12
Euklideszi norma
A szokásos távolságképletet euklideszi-normának nevezzük.
\( d = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 } \)
Vektor normája
A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása.
A norma úgy működik, hogy minden vektorhoz hozzárendel egy valós számot. Az $\underline{x}$ vektor normájának a jele $ || \underline{x} ||$ és ezt a három dolgot kell tudnia:
Bármely $\underline{x}$ vektorra $ || \underline{x} || \geq 0$
Bármely $\underline{x}$ vektorra $ || c \cdot \underline{x} || = | c | \cdot || \underline{x} || $
Bármely $\underline{x}$ és $\underline{y}$ vektorra $ || \underline{x} + \underline{y} || \leq || \underline{x} || + || \underline{y} || $
Vektor p-normája
Egy vektor p-normája ez:
\( || \underline{x} ||_p = \left( | x_1 |^p + |x_2 |^p \right) ^{\frac{1}{p}} \qquad p \geq 1 \)
Hogyha $p$ éppen egy, akkor az 1-es normát kapjuk: $ || \underline{x} ||_1 = | x_1 | + | x_2 | $
Ha $p$ értéke kettő, akkor az euklideszi-normát: $ || \underline{x} ||_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 } $
Végül eljutunk az úgynevezett végtelen normáig: $ || \underline{x} ||_{\infty} = \max{ \left( | x_1 | , | x_2 | \right)} $
Mátrixok normája
A norma nem más, mint a vektorok szokásos hosszának általánosítása és ezt mátrixokra is alkalmazhatjuk a következőképpen.
Oszlopnorma: $ || A ||_1 = \max_j{\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|} $
Spektrálnorma: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $
Sornorma: $ || A ||_{\infty} = \max_i{\sum_{j=1}^{k} | a_{ij} |} $
Frobenius-norma: $ || A ||_F = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^k a^2_{ij} } $
Spektrálnorma
A spektrálnorma egy mátrixnorma.
Így kell kiszámítani: $ || A ||_2 = \sqrt{ \rho \left(A^T \cdot A \right)} $
Itt a $\rho$ azt jelenti, hogy ki kell számolni a spektrálsugarat, amihez a $B=A \cdot A^T$ mátrix sajátértékein vezet az út.
Egy mátrix spektrálsugara a sajátértékek abszolútértékei közül a legnagyobb.
Van itt ez a vektor:
\( \underline{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
És számoljuk ki az 1-es, a 2-es, a 3-as és a végtelen normáját.
Számoljuk ki az alábbi mátrix 1-es, 2-es, 3-as és végtelen normáját.
\( A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \)