13

Itt az ideje rendet tenni egy kicsit…
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
Bob tehát nem tekinthető síkidomnak, mert kiállnak belőle ezek a vonalak.

Az összes többi viszont síkidom.

A síkidomok közül most csak azokkal foglalkozunk, amikben nincsenek belül lukak.

A luk nélküli síkidomokat egyszerű síkidomoknak nevezzük.

Hogyha megszüntetjük itt a lukakat…
Hopp, akkor már ezek is egyszerű síkidomok lesznek.

Mivel csak egyszerű síkidomokkal foglalkozunk, hívjuk őket simán síkidomnak.

A síkidomok között vannak olyanok, ahol a határoló vonalak csak egyenes szakaszokból állnak.

Ezeket hívjuk sokszögeknek.

Vagyis mindegyik sokszög síkidom.

És itt jön még egy dolog…

Ez itt egy vár, felülről nézve.
Ami végülis szintén egy síkidom.
Ráadásul egy sokszög.

A várakat egy nagyon ravasz trükkel építették meg…
Amikor jön az ostromló tömeg…
És odaérnek a várfal tövébe…

A vár védői, a vár belsejéből is rálátnak a várfalra.
És így a várból tudják támadni az ostromlókat.

A dolog lényege ez.

Tudunk találni olyan pontokat, amik a váron belül vannak, de ha összekötjük őket, az összekötő szakasz mégis a váron kívül halad.

Egy háromszögben ez lehetetlen volna.

Ezért nem építenek háromszög alaprajzú várakat.

A vár-típusú sokszögeket konkáv sokszögeknek nevezzük.
A másik pedig a konvex.

Remek, újabb definíciók, ahol lehetetlen megjegyezni, hogy melyik az egyik és melyik a másik…

De csak mostanáig.

Itt jön ugyanis egy trükk.

Mindez nem csak sokszögekre, hanem bármilyen síkidomra is működik.

A konvex és konkáv szemléltetésére van egy unalomig ismert példa.

Várak nélkül…

A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni…

A konvex pedig, amiben nem lehet elbújni.

De hát miért akarna bárki is egy síkidomban elbújni?

És azon kívül, hogy ennek az elbújásnak semmi értelme, még simán összekeverhetjük, hogy most akkor a konkáv vagy a konvex az elbújós…

Úgyhogy maradjunk inkább a váraknál.

Most pedig folytassuk a sokszögekkel…
 

A sokszögeknél tartottunk…
És addig jutottunk, hogy vannak köztük konvexek és konkávok.

Most pedig nézzük meg, hogy mit tudnak még a sokszögek…

Vannak csúcsaik…
Oldalaik…
És szögeik.

Ráadásul mindegyikből ugyanannyi.

Ez itt például egy hatszög.
Vagyis hat darab csúcsa van, hat darab oldala és hat darab szöge.

Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.

Ez például egy szabályos hatszög.
Mint ahogyan ez is hatszög…

Csak éppen ez a másik hatszög nem szabályos.

Ennek is minden oldala egyforma hosszú…
De a szögei, azok nem ugyanakkorák.

Aztán itt van egy szabályos ötszög.

Ez egy szabályos négyszög…
Amit úgy hívunk, hogy négyzet.

És ez itt egy szabályos háromszög.

Végül nézzük meg, hogy mi történik akkor, ha egy sokszögnek kiválasztjuk két csúcsát…
És összekötjük őket.

Olyankor, amikor szomszédos csúcsokat választunk…
A sokszögnek az egyik oldalát kapjuk.

Amikor viszont a csúcsok nem szomszédosak…
Az így kapott szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.

A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlónak nevezzük.

Egy háromszögben minden csúcs szomszédos egymással…
Úgyhogy a háromszögeknek nincsenek átlóik.

A négyszögeknek két darab átlójuk van.

A többi sokszögnek pedig…
Hát, azoknak már jó sok.

És most elérkezett az idő, hogy egy kicsit jobban megismerjük a háromszögeket.

És most nézzük, mit tudnak a háromszögek.

Vannak hegyes-szögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge hegyes-szög.

És vannak tompaszögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge tompaszög.

Ja, nem.

A tompaszögű háromszögeknek csak az egyik szöge lehet tompaszög.

Hogyha ugyanis két tompaszögük is lenne…
Hát igen, így már nem kapnánk háromszöget…

Van még egy harmadik kategória is…
Ezek a derékszögű háromszögek.

Ezt jó tudni, írjuk is föl magunknak valahova ide.

És így szépen megjelent egymás mellett a háromszög mindhárom belső szöge.

Vannak aztán a háromszögnek külső szögei is.

A B csúcsnál a külső szög…
Hát, az nem ez…

A B csúcsnál a külső szög az ez.
De lehet ez is.

A külső szögek tehát ilyen kiegészítő szögek.
És bármely háromszögben a külső szögek összege 360o.

Ezt is felírhatnánk ide…
De inkább mégse.

A háromszögek belső szögeinek az összege ugyanis mindig 180 fok.
Így hát nem lehet benne két olyan szög, ami 90 foknál nagyobb.

Most pedig essünk túl néhány dögunalmas formaságon.

A háromszögek csúcsait az ABC nagy betűivel jelöljük.

És a szögeket pedig görög betűkkel jelöljük.

Hogyha veszünk most még egy ugyanilyen háromszöget…
És így szépen egymás mellé rakjuk őket…

Akkor ez a szög itt éppen 180o.

Ezek a szögek pedig váltószögek…
Tehát egyforma nagyok.

Vagyis bármely háromszög belső szögeinek összege éppen 180o.

A belső szögek összege mindig 180 fok.

És van itt még valami…

A háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

Csak így tudunk belőlük háromszöget építeni.

Hogyha a c oldal hosszabb lenne, mint az a és b oldal összege…

Bárhogyan is próbálkozunk…
Nem lesz belőle háromszög.

Ezt a nem túl bonyolult dolgot hívjuk háromszög-egyenlőtlenségnek.

HÁROMSZÖGEK
Háromszög-egyenlőtlenség

Minden háromszögben bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
 

Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek hívják.

A háromszögek egyik speciális típusa az egyenlő szárú háromszögek.

Az egyenlő szárú háromszögek úgy működnek, hogy van két ugyanakkora oldaluk…
Ezeket hívjuk száraknak.

És van még egy harmadik oldal, amit alapnak nevezünk.
.

Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak.

Vagyis az alapon fekvő szögek egyformák.

A szárak által bezárt szöget pedig a szimmetriatengely felezi.

Az alapot a-val szoktuk jelölni…
A szárakat pedig b-vel.

Az a oldallal szemben van az A csúcs…
És az A csúcsnál van az a szög.
A szárakat b-vel jelöljük.
És ezek béta szöget zárnak be az alappal.

 
Hogyha az egyenlő szárú háromszögben az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
Akkor szabályos háromszöget kapunk.
A szabályos háromszögnek minden oldala ugyanakkora.

És minden szöge is ugyanakkora.

Mivel pedig a háromszögek belső szögeinek összege 180 fok…
 

Végül itt jön még egy speciális háromszögfajta…
A derékszögű háromszög.

A derékszögű háromszögnek azt az oldalát, ami a derékszöggel szemben van, átfogónak hívjuk.

átfogó

A másik két oldal pedig, amik befogják a derékszögű csúcsot…
Azok a befogók.

befogó

És még egy dolog…
A derékszöget lehet jelölni így is…
Meg így is.

A csúcsokat úgy szoktuk a derékszögű háromszögekben elnevezni, hogy mindig a C csúcsnál legyen a derékszög.

És a vele szemben lévő oldalt vagyis az átfogót hívjuk c-nek.

A másik két csúcs A és B…
És velük szemben van az a és b oldal, amik mindketten befogók.

Kezdetnek ennyit a háromszögekről.

Egy téglalap területét kiszámolni őrülten egyszerű.
Csak összeszorozzuk a két oldalát, és kész is.
 
A dolog akkor válik egy kicsit érdekesebbé…
Ha a téglalapot egy kicsit oldalba lökjük.
Ezt úgy hívjuk, hogy paralelogramma.
A paralelogramma területét egy trükk segítségével tudjuk kiszámolni.
Átdaraboljuk téglalappá.
Ezt a vonalat itt a paralelogramma magasságának nevezzük.
Legalábbis az a oldalhoz tartozó magasságnak.
Mert tartozik magasság a b oldalhoz is.
De most maradjunk inkább az a oldalnál.
Hogyha veszünk egy ollót, és a magasságvonalnál szétvágjuk a paralelogrammát…
És aztán a levágott darabot átrakjuk ide…
Hopp, akkor éppen egy téglalapot kapunk.
Aminek az egyik oldala a a másik pedig ma.
És így a területe…

Most nagyon óvatosan visszatesszük ezt a kis háromszöget…
És meg is van a paralelogramma területe.
Ezt gyorsan írjuk is föl magunknak ide.

elrontjuk.

       
A trapézoknál tartottunk…

A teljesen általános négyszögekkel nem igazán tudunk mit kezdeni…
Általában ilyenkor azt csináljuk, hogy az egyik átlója mentén kettévágjuk két darab háromszögre. 
És a háromszögekre már egy tonna területképletünk meg mindenféle egyéb képletünk van.
Így hát most csak a speciális négyszögekkel fogunk foglalkozni.

A speciális négyszögek két nagy osztályba sorolhatók.
Az egyik csoport a trapézok, a másik pedig a deltoidok.

Most a trapézokkal fogunk foglalkozni.
Jönnek is a trapézok...
 
Trapézok

A trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala.

Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.

És most lássuk a trapéz szögeit.

A trapéz szárain fekvő szögek tehát mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora, olyankor a trapéz szimmetrikus.

A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.

Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van köré írható köre.

Íme, ez egy négyszög.

A csúcsokat az abc nagy betűivel jelöljük, az oldalakat pedig…

Az oldalakat az abc kis betűivel jobb sodrással.

És a négyszögek rendelkeznek valami olyannal, amiről a háromszögek még csak nem is álmodhatnak…

Vannak átlóik.

Most pedig nézzük, hogy milyen típusú négyszögek vannak.

A legszabályosabb négyszög a négyzet.

Az oldalai egyenlő hosszúak, a csúcsaik derékszögek.

És az átlóik is merőlegesek egymásra.

A négyzetet kétféleképpen tudjuk elrontani.

Vagy az oldalait rontjuk el…

vagy a szögeit.

Az egyiket téglalapnak hívjuk, itt csúcsoknál lévő szögek továbbra is derékszögek, csak éppen az oldalaknak nem kell egyforma hosszúnak lennie.

TÉGLALAP

A másiknak a neve rombusz. Itt az oldalak továbbra is mind egyforma hosszúak, csak éppen a csúcsoknál nem kell derékszögnek lenni.

ROMBUSZ

De a téglalap és a rombusz hivatalos definíciója nem ez.

A helyzet egy kicsit izgalmasabb.

Ez itt mind téglalap…

Ez pedig itt mind rombusz.

Tehát a négyzet is téglalap.

Sőt a négyzet rombusz is.

Most már egy kicsit kezd zavarossá válni a helyzet, de aggodalomra semmi ok.

Mindjárt kitisztul.

Csak előbb itt jön még egy dolog.

Amiben a téglalap és a rombusz minden rossz tulajdonságát egyesítjük.

És íme, itt is van.

Ez egy oldalba lökött téglalap.

Vagy hivatalos nevén paralelogramma.

Rossz hír: újabb osztály…

 És kiderül, hogy tulajdonképpen itt eddig mindenki paralelogramma.

A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.

Egy darab oldalpár…

és még egy.

A téglalap nem más, mint derékszögű paralelogramma.

A rombusz pedig egyenlő oldalú paralelogramma.

De van ám itt még más is.

Jönnek a trapézok.

A trapéz egy olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

Persze ettől még lehet neki több is…

Na, csináljunk egy kis helyet a trapézoknak is.

Úgy néz ki, hogy eddig itt mindenki trapéz.

De még mindig van újabb típus…

Ehhez most az átlókat kell nézni.

Mégpedig azt, hogy merőlegesek-e vagy sem.

A merőleges átlójúak közül azokat nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány-alakúak.

Ez deltoid…

Ez nem deltoid.

És végül vannak azok a négyszögek, amiknek nincsen semmilyen különösebb ismertetőjele.

Ez tehát a teljes kollekció.

A két nagy csoport a trapézok és a deltoidok csoportja.

Deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.

Trapéz pedig az, amelynek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

A trapézok közül azokat, akiknek két párhuzamos oldalpárja is van paralelogrammának nevezzük.

Az egyenlő oldalú paralelogrammák a rombuszok.

A derékszögű paralelogrammák pedig a téglalapok.

Van azonban egy olyan dolog, amely minden négyszögben egyforma.

Hogyha összeadjuk a négyszögek belső szögeit…

akkor mindig 360 fokot kapunk.

És most lássuk, mi a helyzet a négyszögek területével.

A többi négyszög területét általában úgy lehet csak kiszámolni, hogy földaraboljuk őket háromszögekre…

A háromszögek területével pedig már valahogyan el tudunk bánni.