- Fourier sorok
- Interpolációs polinomok
- Differenciálegyenletek
- Differenciálegyenletek, izoklinák
- Laplace transzformáció
- Paraméteres görbék
- Síkbeli és térbeli leképezések és mátrixaik
- Vektormezők, görbementi és felületi integrálok
- Kettős és hármas intergrál, térfogati integrál
- Divergencia és rotáció
- Valszám alapok, Kombinatorika
- Teljes valószínűség tétele, Bayes tétel
- Eloszlás, eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény
- Geometriai valószínűség, Binomiális tétel
- Várható érték és szórás
- Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
- Nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások
- Kétváltozós eloszlások
- Becslések
- Hipotézisvizsgálat
Markov és Csebisev egyenlőtlenségek
Markov egyenlőtlenség
A Markov-egyenlőtlenség egy nagyon egyszerű dolgot állít. Az, hogy az $X$ valószínűségi változó sokkal nagyobb legyen a várható értéknél nem túl valószínű:
\( P \left(X \geq t \cdot E(X) \right) \leq \frac{1}{t} \)
Csebisev egyenlőtlenség
A Csebisev egyenlőtlenség arról szól, hogy a várható értéktől való eltérés nem lehet túl nagy.
Ha ez az eltérés nagyobb, mint a szórás $t$-szerese, akkor ennek a valószínűsége kicsi:
\( P \left( \mid X-E(X) \mid \geq t \cdot D(X) \right) \leq \frac{1}{t^2} \)
Ha az eltérés kisebb, mint a szórás $t$-szerese, akkor ennek valószínűsége nagy:
\( P \left( \mid X-E(X) \mid < t \cdot D(X) \right) > 1- \frac{1}{t^2} \)
Nagy számok törvénye
Ha egy esemény bekövetkezésének elméleti valószínűsége $p$, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és az elméleti valószínűség eltérése annál kisebb lesz.
\( P \left( \mathrel{\Big|} \frac{X}{n} - p \mathrel{\Big|} < \epsilon \right) \geq 1 - \frac{ p (1-p)}{n \epsilon^2} \qquad P \left( \mathrel{\Big|} \frac{X}{n} - p \mathrel{\Big|} > \epsilon \right) < \frac{ p (1-p)}{n \epsilon^2} \)
Ha egy újságárus óránként 64 darab újságot szokott eladni, mekkora a valószínűsége, hogy az egyik órában
a) legalább 250-et ad el?
b) 200-nál kevesebbet ad el?
a) Egy újságárus óránként 64 darab újságot szokott eladni, a szórás pedig 8 darab. Adjunk becslét annak valószínűségére, hogy az újságos által eladott lapok száma 50 darab és 78 darab közé esik.
b) Egy üzemben 150 mm hosszú csavarokat gyártanak 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha 146 mm-nél rövidebb vagy 154 mm-nél hosszabb. Adjunk becslést a selejtarányra.
c) Egy bankba óránként általában 120 ügyfél érkezik, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában 100 és 150 közé esik az ügyfelek száma.
d) Egy sí üdülőhelyen a téli szezonban hetente átlag 300 cm hó esik, a szórás 60 cm. Ha 50 cm-nél kevesebb hó esik, akkor a túl kevés hó miatt le kell zárni egy bizonyos pályát. Ugyanezt a pályát 480 cm feletti hóesésnél lavinaveszély miatt kell lezárni. Adjunk becslést a pálya lezárásának valószínűségére.
a) Hányszor kel dobnunk a kockával ahhoz, hogy a hatos dobás valószínűségét a relatív gyakoriság 0,1-nél jobban megközelítse az esetek 95%-ában?
b) Hányszor kell feldobnunk egy érmét ahhoz, hogy a fej dobások valószínűségét a relatív gyakoriság 0,05-nél jobban megközelítse legalább 0,9 valószínűséggel?
a) Egy könyvárus óránként átlag 8 könyvet tud eladni. Mekkora a valószínűsége, hogy 5 óra alatt elad legalább 50 darabot? Adjunk erre becslést a Markov-egyenlőtlenséggel.
b) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20. Adjunk becslést a $P(X<80)$ valószínűségre a Markov-egyenlőtlenséggel.
a) Egy csavargyárban 10 cm hosszú csavarokat gyártanak, 2 mm szórással. Egy csavar selejtes, ha a hossza 9,5 cm-nél kisebb vagy 10,5 cm-nél nagyobb. Adjunk becslést a selejtarányra.
b) Egy mozi előadásainak átlagos nézőszáma 120 fő, a szórás 16. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy előadáson a nézők száma 100 és 140 közé esik.
c) Az $X$ valószínűsége változó várható értéke 20, szórása 4. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy $X$ 15 és 28 közé esik.
d) Egy üzletben óránként átlag 80-an vásárolnak, a szórás 10. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy adott órában a vevőszám 60 és 90 közé esik.
e) Egy üzletben óránként átlag 12-en vásárolnak. A vásárlók száma Poisson-eloszlású. Adjunk becslést annak valószínűségére, hogy egy 3 órás időtartamban a vevőszám 25 és 45 közé esik.
a) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 20, annak valószínűsége, hogy $X$ 15 és 25 közé esik a Csebisev-egyenlőtlenség alapján legalább 0,96. Legfeljebb mekkora valószínűséggel esik $X$ a várhatótól legalább 4-nél távolabb?
b) Az $X$ valószínűségi változó várható értéke 40, annak valószínűsége, hogy $X$ a várható értéktől legalább 6-tal eltér legfeljebb 0,25. Legalább mekkora valószínűséggel esik $X$ 30 és 52 közé?
Elmeséljük mi az a Markov egyenlőtlenség és hogy mire is jó valójában. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Markov egyenlőtlenség, Valószínűségi változó, Várható érték, Valószínűségek becslése, Alsó becslés, Felső becslés. Azt is elmeséljük mi az a Csebisev egyenlőtlenség és hogy mire is jó valójában. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Csebisev egyenlőtlenség, Valószínűségi változó, Várható érték, Szórás, Valószínűségek becslése. Végül pedig elmeséljük mi az a Nagy számok törvénye és nézünk rá rengeteg példát. Mindezt egyszerűen és szuper-érthetően. Nagy Számok Törvénye, Relatív gyakoriság, Elméleti valószínűség, Sztochasztikus konvergencia, Bernoulli-féle képlet, A Nagy számok törvényének kétféle alakja.
