Divergencia és rotáció

A témakör tartalma

Mit jelent a vektormező divergenciája? Szemléletes példákon keresztül megnézzük, hogy mi is a divergencia. Aztán pedig lépésről lépésre kiszámoljuk néhány remek vektormező divergenciáját. Pozitív és negatív divergenciájú pontokat forrásnak és nyelőnek nevezzük. A forrás és a nyelő jellemzése. Példák vektormező divergenciájára. Az is ki fog derülni, hogy a vektormező rotációja egy hihetetlenül egyszerű fogalom, amit bárki egyből meg tud érteni. Szuper-egyszerű példákon keresztül megnézzük síkbeli vektormezők rotációját, majd áttérünk a térbeli esetre. A divergencia és a rotáció vizsgálata, a rotáció képlete síkban és térben. Példák vektormező rotációjára. Feladatok vektormezők rotációjával kapcsolatban. A divergencia és a rotáció kiszámolása néhány nagyon izgalmas vektormező esetében. Mit jelent, ha a rotáció mindenhol nulla? Mit jelent az, hogy egy erőtér konzervatív? A konzervatív vektormezők jellemzése. Vektormezők primitív függvénye, potenciál, a potenciálfüggvény. Vektormezők integrálja két pont közti görbéken, vektormezők integrálja zárt görbéken. A konzervatív vektormezők zárt görbén vett integrálja nulla. Egyszeresen összefüggő tartományok. Egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett vektormező rotációja pontosan akkor nulla, ha a vektormező konzervatív. Konzervatív vektormezők potenciálfüggvénye, a potenciálfüggvény kiszámolása. Lépésről-lépésre megnézzük, hogyan kell kiszámolni a potenciálfüggvényt. Valamint megnézzük, hogyan kell vektormezőket görbék mentén integrálni, ha a vektormező konzervatív és akkor is, ha nem. A konzervatív vektormezők nagyon kellemesek, mert van primitív függvényük és így a görbementi integrál kiszámolása nagyon egyszerű. Ha a vektormező nem konzervatív, akkor zárt görbékre az integrál nem nulla. De azért van remény...  A Green-tételek közül az egyik egy nagyon hasznos kis trükköt mutat arra, hogyan lehet vektormezők bonyolult görbemenit integrálját kiszámolni a rotációk és egy egyszerű kis kettősintegrál segítségével. Az egyik Green-tétel a vektormezők görbementi örvénylésének gyors kiszámolásáról szól, míg a másik Green-tétel a vektormezők görbementi fluxusának kiszámolását könnyíti meg. Végezetül pedig, szuper-érthetően elmeséljük, hogy mi is a Divergencia-tétel lényege. Mutatunk példákat is, amin keresztül nagyon könnyű megérteni. A divergencia-tétel, vagy másnéven Gauss-Osztrogradszkij-tétel arról szól, hogy hogy egy vektormező integrálja az S kifelé irányított zárt felületen egyenlő a divergenvia integráljával a felület által határolt D tartományon. És egyszerű példákon keresztül megnézzük, hogy mi a Stokes-tétel és hogyan kell használni. A dolog úgy áll, hogy az első Green-tétel térbeli megfelelője a Stokes-tétel, és azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is, ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját. Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen. Példák Stokes-tételre, Stokes-tételes feladatok megoldással.



Vektormező divergenciája

Az Atlanti-óceán felett mindig fúj a szél.

A víz felszíne felett a szél sebességét és irányát egy vektormező írja le.

De hogyan lehetséges az,

hogy ide mindig csak befelé áramlik a levegő?

És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?

Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.

De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.

A válasz, a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…

Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.

A térítőknél pedig lefelé.

Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.

A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.

Ezt a szélkörzést hívjuk passzát szélnek.

Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…

Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.

És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.

A többi terület semleges, ott nem tűnik el levegő és nem is kerül elő a semmiből.

Földrajzi értelemben a sárga területek légnyomása teljesen átlagos, itt semmi izgalmas nem történik.

Ezt nullával fogjuk jelölni.

A piros területeken az átlagnál nagyobb a légnyomás…

a zöld területeken pedig az átlagnál kisebb.

A piros területen lévő pontokat forrásnak nevezzük. Itt a „semmiből” levegő áramlik a rendszerbe.

A zöld területen lévő pontokat nyelőnek hívjuk. Ezek a pontok elnyelik a levegőt.

A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

Nézzünk erre egy példát.

Itt egy  vektormező:

Ha valakinek nagyon sok ideje van, és egyesével kiszámolgatja szépen a vektorokat a sík pontjaira…

akkor valami ilyet fog kapni.

A kontinensekre már végülis nincs szükség…

A zöld részen a levegő folyamatosan eltűnik a rendszerből.

Ahogy haladunk balról jobbra, az egyre jobban rövidülő nyilak azt jelentik, hogy itt a levegő folyamatosan csökken.

A piros részen pedig balról jobbra haladva megjelenik.

A divergencia a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

És éppen itt is jön a képlete:

Nem kell mást tennünk, mint az első koordinátafüggvényt x szerint deriválni…

A második koordinátafüggvényt pedig y szerint.

És voila, meg is van a divergencia.

Vegyünk most egy tetszőleges pontot a vektormezőben.

Itt van például ez.

Ebben a pontban a divergencia…

Ez azt mondja meg, hogy a kiválasztott pontban mennyi levegő áramlik a rendszerbe.

Ha egy másik pontot választunk…

Akkor persze ott is kiszámolhatjuk a divergenciát.

Nem kell túl nagy szakértelem ahhoz, hogy rájöjjünk:

az x=3 egyenletű egyenes minden pontjában 12 lesz a divergencia.

Ha a vektormező minden pontjához hozzárendeljük az adott ponthoz tartozó divergenciát, akkor egy  vektor-skalár függvényt kapunk.

A divergencia minden olyan pontban negatív, amelyre x<0.

Ezek a pontok az úgynevezett nyelők a vektormezőn.

Azokban a pontokban, ahol x>0, a divergencia pozitív.

Ezek a pontok források.

Ez nagyszerű, most pedig nézzünk meg egy másik vektormezőt is.

Íme, itt van például ez.

Nézzük, mekkora a divergencia.

A vektormező divergenciája minden pontban nulla.

Ez azt jelenti, hogy egyik pontban sem áramlik levegő befelé a rendszerbe. 

Sem pedig kifelé.

A levegő, viszont meglehetősen kavarog.

Ezt az örvénylő mozgást írja le a rotáció.

És épp most jön…A vektormezőkkel kapcsolatban az első és legfontosabb, amit tehetünk, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.

Maga a vektormező egy teljesen hétköznapi fogalom, éppen itt jön erre egy példa.

Ez itt az Atlanti-óceán, az óceán felett pedig mindig fúj a szél.

Ha az Óceán minden pontjában megadjuk a szél sebességét és irányát, akkor egy vektormezőt kapunk.

Ez egy függvény, ami azt tudja, hogy a sík minden pontjához hozzárendel egy vektort.

Az egyszerűség kedvéért legyen a szél sebessége minden pontban 5 km/h és fújjon nyugat felé.

A függvény tehát minden (x,y) ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá.

Na persze a szél nem csak az óceán felszíne felett fúj, hanem magasabban is…

Szükség lesz tehát egy z koordinátára is.

De kezdetnek maradjunk most a síkbeli esetnél.

A síkbeli eset egy  vektormező.

Ha a szélirány megváltozik…

akkor egy másik vektormezőt kapunk.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha a szél iránya és sebessége függ az adott pont koordinátájától.

Itt van például ez a vektormező:

Nézzük meg, hogyan néz ki.

Kezdjük az egyenlítővel, amikor y=0.

Ha y=0, akkor a szélsebesség vektor ez.

Ha y=1, akkor a szélsebesség vektor…

Aztán jön az y=2:

És az y=3:

És voila, íme a vektormező.

Na persze, ha túlképzettek vagyunk földrajzból…

Akkor mondhatjuk, hogy a valóságban ez így néz ki.

És ezzel el is érkeztünk a vektormezők vizsgálatának egyik legizgalmasabb pontjához.

Hogyan lehetséges az, hogy ide csak befelé áramlik a levegő?

Vajon mi történik ott vele?

És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?

Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.

De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.

A válasz a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…

Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.

A térítőknél pedig lefelé.

Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.

A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.

Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…

Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.

És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.

Ez lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.

De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…


Vektormező rotációja

Íme, itt egy vektormező.

A vektormező divergenciáját már megnéztük.

Ezzel a képlettel számolható ki.

Vagy ha egy vektormezővel van dolgunk, akkor:

Most viszont itt jön valami még izgalmasabb.

A vektormező örvénylését fogjuk megpróbálni valahogyan leírni.

Itt egy  vektormező:

A vektormező divergenciája:

Ez a vektormező itt az óramutató járásával megegyező irányba örvénylik.

Ezt hívjuk negatív iránynak.

És itt pedig pozitív irányba örvénylik.

A vektormező örvénylését a rotáció írja le.

Épp itt is jön:

Azokban a pontokban, ahol x=y a rotáció éppen nulla.

Itt nincsen örvénylés.

Ha x>y akkor a rotáció pozitív.

És, ha x<y akkor negatív.

A rotációt úgy érdemes elképzelni, mintha pici kis korongokat tennénk a síkra…

és ezeket a korongokat az áramló levegő megforgatja.

A korong forgástengelye merőleges a síkra.

A forgatás erősségét és irányát pedig a rotáció adja meg.

Ez a korong például áll.

Ha a vektormező minden pontjában megnézzük a kis korongok forgási irányát és a forgás erősségét, akkor megkapjuk a vektormező rotációját.

Hát így néz ki a rotáció az  vektormezőknél.

A térbeli örvénylést már egy fokkal nehezebb elképzelni.

Sőt, két fokkal…

Térben nem kis korongok, hanem kis gömbök vannak.

A gömbök forgástengelye pedig minden pontban más és más irányba mutat.

A forgástengely irányát maga a rotáció adja meg.

Mond még valamit az, hogy ?

Ezek a tér bázisvektorai.

Na, és a rotáció…

Itt egy vektormező:

Ennek a vektormezőnek a rotációja:

Mielőtt teljesen kétségbe esnénk, itt jön két dolog.

Az egyik, hogy ez tehát egy ártatlan kis vektor, ami a gömb forgástengelyének irányát adja meg.

A vektor hossza pedig azt mondja meg, hogy milyen gyorsan forog a gömb.

A másik jó hír csak azoknak szól, akik tudják, hogy mi az a determináns:

Ha kifejtjük az első sora szerint…

És voila, íme, itt a rotáció képlete.

Ezeket írjuk föl magunknak.

A vektormező rotációja:

A rotáció képlete megjegyezhető formában:

És jegyezzük meg, hogy az  eset így olvasható le.

Most pedig lássunk valami izgalmasat…


Divergencia, rotáció, forrásmentes és örvénymentes vektormezők

 Divergencia, rotáció, forrásmentes és örvénymentes vektormezők.

Itt egy vektormező:

Számoljuk ki a divergenciát és a rotációt.

Na, ez a z szerinti deriválás már kezd izgalmas lenni…

Most nézzük, mi van a rotációval.

Ezt eddig vehetjük úgy is, hogy gyakoroljuk egy kicsit a parciális deriválást és közben ilyen tudományos szavakat mondunk, mint divergencia, vagy rotáció.

De azért ez az egész jó is valamire…

Nézzük meg, hogy forrásmentes-e és örvénymentes-e a következő vektormező:

Egy vektormező akkor forrásmentes, ha nincs benne forrás, vagyis nincs benne olyan pont, amelynek pozitív a divergenciája.

Úgy néz ki, ez a vektormező nem forrásmentes.

Sőt, meglehetősen kevés olyan pontja van, ahol a divergencia nulla.

És most lássuk, hogy örvénymentes-e a vektormező.

A rotáció a vektormező minden pontjában nulla.

Vagyis a vektormező örvénymentes.

Azokat a vektormezőket, ahol a rotáció minden pontban nulla, konzervatív vektormezőknek nevezzük.

Legalábbis, egy kis extra feltétel teljesülése esetén.

A konzervatív elnevezés onnan ered, hogy ezeknél a vektormezőknél az energia valamilyen módon konzerválható.

Nézzük meg, hogy hogyan…


Konzervatív vektormezők, potenciálfüggvény

Konzervatív vektormezők, potenciálfüggvény

Azokat a vektormezőket, ahol az energia valamilyen módon konzerválható, konzervatív vektormezőnek nevezzük.

Nézzünk erre egy példát.

Áramot nem tudunk nagyobb mennyiségben raktározni. Annyit még igen, amennyi egy telefon működéséhez kell, de annyit, amennyi egy egész városnak kell, na annyit már nem.

A lezúduló víz viszont képes áramot termelni.

Az áramot persze nem maga a víz termeli, hanem az a gravitációs erő, amitől a víz lezúdul.

Ez a gravitációs erőtér egy konzervatív vektormező.

Konzerválja például azt az energiát amivel vizet pumpálunk fel ide...

És amikor éppen szükségünk van rá, vissza tudjuk nyerni.

Van persze némi veszteség a súrlódás meg hasonlók miatt, de ezekért nem a gravitációs erőtér felelős.

Ezt a rendszert szivattyús energiatárolónak nevezzük és az ipari mennyiségű áram raktározására használjuk.

A konzervatív vektormezőknek van néhány fontos tulajdonsága.

Ezeket fogjuk most megnézni.

De mindenekelőtt definiáljuk, hogy mikor konzervatív egy vektormező.

Nos, erre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.

Hamarosan látni fogjuk, hogy minden mindennel összefügg.

Az első definíció úgy szól, hogy egy vektormező akkor konzervatív, ha van primitív függvénye.

Ezt a primitív függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük.

Na, az meg mi?

Itt egy ártatlan kis függvény:

Ez egy sima háromváltozós függvény.

Amit a szokásos módon tudunk deriválni.

Ha még emlékszünk rá, ezt a derivált-vektort gradiensnek neveztük.

De ez egyúttal egy vektormező.

Ennek a vektormezőnek a primitív függvénye az eredeti F függvény.

És ezt az F függvényt hívjuk potenciál-függvénynek.

A vektormező akkor konzervatív, ha létezik F primitív függvénye.

Ez az F függvény a vektormező potenciál-függvénye.

És a vektormező pedig a potenciál-függvény gradiense.

A potenciál-függvény egy vektor-skalár függvény, és azt tudja, hogy a vektormező minden pontjához hozzárendel egy számot.

Itt például valami olyan számot, hogy mennyi áramot termel 1 liter víz, ha különböző magasságokba pumpáljuk fel.

Most pedig lássuk a konzervatív vektormezők egy másikfajta jellemzését.

Van itt ez a repülő, ami elindul A-ból…

és a B-n keresztül eljut D-be.

A széljárás meglehetősen kedvezőnek mondható, ugyanis szinte végig abba az irányba fúj a szél, amerre a repülő halad.

Ha viszont ezen a másik útvonalon halad a repülő…

nos, akkor a szél nem sokat segít.

Itt ugyanis végig merőlegesen fúj.

Vagyis a vektormező által végzett munka a kétféle útvonalon nem ugyanakkora.

Talán még emlékszünk rá, a vektormező által végzett munkát a görbementi integrállal tudjuk kiszámolni.

Mégpedig ezzel a remek kis képlettel:

Hasonlóan izgalmas körülmények között számoljuk ki a BD szakaszon vett integrált is.

Aki nem hiszi, számolja ki, de ez is 27 lesz.

Aztán itt van az AC szakaszon vett integrál…

ami pont nulla.

És ez is nulla.

Ez a vektormező tehát olyan, hogy el tudunk jutni A-ból D-be úgy, hogy a vektormező által végzett munka nulla…

és úgy is, hogy nem nulla.

Az ilyen vektormezők sohasem lehetnek konzervatívak.

Ha ez egy konzervatív vektormező lenne, akkor a görbementi integrál értéke független lenne az A és D pontok között választott úttól.

A és B pontok között vezető bármely görbén integrálva ugyanazt az értéket kapjuk.

Egy konzervatív vektormezőben az A és B pontok között vezető bármely görbén integrálva ugyanazt az értéket kapjuk.

Ha pedig az egyik görbe irányát megfordítjuk…

A megfordított irányú görbén vett integrál az eredeti mínuszegyszerese lesz.

És így kapjuk, hogy zárt görbén a vektormező integrálja nulla.

Bármilyen zárt görbén.

A zárt görbén vett integrálás jele ez a violinkulcs-szerű izé…

Most pedig lássuk, mire jutottunk.

Mit is jelent az, hogy egy vektormező konzervatív?

#1 A  vektormező konzervatív, ha létezik primitív függvénye. Ezt a függvényt potenciál-függvénynek nevezzük, és íme, itt is van:

#2 A  vektormező konzervatív, ha tetszőleges A és B pontjára igaz, hogy bármely A és B közti görbén ugyanakkora a vektormező integrálja.

#3 A  vektormező konzervatív, ha bármely zárt görbén a vektormező integrálja nulla.

És végül még egy dolog.

Egy tartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha nem lukas.

EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ

NEM EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ

Mindez csak azért érdekes, mert, ha a  vektormező egyszeresen összefüggő tartományon van értelmezve, akkor létezik még egy feltétel arra, hogy konzervatív-e vagy sem.

Egy meglehetősen hasznos feltétel.

#0 A  egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett vektormező pontosan akkor konzervatív, ha bármely pontjában a rotáció nulla.

Kizárólag azért, hogy teljessé tegyük az élményt, vonultassuk föl a többi állítást is még egyszer…


A potenciálfüggvény kiszámolása

A potenciálfüggvény kiszámolása

Egy v(x,y,z) vektormező potenciálfüggvénye az F(x,y,z) függvény.

Számítsuk ki a vektormező divergenciáját és rotációját.

Az első dolgunk a vektormező előállítása lesz.

A divergenciát így már nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni.

Most lássuk a rotációt.

Sok izgalomra ne számítsunk. Egy olyan vektormezővel van dolgunk, aminek van potenciálfüggvénye.

Vagyis ez egy konzervatív vektormező, és ezért a rotációja nulla.

Az már jóval izgalmasabb, ha mindezt fordítva kell csinálnunk.

Vagyis van egy vektormezőnk, és abból kell kitalálnunk, hogy mi lehet a vektormező potenciálfüggvénye.

Íme, itt a vektormező:

És olyankor létezik potenciálfüggvény, ha a vektormező konzervatív.

Hát, így első ránézésre fogalunk sincs...

Na, ezen a ponton kerül képbe a rotáció.

Ha egy vektormező rotációja minden pontban nulla, akkor a vektormező konzervatív.

Nézzük meg.

Úgy néz ki, ez tényleg nulla.

A jelek szerint tehát van potenciálfüggvény.

A potenciálfüggvényt integrálással tudjuk kiszámolni.

Integrálgatunk egy kicsit x szerint...

Ilyenkor y és z úgy viselkedik, mint egy konstans.

Éppen ezért simán előfordulhat, hogy y és z felbukkan ebben a C-ben is.

Íme, itt van tehát a potenciálfüggvény.

Csak még jó lenne tudni, hogy mi van ezzel itt.

Deriváljuk y szerint, és megnézzük.

A potenciálfüggvény y szerinti deriváltja mindig a vektormező második koordinátafüggvénye.

Ha ezt integráljuk y szerint, akkor éppen visszakapjuk az eredeti C(y,z)-t...

Na persze ez a +C még nyomokban tartalmazhat z-től függő függvényeket is.

És most kezdődik minden előröl ezzel a C(z)-vel.

Megint deriválunk…

Megint megnézzük, hogy minek kéne kijönnie…

Ha ezt z szerint integráljuk, akkor meg is van a C(z).

És voila, meg is van a vektormező potenciálfüggvénye.

http://web.cs.elte.hu/~szzoltan/bmk/bmk25.html

A földrajzi okok a vektormezőknek ez a teljesen  lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.

De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…

Most a vektormezők

Az egyváltozós függvények úgy működnek, hogy egy valós számhoz rendelnek hozzá egy másik valós számot.

A függvény grafikonja egy vonal.

Határozott integrálja a-tól b-ig pedig egy terület.


Vonalintegrál konzervatív vektormezőkön

Vonalintegrál konzervatív vektormezőkön

Egy v(x,y,z) vektormező potenciálfüggvénye az F(x,y,z) függvény.

Számítsuk ki a vektormező divergenciáját, rotációját és integráljuk az r(t)=(3t, t2, t) görbén t=0 és t=2 között.

Az első dolgunk a vektormező előállítása lesz.

A divergenciát így már nagyon egyszerűen ki tudjuk számolni.

A rotáció kiszámolása már kicsit fárasztóbb…

Kivéve most.

Jelenleg ugyanis egy olyan vektormezővel van dolgunk, aminek van potenciálfüggvénye.

Vagyis ez egy konzervatív vektormező, és ezért a rotációja nulla.

Most pedig jöhet a görbementi integrál.

Ehhez szükségünk lesz egy kis hipnózisra, ahol felidézzük a kiszámolásához szükséges képleteket.

Íme, itt is vannak.

Az r görbementén vett integrál: 

Az S felületi integrál:

r(t)=(3t, t2, t)

Olyankor, amikor a vektormezőnek van potenciálfüggvénye, ezeket az integrálásokat sokkal egyszerűbben is ki lehet számolni.

A potenciálfüggvény ugyanis a vektormező primitív függvénye.

Az integrál egyszerűen a primitív függvény megváltozása:

Csak éppen bele kell helyettesítenünk a görbét.

Itt jön egy másik vektormező.

És számoljuk ki az integrálját ezen a zárt görbén.

Ha ez egy konzervatív vektormező lenne, akkor minden zárt görbén az integrál nulla.

Nézzük meg, hátha szerencsénk van.

Hát nincs.

A rotáció nem nulla, vagyis a vektormező nem konzervatív.

Nincs mit tenni, el kell kezdeni számolgatni.

Legalább ilyen izgalmas kiszámolni a másik két szakaszra is az integrált.

Legalább ilyen izgalmas kiszámolni a másik két szakaszra is az integrált.

Az integrál értéke azért pozitív, mert a vektormező éppen a görbe irányával megegyező irányban örvénylik.

Ez az integrál a vektormező örvénylését írja le ezen a görbén.

Az örvénylésért a rotáció felel.

Ha ezeket a rotációkat összesítjük a görbe által határolt tartományon…

nos, akkor nagyon meglepő dolgot kapunk.

Erről fog szólni a Green-tétel…


A Green-tételek

A Green-tételek

Egy vektormező zárt görbén vett vonalintegrálja azt írja le, hogy hogyan örvénylik a vektormező a zárt görbén.

Ezen a zárt görbén például éppen így.

A vektormező örvényléséről szól a rotáció is.

A rotáció egy adott pontban mondja meg az örvénylés nagyságát, a zárt görbén vett integrál pedig a teljes görbére.

Ha a görbét elkezdjük zsugorítani…

akkor, ahogy a görbe hossza tart nullához…

éppen meg kell kapnunk a pontbeli örvénylést, a rotációt.

De van valami, ami még ennél is érdekesebb.

A sok kis rotáció együttesen képes kiadni a zárt görbe örvénylését.

A zárt görbe örvénylését megkaphatjuk úgy…

ha a görbe által határolt tartományon…

a sok kis örvénylést összeadjuk.

Ezt a tétel hívjuk Green-tételnek.

Van egy másik Green-tétel is, de előbb nézzünk erre egy példát.

Itt ez a vektormező:

És számoljuk ki az integrálját ezen a zárt görbén.

Ez egy nagyon kellemetlen görbementi integrálás…

lenne, ha nem volna itt nekünk a Green-tétel.

A Green-tétel nagyon egyszerűvé teszi az életünket.

Ezt a kettősintegrált kell csak kiszámolni:

Apró gubancok még adódhatnak ugyan ezzel a Green-tétellel…

De aggodalomra semmi ok, nagy veszélyben azért nem vagyunk.

Integráljuk például ezt a vektormezőt ezen a zárt görbén.

Íme, a vektormező:

A Green-tétel szerint pedig a görbementi integrál kiszámolásához elegendő a rotációt integrálni….

ezen a tartományon.

És most jönnek az ígért bonyodalmak.

Ha a görbe irányítását megfordítjuk…

attól még ez az integrál ugyanannyi marad.

Ez azonban probléma, mert a vektormező görbementi integrálja ennek hatására előjelet kellene, hogy váltson.

A Green-tétel helyesen tehát így szól.

Ha a zárt görbe pozitív irányban halad, akkor az integrált pozitív előjellel kell venni…

Ha pedig negatív irányban halad a görbe, akkor negatív előjellel.

A példánkban eredetileg így haladt a görbe.

Ezért aztán a megoldás a mínuszos lesz.

A Green-tétel tehát abban az esetben működik, ha a zárt görbe irányítása pozitív.

Ha a görbe irányítása negatív, nos végülis akkor is működik, csak oda kell biggyeszteni egy mínuszjelet.

Hát ezt tudja a Green-tétel.

Legalábbis az egyik…

Mert van egy másik is.

A másik Green-tétel arról szól, hogy ha az elkerített tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját…

Akkor valami olyat kapunk, amit korábban a felületi integrálnál már láthattunk.

Ez a zárt görbére vonatkozó fluxus.

(zárt görbén vett örvénylés)

(zárt görbén vett fluxus)

Az első Green-tétel azt írja le a rotáció segítségével, hogy mekkora egy vektormező örvénylése a zárt görbén.

A második Green-tétel pedig azt írja le a divergencia segítségével, hogy mekkora egy vektormező fluxusa a zárt görbén.

Mindez persze sokkal izgalmasabb térben…


A divergencia-tétel (Gauss-Osztrogradszkij-tétel)

 A divergencia-tétel

Itt egy   vektormező.

És egy zárt göbe.

Az első Green-tétel azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező rotációját.

Az második Green-tétel pedig azt mondja, hogy a vektormező fluxusa egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt tartományon integráljuk a vektormező divergenciáját.

Most pedig lássuk, mi a helyzet estben.

Az első Green-tétel térbeli megfelelője azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját.

Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen.

Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.

A második Green-tétel térbeli változata azt mondja…

hogy egy vektormező integrálja az S kifelé irányított zárt felületen…

egyenlő a divergencia integráljával a felület által határolt D tartományon.

A vektormező integrálja ennek a kockának a felületén azt mondja meg, hogy mennyi többlet levegő áramlik ki a kocka belsejéből.

Nos, pontosan annyi, amennyi ott belül keletkezik.

Vagyis amennyi a kocka belsejében lévő divergenciák összessége.

Ezt a tételt divergencia-tételnek, vagy másként Gauss-Osztrogradszkij-tételnek nevezzük.

Maradjunk a divergencia-tétel elnevezésnél…

Divergencia-tétel

Ha S kifelé irányított zárt felület, és D a felület által határolt tartomány, akkor:

Nézzünk erre egy példát.

Van itt ez a vektormező:

És nézzük, mit tud a divergencia-tétel.

Integráljuk a vektormezőt ennek a kockának a felületén.

Aztán pedig integráljuk a vektormező divergenciáját a kocka belsejében.

A divergencia-tétel szerint a két integrálásnak meg kell egyeznie.

A kocka felületén integrálni sajnos egy kicsit időigényes.

Integrálnunk kell külön-külön mind a hat oldallapon.

Kezdjük, mondjuk ezzel.

A felület paraméterezésébe nem érdemes túl sok energiát fektetni.

Ez jó is lesz:

Most jön az a rész, hogy a felület koordináta-függvényeit behelyettesítjük a vektormező x, y és z koordinátáinak a helyére.

Túl nagy változásra ne számítsunk.

A felület normálvektorát most ránézésre meg tudjuk mondani.

Na persze, ha valaki tudományosan is szeretné…

Végül elvégezzük ezt a kis skaláris szorzatot…

És kész is.

Csodás. Ezzel meg is vagyunk a felület hatodával…

A helyzet azért nem teljesen reménytelen.

Ha most például ezen a felületen kell integrálnunk…

akkor minden pontosan ugyanúgy fog történni.

Leszámítva néhány apróságot.

A felület csak annyiban lesz más, hogy a z koordináta ezúttal nulla.

A normálvektor pedig pontosan ugyanaz, mint az előbb.

Vagy mégse?

A divergencia-tétel úgy szól, hogy a felület kifelé van irányítva.

Vagyis a felület normálvektorai mindig kifelé mutatnak.

Úgyhogy ezt most szépen megfordítjuk.

Ezek a változások két dolgot jelentenek.

Egyrészt z=0 miatt ez most nulla lesz.

Másrészt bejön egy mínuszegyes szorzó a normálvektor megfordítása miatt.

Nézzük, hol is tartunk a számolásban.

Van itt ez a 64/5, ami beáramlik a kockába…

és azért negatív, mert a felület irányításával ellentétesen.

Aztán itt fölül ki is áramlik.

És van ez a 8, ami a kocka belsejében keletkezett…

A kocka tetején pedig kiáramlik.

Mindezt a kocka többi oldalára is hasonlóan izgalmas körülmények között tudjuk kiszámolni.

Ez tehát a vektormező felületi integrálja.

A divergencia-tétel arról szól, hogy mindezt sokkal egyszerűbben is megkaphatjuk.

Mégpedig így.

Integrálnunk kell a kockán a vektormező divergenciáját.

Hát erről szól a divergencia-tétel.


A Stokes-tétel

 A Stokes-tétel

Az első Green-tétel térbeli megfelelője azt mondja, hogy a vektormező örvénylése egy zárt görbén kiszámolható úgy is…

ha a görbe által határolt S felületen integráljuk a vektormező rotációját.

Ráadásul teljesen mindegy, hogy melyik felületen.

Az első Green-tétel térbeli változatát Stokes-tételnek nevezzük.

Itt S egyszeresen összefüggő

sima felület, határgörbéje r(t),

melynek irányítása a felület

normálvektoraival jobbrendszert alkot.

Nézzünk erre egy példát.

Itt van ez a vektormező:

És ez a zárt görbe, ami egyébként egy körvonal.

Integráljuk a vektormezőt ezen a görbén.

Ja és ezen a kúpfelületen pedig integráljuk a vektormező rotációját.

Vagy épp ezen…

A Stokes-tétel szerint a két integrálásnak meg kell egyeznie.

Kezdjük a görbementi integrállal.

Most nézzük, hogy tényleg ugyanez jön-e ki a Stokes-tétellel is.

A felület egy forgáskúp.

Lássuk csak, hogyan is kell paraméterezni egy forgáskúpot.

Hát ezt a forgáskúpot így.

De ez még nem az igazi…

Meg kell fordítani…

és feljeb tolni 1-gyel.

Hát ezt tudja a Stokes-tétel.

A görbementi integrálást egy felületi integrálra cseréli.

Így nem egy rémes integrálást kell elvégeznünk…

hanem egy borzalmasat.


FELADAT | Vektormező fluxusának kiszámolása zárt felületen

FELADAT | Potenciálfüggvény kiszámolása

FELADAT | Potenciálfüggvény kiszámolása

FELADAT | Potenciálfüggvény kiszámolása

FELADAT | Divergencia és rotáció

FELADAT | Vektormező vonalmenti integrálja, Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel

FELADAT | Green-tétel