Már az ősi vikingek jelszava is az volt, hogy a legnagyobb kincs a fluxus.

A vikingek egyenesen imádták a fluxust, ez tette lehetővé ugyanis, hogy kedvükre hajókázzanak.

A fluxus azt mondja meg, hogy egy adott felületen mekkora az átáramló anyag vagy energia.

Ez a vikingek esetében a szél volt.

A legtapasztaltabb viking hajósok pedig tudtak még egy fontos dolgot.

A fluxus attól is függ, hogy mekkora szöget zár be a felület az áramlás irányával.

Minél kisebb ez a szög, a fluxus annál kisebb.

A nagyon kis fluxus pedig rossz hatással van a hajó sebességére.

A fluxust a vektormező vektorainak és a felület normálvektorainak skaláris szorzata adja.

Ha ezek egymásra merőlegesek, akkor a fluxus nulla.

És minél inkább párhuzamosak egymással…

a fluxus annál nagyobb.

De van itt még egy dolog.

Ez a felület most jobb kéz felé van irányítva.

Ha a felület irányítását megváltoztatjuk…

akkor a fluxus a mínuszegyszeresére változik.

Ez azt jelenti, hogy amikor fluxust számolunk, mindig tudnunk kell, hogy merre irányítjuk a felületet.

Mindezt már az ősi vikingek is tudták és a következő bölcs mondásban foglalták össze:

Ha szemből fúj a szél, akkor a hajó hátrafelé megy.

Most pedig itt az ideje, hogy megnézzük, hogyan kell mindezt kiszámolni.

A fluxust a vektormező vektorainak és a felület normálvektorainak skaláris szorzata adja.

Ezt az egész felületre összesíthetjük egy remek kis integrálással.

És így kapjuk meg a vektormező felületi integrálját.

Nézzük meg, hogy mekkora lesz a fluxus a vikingeknél.

A szél a vektormező minden pontjában egyenletesen fúj.

Na, a felület leírása már izgalmasabb lesz.

Legyenek, mondjuk ezek a pontok a vitorla sarkai:

És nézzük meg a felület paraméterezését.

Az x koordináta végig ugyanannyi.

Az y koordináta -4 és 4 között mozog.

Kell ide egy u.

A z koordináta pedig 1 és 9 között van.

És most lássuk az integrálást.

A felület x, y és z koordinátáit behelyettesítjük a vektormezőbe.

A felület normálvektorát pedig egy vektoriális szorzattal kapjuk:

A vektoriális szorzat egyik szereplője ez.

A paraméteres felület t szerinti derivált-vektora.

A másik szereplő pedig az u szerinti derivált-vektor.

Talán még emlékszünk rá, hogyan kell két vektor vektoriális szorzatát kiszámolni.

Bár az ember könnyen felejt…

Főleg akkor, ha egy ilyen képletről van szó.

Ha kifejtjük a determinánst az első sora szerint…

Meg is van a vektoriális szorzat.

Itt jön a v(x,y,z) vektormező, amibe a felület koordinátafüggvényeit kell helyettesíteni.

Ez most azért nem látszik, mert a vektormező mindhárom koordinátafüggvénye konstans.

Vagyis nincs benne x, y és z és így most nincs hova helyettesíteni.

Végül már csak a skaláris szorzás van hátra…

Az eredmény azért lett pozitív, mert a vitorla normálvektora a szél irányával megegyező volt.

Ha a normálvektor az ellenkező irányba mutatna, akkor nem 320, hanem -320 lenne az eredmény.

Ami végülis érthető is, hiszen akkor a szél iránya éppen ellentétes lenne a felület irányításával.

Hát, ennyit a hajókázásról.

A v(x,y,z) vektormezőnek az S felületi integrálja

Most pedig lássunk néhány nagyon izgalmas példát.

Integráljuk ezt a vektormezőt az r(t) görbén.

Most tehát nem felületi integrált fogunk számolni, hanem görbementi integrált.

Mégpedig ezen a remek háromdimenziós görbén.

Mondjuk a képletünk csak kétdimenziós görbékről szól.

Úgyhogy itt még lesznek gondok…