobban csökkenthető. Mivel azonban a rács háromdimenziós, vagyis a levegőben is vannak rácspontok, nyilvánvalóan lehetetlen minden pontba mérőállomást telepíteni. Ez a probléma többféleképpen is megoldható. Az egyik lehetőség, hogy egy megfigyelő repülőt küldenek az adott rácsponthoz, vagy egy éppen amúgy is arra járó repülőgéptől kérdezik le az általuk megtapasztalt adatokat. Egy másik lehetőség, hogy meteorológiai műholdaktól kérik le az adott rácspontra vonatkozó adatok közül azokat, amelyeket a műhold képes megállapítani. Végül egy harmadik lehetőség az úgynevezett interpoláció. Ennek lényege, hogy a rácsponthoz legközelebb eső valódi mérőállomás adataiból próbálnak következtetni a rácspontra vonatkozó értékekre.
Amikor az adatok így vagy úgy, de minden egyes rácspontra megvannak, betáplálják őket egy számítógépbe, és elkezdik a modellt futtatni. A modell a rácspontok „időjárását” általában 5 perces időlépcsőben és 48 órás időtartamban adja meg. Ez azt jelenti, hogy minden egyes rácspont esetében kiszámítja a várható hőmérsékletet, légnyomást és az összes többi paramétert, a következő 48 óra minden egyes 5 percére. Ezek után egy adott terület időjárás-előrejelzése az arra a területre eső rácspontok külön-külön előrejelzéseinek összegzése alapján születik.
A végfelhasználó számára legfontosabb információk – mondjuk az, hogy sütni fog-e a nap, vagy esni fog-e az eső – azonban sajnos nem olyan jellegű adatok, amelyeket a kormányzó egyenletek által nyújtott matematikai modell lefuttatásával csak úgy egyszerűen megkapunk. A felhőképződés és ezzel összefüggésben a napsütés vagy éppen a csapadék ugyanis nagyrészt a levegő vertikális, vagyis függőleges mozgásaival van összefüggésben, míg a kormányzó egyenletek jórészt a horizontális, tehát vízszintes irányban történő változásokat képesek leírni. Ezért aztán a modellt olyan tapasztalatokon alapuló összefüggésekkel kell kiegészíteni, amelyek figyelembe veszik az előrejelzés szempontjából roppant fontos vertikális folyamatokat is. Ezt a meteorológusok paraméterezésnek nevezik, és ilyen paraméterezéssel kapcsolható be a modellbe a felhőképződés, vagy éppen a napsugárzás elnyelődéséből és visszaverődéséből eredő hatások. Az előrejelzés sikeressége tehát nagyban múlik ezen, így fontos, hogy megtalálják az adott modell számára legmegfelelőbb paraméterezést. Ennek egyik bevett módja, hogy előrejelzéseket készítenek – a múltra.
Ez egészen egyszerűen egy zseniális ötlet, és a lényege az, hogy pontosan tudjuk, milyen idő volt két nappal ezelőtt, és azt is pontosan tudjuk, hogy milyen idő van ma. A paraméterezéssel kiegészített modelleket úgy lehet egymással versenyeztetni, hogy mindegyikbe betápláljuk a rácspontokon két nappal ezelőtt mért kezdeti értékeket, és megnézzük, melyik jósolja meg legjobban a mai napon mért valódi értékeket. Amelyik a legjobban megtippeli a két nappal ezelőtti adatok alapján, hogy milyen idő lesz ma, az a győztes. Persze a modellek versenyeztetését több különböző időjárási helyzetre és jó pár napra el kell végezni ahhoz, hogy igazi győztest lehessen hirdetni. Ezzel a módszerrel, vagyis a modell és a paraméterezés hibáinak ilyen szisztematikus javításával már kezdünk egészen közel kerülni ahhoz, hogy valóban megbízható előrejelzések készüljenek. De sajnos még mindig van itt egy kis gond.
Hiába tökéletesednek a modellek akár a végtelenségig, a légkör kaotikus tulajdonságából eredő problémák ettől még továbbra is megmaradnak.
Amikor Lorenz 1960-ban elkészítette első kezdetleges meteorológiai modelljét, az egészen megbízhatónak bizonyult, mígnem egyik alkalommal történt valami. Egy több napra kiterjedő és roppant időigényes számítást úgy próbált meg lerövidíteni, hogy a gép által egy adott napra már korábban kiszámított értékeket saját feljegyzései alapján kézzel táplálta be, megspórolva ezzel azt, hogy a gépnek kelljen újra kiszámítania azokat.
Az eredmény láttán először arra gondolt, hogy elromlott a gép, ugyanis teljesen más eredményeket kapott, mint korábban. Elkezdte hát kutatni a hiba okát. A gépet úgy alkotta meg, hogy számításait hat tizedes jegy pontossággal végezze, ám a végeredményt csak négy tizedes jegy pontosan írja ki. Amikor kézzel táplálta vissza a négy tizedes jegy pontosságú adatokat, úgy gondolta, hogy ez a picike pontatlanság nem lesz jelentős hatással a teljes számolás végeredményére. Mint utóbb kiderült, ez az eltérés drámaian nagy hatással volt a végeredményre. Ezt a Lorenz által felfedezett jelenséget azóta pillangóhatásnak nevezték el, és lényege, hogy egyes rendszerek a kezdeti értékek parányi változtatása esetén drasztikusan eltérő lefutást produkálnak.
Képzeljünk el egy félgömb alakú tálat egy golyóval. Ha a tálba beleejtjük felülről a golyót, akkor az ide-oda gurulva előbb-utóbb megállapodik a tál közepén. Ha egy kicsit távolabbról, vagy egy kicsit más szögben ejtjük bele a golyót, az eredmény kicsit más lesz, de végül ugyanúgy megáll a tál közepén. Most fordítsuk fel a tálat, és ejtsük rá a golyót így. Még ha egészen pontosan a tál középpontja felett engedjük el a golyót, akkor sem tudjuk megjósolni, hogy vajon melyik oldalon fog legurulni, azt pedig pláne nem tudjuk megmondani, hogy a golyó hol fog végül megállni. A kezdeti érték apró változtatásával a golyó döntően eltérő pályákon fog mozogni. Egy nagyon lebutított példával élve, ha a tál bal oldalán leguruló golyó azt jelenti, hogy holnap esni fog az eső, a jobb oldalon leguruló pedig, hogy sütni fog a nap, és a kezdeti érték – a mai napi mérési adatok – azt jelzik, hogy jobbra ejtjük le a golyót, akkor a meteorológus hátradőlhet székében, és kijelentheti, hogy nem fog esni. Ha azonban a golyót lényegében a tál középpontja felett vagy attól csak picit jobbra engedjük el, akkor bizony a kimenetel meglehetősen bizonytalan. A pillangóhatás miatt ugyanis hiába rendelkezünk nagyon pontosan kiszámított kezdeti értékekkel és nagyon megbízható modellel, a kezdeti értékek egészen apró hibái is drasztikus változást okozhatnak a modell lefutása során, ez pedig pontatlanná teszi az előrejelzést. Márpedig a legmodernebb modellek futtatása során is rengeteg olyan rácspont van, ahol nincsenek a közelben mérőállomások, és ezekben a pontokban csak a korábban említett módszerekre, legtöbbször az interpolációra hagyatkozhatunk, amely egyáltalán, nem tekinthető tévedhetetlennek. De egy zseniális ötlettel ez a probléma is megoldható.
A pillangóhatás okozta bizonytalanságokat csökkentő módszer neve valószínűségi, vagy másként ensemble (együttes) előrejelzés, és az alapötlet nagyon leegyszerűsítve a következő. Hogyha egyszer az okozza a problémát, hogy a rácspontok kezdeti értékei picit eltérhetnek a valóságostól, akkor futtassunk le egymással párhuzamosan több modellt, mindegyikben egy picikét változtatva a kezdeti értékeken, és nézzük meg, mi jön ki. Ha az egymással párhuzamosan lefutó modellek többé-kevésbé ugyanazt az előrejelzést adják, akkor a kapott eredményben kellőképpen megbízhatunk, vagyis jó eséllyel tényleg olyan idő lesz. Ha viszont jelentősen eltérő eredmények születnek, akkor az előrejelzés megbízhatósága kisebb. Nézzük meg egy konkrét példán keresztül, hogyan működik ez például a hőmérséklet esetében. Egy adott rácspontban a mérés szerint jelen pillanatban 0 °C van, de a rácspont mondjuk éppen egy hegycsúcs tetejére esik, és pont most nem jár arra senki, ezért a mért 0 °C egy közeli mérőállomás interpolációja alapján jön ki. Ezért aztán nem lehetünk halálosan biztosak ebben a 0 °C-ban. De itt jön az ensemble előrejelzés lényege, hogy a modellt nemcsak az 0 °C értékkel, hanem ahhoz közel eső további értékekkel is lefuttatják, és megnézik, hogy mi lesz az eredmény. A kapott értékeket egy grafikonon ábrázolva nagyon szemléletes képet kapunk a várható fejleményekről. Ezt a képet fáklyadiagramnak nevezik. Ha a fáklya alsó és felső széle nem távolodik el túlzottan egymástól, akkor a párhuzamosan lefutott modellek többé-kevésbé ugyanarra az eredményre jutottak, így viszonylag pontosan meg tudjuk mondani, hány fok lesz az adott rácspontban. Ha viszont a fáklya széttartó, akkor az adott rácspontban csak meglehetősen nagy bizonytalansággal mondható meg, hogy hány fok lesz.
Ez pedig nemcsak annak a hegymászónak lesz probléma, aki a következő napokban a hegycsúcsra igyekszik, ugyanis egy adott régió előrejelzésének elkészítéséhez az összes környező rácspont adatai szükségesek. Ha az adott rácspont az előrejelzés szempontjából kulcsfontosságú, de a fáklyadiagram nagyon széttartó, akkor utólagos mérésekkel lehet ezen javítani. Például egy repülőgépet küldenek az adott ponthoz részletesebb méréseket végezni, és ezek alapján a mérések alapján az újra lefuttatott modell már megbízhatóbb eredményeket fog adni.
Az ensemble előrejelzések meglehetősen pazarlóan bánnak a számítási kapacitásokkal, hiszen egyetlen előrejelzés elkészítéséhez 20-szor vagy akár 50-szer is le kell futtatni az adott modellt. Egy olyan modellt, amely például Európán belül jelenleg már 8 km-es felbontással, 49 függőleges szinttel és körülbelül 5 millió rácspont összes adatával fut. 1960-ban Lorenz nem is álmodhatott ilyesmiről, az akkori számítási kapacitásokkal egy ilyen modell egyetlen lefutása a világ összes számítógépét felhasználva is lényegesen lassabb lett volna, mint ténylegesen kivárni és megnézni, hogy milyen idő is lesz másnap valójában. Az Intel egyik alapítója, Gordon Moore által megfogalmazott és azóta Moore-törvényként elhíresült állítás szerint azonban a világ számítógépeinek számítási kapacitása 18 havonta megduplázódik, így mostanra lehetségessé vált olyan modellek futtatása is, amelyek viszonylag jó pontossággal havi, sőt féléves előrejelzéseket is képesek készíteni.
Az utóbbi években azonban a folyamatosan növekvő számítási kapacitások ellenére is csökkenni kezdett a modellek megbízhatósága. Ennek oka az, hogy a globális felmelegedés hatására a légkörben zajló folyamatok változásnak indultak. A jól bejáratott modellek pedig nem tudnak megfelelően lépést tartani ezekkel a változásokkal. Ha már egy pillangó szárnycsapkodása is komoly hatással van a modell futására és ezáltal a kapott végeredményre, akkor képzelhetjük, milyen elképesztően nagy változásokat tud okozni például egy városnyi méretű leszakadó jégtábla. A modellek fejlesztése egyszerűen nem képes lépést tartani az egyre gyorsabban változó klímával, és őrült versenyfutás zajlik, hogy legalább részben megőrizhető legyen az előrejelzés megszokott pontossága.
Amíg csak egyetlen változónk van egy differenciálegyenletben, addig az egyenlet megoldása viszonylag könnyű. Ezeket a differenciálegyenleteket közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, és legtöbbjükre nézünk is megoládsi módszert itt a differenciálegyenletek fejezetben. Hogyha azonban újabb változókat hozunk a rendszerbe, mint például az időjárást előrejelző modellek, ahol a hőmérséklet, a páratartalom, a szél, és még sok egyéb körülmény, akkor a differenciálegyenletben szereplő függvények többváltozósak lesznek. Ezeket a differenciálegyenleteket parciális differenciálegyenletnek nevezzük, és megoldásuk gyakran kimondottan problémás. Ezeknek a megoldásához már nem elég a papír és a ceruza. A megoldás numerikusan történik igen komoly számítógépek segítségével. Ezeknek a megoldási algoritmusaival a matematika numerikus módszerek nevű területe foglalkozik.
Ma már léteznek olyan, mérnöki tudományokban alkalmazott numerikus programok, amelyek segítségével például egy-egy épület körüli áramlást a határfelület mentén akár cm-es felbontással is képesek megadni. Ezek a modellek nagyon fontosak az épületek úgynevezett dinamikus terhelésének vizsgálata szempontjából. Magas toronyépületek vagy éppen függőhidak a szokásos statikai terhelésen kívül ugyanis jelentős dinamikus terhelésnek is ki vannak téve. 1940. november 7-e óta nem kell építőmérnöknek lennünk ahhoz, hogy megértsük ennek jelentőségét. Ekkor történt ugyanis a Washington állambeli Tacoma Narrows híd híressé vált összeomlása.
A híd tervezése során nem vették kellőképpen figyelembe a szél okozta dinamikus terhelés jelentőségét, és a híd az oldalirányú széllökések hatására hullámozni kezdett. A hullámzás egyre jobban felerősödött, míg végül másfél óra elteltével a hídpálya már 45 fokos szögben kilengett, majd leomlott. A híd összeomlásáról készült felvételeket azóta a világ minden egyetemén minden évben levetítik az építőmérnök hallgatóknak, hogy örökre az eszükbe véssék: hidat nemcsak statikus, hanem dinamikus terhelésre is méretezni kell.
A parciális differenciálegyenletek megoldása tehát egy jóval nagyobb falat, ezzel most nem foglalkozunk, viszont a közönséges differenciálegyenletek közül megnézünk jópárat és mindegyikhez részletes megoldási útmutatót is készítünk.
