Barion Pixel Vektormező divergenciája | mateking
 

Analízis 3 epizód tartalma:

Mit jelent a vektormező divergenciája. Szemléletes példákon keresztül megnézzük, hogy mi is a divergencia. Aztán pedig lépésről lépésre kiszámoljuk néhány remek vektormező divergenciáját. Pozitív és negatív divergenciájú pontokat forrásnak és nyelőnek nevezzük. A forrás és a nyelő jellemzése. Példák vektormező divergenciájára.

A képsor tartalma

Az Atlanti-óceán felett mindig fúj a szél.

A víz felszíne felett a szél sebességét és irányát egy vektormező írja le.

De hogyan lehetséges az,

hogy ide mindig csak befelé áramlik a levegő?

És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?

Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.

De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.

A válasz, a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…

Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.

A térítőknél pedig lefelé.

Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.

A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.

Ezt a szélkörzést hívjuk passzát szélnek.

Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…

Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.

És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.

A többi terület semleges, ott nem tűnik el levegő és nem is kerül elő a semmiből.

Földrajzi értelemben a sárga területek légnyomása teljesen átlagos, itt semmi izgalmas nem történik.

Ezt nullával fogjuk jelölni.

A piros területeken az átlagnál nagyobb a légnyomás…

a zöld területeken pedig az átlagnál kisebb.

A piros területen lévő pontokat forrásnak nevezzük. Itt a „semmiből” levegő áramlik a rendszerbe.

A zöld területen lévő pontokat nyelőnek hívjuk. Ezek a pontok elnyelik a levegőt.

A vektormező divergenciája egy olyan függvény, amely a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

Nézzünk erre egy példát.

Itt egy vektormező:

Ha valakinek nagyon sok ideje van, és egyesével kiszámolgatja szépen a vektorokat a sík pontjaira…

akkor valami ilyet fog kapni.

A kontinensekre már végülis nincs szükség…

A zöld részen a levegő folyamatosan eltűnik a rendszerből.

Ahogy haladunk balról jobbra, az egyre jobban rövidülő nyilak azt jelentik, hogy itt a levegő folyamatosan csökken.

A piros részen pedig balról jobbra haladva megjelenik.

A divergencia a vektormező minden pontjában megméri, hogy ott mennyi anyag áramlik a rendszerbe vagy épp mennyi tűnik el.

És éppen itt is jön a képlete:

Nem kell mást tennünk, mint az első koordinátafüggvényt x szerint deriválni…

A második koordinátafüggvényt pedig y szerint.

És voila, meg is van a divergencia.

Vegyünk most egy tetszőleges pontot a vektormezőben.

Itt van például ez.

Ebben a pontban a divergencia…

Ez azt mondja meg, hogy a kiválasztott pontban mennyi levegő áramlik a rendszerbe.

Ha egy másik pontot választunk…

Akkor persze ott is kiszámolhatjuk a divergenciát.

Nem kell túl nagy szakértelem ahhoz, hogy rájöjjünk:

az x=3 egyenletű egyenes minden pontjában 12 lesz a divergencia.

Ha a vektormező minden pontjához hozzárendeljük az adott ponthoz tartozó divergenciát, akkor egy vektor-skalár függvényt kapunk.

A divergencia minden olyan pontban negatív, amelyre x<0.

Ezek a pontok az úgynevezett nyelők a vektormezőn.

Azokban a pontokban, ahol x>0, a divergencia pozitív.

Ezek a pontok források.

Ez nagyszerű, most pedig nézzünk meg egy másik vektormezőt is.

Íme, itt van például ez.

Nézzük, mekkora a divergencia.

A vektormező divergenciája minden pontban nulla.

Ez azt jelenti, hogy egyik pontban sem áramlik levegő befelé a rendszerbe.

Sem pedig kifelé.

A levegő, viszont meglehetősen kavarog.

Ezt az örvénylő mozgást írja le a rotáció.

És épp most jön…A vektormezőkkel kapcsolatban az első és legfontosabb, amit tehetünk, hogy őrizzük meg a nyugalmunkat.

Maga a vektormező egy teljesen hétköznapi fogalom, éppen itt jön erre egy példa.

Ez itt az Atlanti-óceán, az óceán felett pedig mindig fúj a szél.

Ha az Óceán minden pontjában megadjuk a szél sebességét és irányát, akkor egy vektormezőt kapunk.

Ez egy függvény, ami azt tudja, hogy a sík minden pontjához hozzárendel egy vektort.

Az egyszerűség kedvéért legyen a szél sebessége minden pontban 5 km/h és fújjon nyugat felé.

A függvény tehát minden (x,y) ponthoz ugyanazt a vektort rendeli hozzá.

Na persze a szél nem csak az óceán felszíne felett fúj, hanem magasabban is…

Szükség lesz tehát egy z koordinátára is.

De kezdetnek maradjunk most a síkbeli esetnél.

A síkbeli eset egy vektormező.

Ha a szélirány megváltozik…

akkor egy másik vektormezőt kapunk.

A dolog akkor válik izgalmasabbá, ha a szél iránya és sebessége függ az adott pont koordinátájától.

Itt van például ez a vektormező:

Nézzük meg, hogyan néz ki.

Kezdjük az egyenlítővel, amikor y=0.

Ha y=0, akkor a szélsebesség vektor ez.

Ha y=1, akkor a szélsebesség vektor…

Aztán jön az y=2:

És az y=3:

És voila, íme a vektormező.

Na persze, ha túlképzettek vagyunk földrajzból…

Akkor mondhatjuk, hogy a valóságban ez így néz ki.

És ezzel el is érkeztünk a vektormezők vizsgálatának egyik legizgalmasabb pontjához.

Hogyan lehetséges az, hogy ide csak befelé áramlik a levegő?

Vajon mi történik ott vele?

És hogyan lehetséges, hogy itt pedig csak kifelé?

Mielőtt valaki azt gondolná, hogy tévedésből földrajzórára jött, nos, továbbra is a vektormezőkről lesz szó.

De ezt az apró kis földrajzi jelenséget muszáj megnéznünk, mert olyan érdekes.

A válasz a semmiből előkerülő és az egyenlítőnél eltűnő levegő kérdésére…

Az egyenlítőnél fölfelé áramlik a levegő a magasba.

A térítőknél pedig lefelé.

Az egyenlítőnél tehát alacsony a légnyomás és a levegő fölfelé áramolva „eltűnik”.

A térítőknél pedig magas a légnyomás és fentről lefelé áramolva „megjelenik”.

Ha mindezt felülről nézzük, akkor azt látjuk, hogy…

Vannak olyan területek ahol a levegő divergens, itt a levegő szétáramlik.

És vannak olyan területek, ahol a levegő konvergens, ezeken a helyeken befelé áramlik.

Ez lesz majd a vektormezők egyik izgalmas tulajdonsága, amit divergenciának neveztek el.

De most előbb nézzük meg, hogy milyen útvonalon jutott el Kolumbusz Amerikába…

BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez