Barion Pixel Konzervatív vektormezők, potenciálfüggvény | mateking
 

Analízis 3 epizód tartalma:

Mit jelent az, hogy egy erőtér konzervatív? A konzervatív vektormezők jellemzése. Vektormezők primitív függvénye, potenciál, a potenciálfüggvény. Vektormezők integrálja két pont közti görbéken, vektormezők integrálja zárt görbéken. A konzervatív vektormezők zárt görbén vett integrálja nulla. Egyszeresen összefüggő tartományok. Egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett vektormező rotációja pontosan akkor nulla, ha a vektormező konzervatív.

A képsor tartalma

Konzervatív vektormezők, potenciálfüggvény

Azokat a vektormezőket, ahol az energia valamilyen módon konzerválható, konzervatív vektormezőnek nevezzük.

Nézzünk erre egy példát.

Áramot nem tudunk nagyobb mennyiségben raktározni. Annyit még igen, amennyi egy telefon működéséhez kell, de annyit, amennyi egy egész városnak kell, na annyit már nem.

A lezúduló víz viszont képes áramot termelni.

Az áramot persze nem maga a víz termeli, hanem az a gravitációs erő, amitől a víz lezúdul.

Ez a gravitációs erőtér egy konzervatív vektormező.

Konzerválja például azt az energiát amivel vizet pumpálunk fel ide...

És amikor éppen szükségünk van rá, vissza tudjuk nyerni.

Van persze némi veszteség a súrlódás meg hasonlók miatt, de ezekért nem a gravitációs erőtér felelős.

Ezt a rendszert szivattyús energiatárolónak nevezzük és az ipari mennyiségű áram raktározására használjuk.

A konzervatív vektormezőknek van néhány fontos tulajdonsága.

Ezeket fogjuk most megnézni.

De mindenekelőtt definiáljuk, hogy mikor konzervatív egy vektormező.

Nos, erre több különböző definíció van forgalomban attól függően, hogy fizikusok vagy matematikusok alkották-e meg magát a definíciót.

Hamarosan látni fogjuk, hogy minden mindennel összefügg.

Az első definíció úgy szól, hogy egy vektormező akkor konzervatív, ha van primitív függvénye.

Ezt a primitív függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük.

Na, az meg mi?

Itt egy ártatlan kis függvény:

Ez egy sima háromváltozós függvény.

Amit a szokásos módon tudunk deriválni.

Ha még emlékszünk rá, ezt a derivált-vektort gradiensnek neveztük.

De ez egyúttal egy vektormező.

Ennek a vektormezőnek a primitív függvénye az eredeti F függvény.

És ezt az F függvényt hívjuk potenciál-függvénynek.

A vektormező akkor konzervatív, ha létezik F primitív függvénye.

Ez az F függvény a vektormező potenciál-függvénye.

És a vektormező pedig a potenciál-függvény gradiense.

A potenciál-függvény egy vektor-skalár függvény, és azt tudja, hogy a vektormező minden pontjához hozzárendel egy számot.

Itt például valami olyan számot, hogy mennyi áramot termel 1 liter víz, ha különböző magasságokba pumpáljuk fel.

Most pedig lássuk a konzervatív vektormezők egy másikfajta jellemzését.

Van itt ez a repülő, ami elindul A-ból…

és a B-n keresztül eljut D-be.

A széljárás meglehetősen kedvezőnek mondható, ugyanis szinte végig abba az irányba fúj a szél, amerre a repülő halad.

Ha viszont ezen a másik útvonalon halad a repülő…

nos, akkor a szél nem sokat segít.

Itt ugyanis végig merőlegesen fúj.

Vagyis a vektormező által végzett munka a kétféle útvonalon nem ugyanakkora.

Talán még emlékszünk rá, a vektormező által végzett munkát a görbementi integrállal tudjuk kiszámolni.

Mégpedig ezzel a remek kis képlettel:

Hasonlóan izgalmas körülmények között számoljuk ki a BD szakaszon vett integrált is.

Aki nem hiszi, számolja ki, de ez is 27 lesz.

Aztán itt van az AC szakaszon vett integrál…

ami pont nulla.

És ez is nulla.

Ez a vektormező tehát olyan, hogy el tudunk jutni A-ból D-be úgy, hogy a vektormező által végzett munka nulla…

és úgy is, hogy nem nulla.

Az ilyen vektormezők sohasem lehetnek konzervatívak.

Ha ez egy konzervatív vektormező lenne, akkor a görbementi integrál értéke független lenne az A és D pontok között választott úttól.

A és B pontok között vezető bármely görbén integrálva ugyanazt az értéket kapjuk.

Egy konzervatív vektormezőben az A és B pontok között vezető bármely görbén integrálva ugyanazt az értéket kapjuk.

Ha pedig az egyik görbe irányát megfordítjuk…

A megfordított irányú görbén vett integrál az eredeti mínuszegyszerese lesz.

És így kapjuk, hogy zárt görbén a vektormező integrálja nulla.

Bármilyen zárt görbén.

A zárt görbén vett integrálás jele ez a violinkulcs-szerű izé…

Most pedig lássuk, mire jutottunk.

Mit is jelent az, hogy egy vektormező konzervatív?

#1 A vektormező konzervatív, ha létezik primitív függvénye. Ezt a függvényt potenciál-függvénynek nevezzük, és íme, itt is van:

#2 A vektormező konzervatív, ha tetszőleges A és B pontjára igaz, hogy bármely A és B közti görbén ugyanakkora a vektormező integrálja.

#3 A vektormező konzervatív, ha bármely zárt görbén a vektormező integrálja nulla.

És végül még egy dolog.

Egy tartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha nem lukas.

EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ

NEM EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ

Mindez csak azért érdekes, mert, ha a vektormező egyszeresen összefüggő tartományon van értelmezve, akkor létezik még egy feltétel arra, hogy konzervatív-e vagy sem.

Egy meglehetősen hasznos feltétel.

#0 A egyszeresen összefüggő tartományon értelmezett vektormező pontosan akkor konzervatív, ha bármely pontjában a rotáció nulla.

Kizárólag azért, hogy teljessé tegyük az élményt, vonultassuk föl a többi állítást is még egyszer…

 

Konzervatív vektormezők, potenciálfüggvény

04
hang
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez