- 15SZERK
- 16SZÖV
- 17 SZAZ
- 18HATV
- 19TER
- 20TT
- 21TERG
- 22szamok
- 23szog
- 24betus
- Halmazok és gráfok
- Egyenletrendszerek, másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Abszolútértékes egyenletek
- Exponenciális egyenletek
- Logaritmikus egyenletek
- Gyökös egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek
- Számtani és mértani sorozatok
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Koordinátageometria
- 12
- 13
- 14
14
Forgáskúp
A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.
A kúp felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot m}{3} \)
ahol $m$ a kúp magassága.
Gúla
Vegyünk egy síkbeli sokszöget és a sík felett egy pontot. Ha a pontot összekötjük a síkbeli alakzat csúcsaival, akkor egy térbeli alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
A gúla felszíne:
\( A = T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=\frac{T\cdot m}{3} \)
ahol $m$ a gúla magassága.
Hasáb
A hasáb egy olyan test, amelynek két párhuzamos lapja egymással egybevágó sokszög, a többi lapja pedig paralelogramma.
A hasábok felszíne:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V=T\cdot m \)
ahol $m$ a hasáb magassága.
Kocka felszíne
Kocka felszíne:
\( A = 6a^2 \)
ahol $a$ a kocka élének hossza.
Kocka térfogata
A kocka térfogata:
\( V=a^3 \)
ahol $a$ az oldalélének hosszát jelenti.
Hasábok felszíne
Hasábok felszínéta következőképp számolhatjuk ki:
\( A = 2T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap (vagy fedőlap) területe, a palást területe pedig az oldallapok területeinek összege.
Hasábok térfogata
Hasábok térfogatát a következőképp számolhatjuk ki:
\( V=T\cdot m \)
ahol $m$ a hasáb magassága, $T$ pedig az alaplap területe.
Henger
A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.
A hengerek felszíne:
\( A = 2r^2 \pi+ 2r \pi \cdot m \)
Térfogata:
\( V=r^2 \pi \cdot m \)
ahol $m$ a henger magassága, $r$ az alapkörének sugara.
Henger felszíne
\( A = 2r^2\pi + 2r\pi \cdot m \)
ahol $r$ az alapkör sugara, $m$ a henger magassága.
Henger térfogata
\( V=r^2\pi \cdot m \)
ahol $m$ a henger magassága, $r$ az alapkörének sugara.
Gúla (négyzet alapú) felszíne
Négyzetalapú gúla felszíne könnyebben kiszámolható így:
\( A = a^2 + 2 \cdot \sqrt{m^2 + \frac{a^2}{4}} \cdot a \)
ahol $a$ a gúla alapélének hossza, $m$ a gúla magassága.
Gúla (négyzet alapú) terfogata
Négyzetalapú gúla térfogata könnyebben kiszámolható így:
\( V = \frac{a^2 \cdot m}{3} \)
ahol $a$ a gúla alapélének hossza, $m$ a gúla magassága.
Gúlák felszíne
\( A = T + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap területe
Gúlák térfogata
Gúlák térfogatát a következőképp számolhatjuk ki:
\( V=\frac{T\cdot m}{3} \)
ahol $m$ a gúla magassága, $T$ pedig az alaplap területe.
Kúp felszíne
\( A = r^2\pi + a \cdot r \cdot \pi \)
ahol $r$ az alapkör sugara, $a$ az alkotó.
Továbbá $a^2=r^2+m^2$
Kúp térfogata
\( V=\frac{r^2 \pi \cdot m}{3} \)
ahol $r$ az alapkör sugara, $m$ a kúp magassága.
Főkör
Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.
Gömb
A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.
A gömb felszíne:
\( A = 4 r^2 \pi \)
Térfogata pedig:
\( V=\frac{4r^3 \pi}{3} \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Gömb átmérője
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk
Az átmérő jele $d$, és mindig sugár kétszerese.
Gömb felszíne
A gömb felszíne:
\( A = 4 r^2 \pi \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Gömb sugara
Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.
A sugarat $r$-el jelöljük.
Gömb térfogata
A gömb térfogata:
\( V=\frac{4r^3 \pi}{3} \)
ahol $r$ a gömb sugara.
Csonkagúla
Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.
A csonkagúla felszíne:
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot m}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $m$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla (négyzet alapú) felszíne
A csonkagúla felszíne könnyebben kiszámolható, ha négyzetalapú:
\( A=a^2+b^2+2\cdot (a+b) \cdot h \)
ahol $a$ az alaplap oldalélének, $b$ a fedőlap oldalélének hossza, $h$ pedig az oldallap (trapéz) magassága.
Csonkagúla (négyzet alapú) térfogata
A négyzet alapú csonkagúla térfogata egyszerűbben is kiszámolható így:
\( V=\frac{\left(a^2+a\cdot b + b^2\right) \cdot m}{3} \)
Ahol $a$ az alaplap oldalélének, $b$ a fedőlap oldalének hossza, $m$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkagúla felszíne
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, a palást területe pedig az oldallapok területeinek összege.
Csonkagúla térfogata
\( V = \frac{ \left( T + \sqrt{T \cdot t} + t \right) \cdot m}{3} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ a fedőlap területe, $m$ pedig a csonkagúla magassága.
Csonkakúp
Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.
A csonkakúp felszíne:
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
Térfogata:
\( V = \frac{ \left( R^2\pi + R\cdot r \cdot \pi + r^2\pi \right) \cdot m}{3} \)
ahol $R$ az alapkör, $r$ a fedőkör sugara, $m$ pedig a csonkakúp magassága.
Csonkakúp felszíne
\( A = T+t + \text{palást területe} \)
ahol $T$ az alaplap, $t$ pedig a fedőlap területe, a palást területe pedig az oldallapok területeinek összege.
Csonkakúp térfogata
\( V = \frac{ \left( R^2\pi + R\cdot r \cdot \pi + r^2\pi \right) \cdot m}{3} \)
ahol $R$ az alapkör, $r$ a fedőkör sugara, $m$ pedig a csonkakúp magassága.
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Hogyha átpakolnánk a piramist egy kockába, akkor milyen magas lenne a kocka?
a) Van egy 2 literes üdítős palack, ami 32 cm magas. Az 1 literes változat ugyanolyan alakú, csak arányosan kisebb palackban van. Milyen magas ez a palack?
b) Egy $a$ élhosszúságú kocka felszíne $253,5 cm^2$. Mekkora a felszíne egy $2a$ élhosszúságú kockának?
Háromféle hasáb alakú gyertyát készítünk: négyzet alapút, kör alapút és szabályos háromszög alapút. A maximális szélessége mindegyiknek 8 centi, a magasságuk pedig 20 centi.
a) Melyik típushoz kell a legkevesebb viaszt fölhasználni?
b) Számoljuk ki a felszínüket is.
Háromféle gúla alakú gyertyát készítünk: négyzet alapút, kör alapút és szabályos háromszög alapút. A maximális szélessége mindegyiknek 8 centi, a magasságuk pedig 20 centi.
a) Melyik típushoz kell a legkevesebb viaszt fölhasználni?
b) Számoljuk ki a felszínüket is.
a) A Föld sugara 6378 km, a Mars sugara pedig 3397 km. Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
b) Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként $44 m^2$-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
c) Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne $cm^2$-ben megadva?
Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 20 cm fedőéle 8 cm, magassága 12 cm. Egy csonkakúp alapkörének átmérője 26 cm, a fedőkörének átmérője 16 cm és a magassága 12 cm. Számoljuk ki a térfogatukat és felszínüket!
Egy 95 méter magas rakéta két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
A nagyobbik henger magassága 65 méter, átmérője 8 méter. Erre illeszkedik a csonkakúp, amely 12 méter magas, majd felette található a másik henger, melynek magassága 13 méter és átmérője 6 méter. Végül a rakéta csúcsa egy 5 méter magas kúp.
Számoljuk ki a térfogatát és a felszínét.
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú. Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis felülete és milyen meredek az oldala.
a) $4 m =$ ____ $dm =$ ____ $cm =$ ____ $mm =$ ____ $km$
b) $5 l =$ ____ $dl =$ ____ $cl=$ ____ $ml=$ ____ $hl$
c) $36 dkg =$ ____ $g =$ ____ $kg =$ ____ $t $
a) $2 m^3 =$ ____ $dm^3 =$ ____ $cm^3 $
b) $8 cm^2 =$ ____ $dm^2 =$ ____ $m^2 =$ ____ $mm^2 $
c) $5,4 dm^2 =$ ____ $cm^2 =$ ____ $m^2 $
d) $3,6 m^3 =$ ____ $dm^3 =$ ____ $cm^3 =$ ____ $mm^3 $
e) $2,5 m^3 =$ ____ $ l $
a) Egy aranyrúd 25 cm hosszú, 5 cm magas, és alul 10 cm, felül pedig 7 cm széles. Hány kilós ez az aranyrúd, ha az arany sűrűsége 19,32g/cm3?
b) 20 kg gyertyaviaszból hány darab 12 cm magas négyzet alapú gúla alakú gyertya készíthető, ha a gúla alapéle 10 centiméter? A gyertyaviasz sűrűsége 0,9 g/cm3.
c) Egy mérőedényben 2,5 deciméter magasan áll a víz. Az edény henger alakú és 18 centiméter átmérőjű. Hány centiméter magasan fog állni a víz az edényben, ha beledobunk egy 4 kilós vasgolyót? A vas sűrűsége 7,874 g/cm3.
d) Egy gép 20 cm átmérőjű műanyag labdákat gyárt. 1 kg műanyag 1,4 négyzetméternyi labdafelületre elég. Hány darab labda készíthető 3,6 kg műanyagból?
Egy kocka élének hossza \( a=12 \) cm. Az ábrán látható módon berajzoljuk 3 lapátlóját és az így keletkező tetraédert levágjuk a kockából. Mekkora az így megmaradt test térfogata és felszíne?
a) Egy négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 10 cm, fedőéle 6 cm, magassága 14 cm. Mekkora a térfogata és felszíne?
b) Egy 20 cm magas virágtartó edény alja 16 cm átmérőjű körlap. Az edény csonkakúp alakú, a tetején a fedőkör sugara 14 cm. Hány liter föld fér az edénybe, ha teljesen megtöltjük? Mekkora az edény külső felülete?
Itt vannak ezek a szokásos testek...
Hogyha egy vízszintes síkkal levágjuk a tetejüket...
A hasábokkal olyan túl sok dolog nem történik.
Egy kicsit alacsonyabbak lesznek.
A gúlákat és a kúpokat viszont jobban megviseli a dolog.
Az így keletkező testeket a csonkagúlának és csonkakúpnak nevezzük.
Most pedig lássuk a felszínüket és a térfogatukat.
Az alaplap területét T-vel, a fedőlap területét pedig t-vel jelöljük.
A felszínt úgy kapjuk meg, hogy ezeket összeadjuk, és még hozzáadjuk a palást területét.
Éppen itt is van egy csonkagúla és egy csonkakúp…
Számoljuk ki a térfogatukat és a felszínüket.
A négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 20 cm fedőéle 8 cm, magassága 12 cm.
A csonkakúp alapkörének átmérője 26 cm a fedőkör átmérője 16 cm és a magassága 12 cm.
Számoljuk ki a térfogatukat és a felszínüket.
Kezdjük a térfogattal.
csonkagúla alapéle
És most jöhet a felszín.
A csonkagúla felszínét úgy kapjuk meg, hogy vesszük az alaplapot, meg a fedőlapot…
És hozzáadjuk a palást területét.
Ami négy darab trapézból áll.
Éppen itt is van az egyik.
A trapéz alapjai a és b…
A trapéz területe pedig…
De sajnos van itt egy kis gond…
Az eredeti csonkagúla magasságát jelöltük m-mel.
A trapéz magassága pedig nem ugyanakkora, mint a csonkagúla magassága.
Jelöljük a trapéz magasságát, mondjuk h-val.
át így kénytelenek vagyunk egy másik betűvel jelölni.
És most nézzük, mekkora egy ilyen trapéz magassága…
Egy Pitagorasz-tétel fog tudni nekünk ebben segíteni.
Végül nézzük a csonkakúp felszínét is…
Vesszük az alaplapot meg a fedőlapot…
És még hozzáadjuk a palást területét.
A csonkagúlák palástjának területére szerencsére van egy remek kis képlet:
Itt ez a bizonyos a a csonkakúp alkotója.
Lássuk, mekkora vajon ez az alkotó…
Ebben ismét Pitagorasz fog tudni nekünk segíteni…
Két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
Számoljuk ki a térfogatát és felszínét.
Egy 95 méter magas rakéta két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
A nagyobbik henger magassága 65 méter, átmérője 8 méter. Erre illeszkedik a csonkakúp, amely 12 méter magas, majd felette található a másik henger, melynek magassága 13 méter és átmérője 6 méter. A rakéta csúcsa egy 5 méter magas kúp.
Számoljuk ki a térfogatát és a felszínét.
De van még itt egy kis gubanc…
Ezek ugyanis egymáson vannak…
A henger teteje és a csonkakúp alja tehát a rakéta belsejében van.
A rakéta felszínébe ezeket nem számoljuk bele.
Ezek szerint a henger felül nyitott, és a felszíne pedig…
És most jöhet a csonkakúp.
És ennek az alaplapja meg a fedőlapja sem fog kelleni.
A csonkakúp alapkörének sugara ugyanakkora, mint az alatta lévő hengeré…
A fedőkörének sugara pedig akkora, mint a felette lévő hengeré.
És most lássuk a csonkakúp felszínét.
Az alaplap és a fedőlap most nem kell…
Mert alulról az egyik henger csatlakozik a kúphoz, felülről pedig a másik.
Így aztán elég csak a csonkakúp palástjának a területét kiszámolni.
Itt az a a csonkakúp alkotója.
Itt jön aztán a másik henger…
A felszínnél itt sem kell az alaplap és a fedőlap…
És végül jön még ez a kúp.
A kúp alapkörének a sugara ugyanúgy 3 méter, mint az előbb a hengeré.
És a kúp alaplapja ugyanúgy nem fog kelleni a felszínhez.
Egy 95 méter magas rakéta két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
A nagyobbik henger magassága 65 méter, átmérője 8 méter. Erre illeszkedik a csonkakúp, amely 12 méter magas, majd felette található a másik henger, melynek magassága 13 méter és átmérője 6 méter. A rakéta csúcsa egy 5 méter magas kúp.
Számoljuk ki a térfogatát és a felszínét.
De van még itt egy kis gubanc…
Ezek ugyanis egymáson vannak…
A henger teteje és a csonkakúp alja tehát a rakéta belsejében van.
A rakéta felszínébe ezeket nem számoljuk bele.
Ezek szerint a henger felül nyitott, és a felszíne pedig…
És most jöhet a csonkakúp.
És ennek az alaplapja meg a fedőlapja sem fog kelleni.
A csonkakúp alapkörének sugara ugyanakkora, mint az alatta lévő hengeré…
A fedőkörének sugara pedig akkora, mint a felette lévő hengeré.
És most lássuk a csonkakúp felszínét.
Az alaplap és a fedőlap most nem kell…
Mert alulról az egyik henger csatlakozik a kúphoz, felülről pedig a másik.
Így aztán elég csak a csonkakúp palástjának a területét kiszámolni.
Itt az a a csonkakúp alkotója.
Itt jön aztán a másik henger…
A felszínnél itt sem kell az alaplap és a fedőlap…
És végül jön még ez a kúp.
A kúp alapkörének a sugara ugyanúgy 3 méter, mint az előbb a hengeré.
És a kúp alaplapja ugyanúgy nem fog kelleni a felszínhez.
Van itt egy sík ezzel a háromszöggel,
és a sík felett egy pont.
Ha a pontot összekötjük a háromszögek csúcsaival, akkor egy térbeli
alakzatot kapunk, amit úgy hívunk, hogy gúla.
Az eredeti háromszöget a gúla alapjának nevezzük,
a gúla többi oldalát pedig oldallapnak.
A dolog nem csak háromszöggel működik…
A gúlákat aszerint nevezzük el, hogy hány oldala van az alapnak.
háromoldalú gúla
négyoldalú gúla
ötoldalú gúla
Amikor az alap egy kör, nos olyankor más elnevezés van forgalomban.
forgáskúp
gúla forgáskúp
Az eredeti síkbeli alakzatokból máshogyan is tudunk térbeli alakzatokat csinálni.
Ezeket úgy hívjuk, hogy hasáb.
hasáb
Persze a legutolsó megint különcködik.
henger
Van ferde hasáb is.
A ferdeség attól függ, hogy ezek az összekötővonalak mekkora
szöget zárnak be az alap síkjával.
Az összekötővonalakat alkotónak hívjuk.
Ami azt illeti jobban szeretjük az egyenes hasábokat.
A gúla és a hasáb magasságát h-val jelöljük.
Az egyenes hasábnál ez megegyezik az oldallapok magasságával.
De a gúláknál sajna az oldallapok magassága általában nem ugyanakkora,
mint a gúla magassága.
Ilyenkor a kétféle magasság közti kapcsolat felírásához hipnotikus állapot
és derékszögű háromszögek hallucinálása szükséges.
És most nézzük meg, hogyan tudjuk kiszámolni ezeknek a testeknek a felszínét és a térfogatát.
Kezdjük a hasáb-típusúakkal.
Lássuk, miből áll a felszín.
Nos ebből:
A = T + T + palást területe
A = 2T + palást területe
És itt jön a térfogat:
A gúla és kép típusú testek felszíne és térfogata:
A = T + palást területe
Hasábok és hengerek
A = 2T + palást területe
Gúlák és kúpok
A = T + palást területe
Az egyiptomi Nagy Piramis 147 m magas és a piramis lábánál 232 m hosszú.
Számoljuk ki, hogy hány köbméter szikla kellett a felépítéséhez, mekkora a piramis
felülete és milyen meredek az oldala.
Kezdjük a térfogattal.
A felszín a piramis négy oldallapjából áll.
Az alja ugyanis nem látszik.
Nézzük, mekkora egy oldal területe.
A háromszög szokásos területképletét
használjuk:
Ilyen oldallapból van négy.
Tehát a felszín:
És most nézzük, milyen meredek a piramis oldala.
Az alaplap és az oldallap közötti szöget kell kiszámolnunk.
Ha szeretnénk fölmászni a piramis tetejére, akkor az
egyik oldaléle érdemes menni.
Az ugyanis kevésbé meredek.
Végül itt jön még egy dolog.
A három piramis közül a legkisebb a Menkaure-piramis.
A Nagy Piramis kétszer akkora, vagyis kétszer olyan magas és kétszer olyan hosszú.
Felépíteni azonban nem kétszer annyi ideig tart,
a benne lévő anyag ugyanis nem kétszer annyi, hanem sokkal több.
Azt, hogy pontosan hányszor annyi anyag van benne a következő kis trükkel
lehet megoldani.
Ha egy négyzetből szeretnénk egy kétszer akkora négyzetet csinálni…
akkor a nagy négyzethez 4 darab kis négyzetre van szükség.
Ha egy kockából szeretnénk kétszer akkora kockát építeni, akkor
8 darab kis kocka kell hozzá.
Egy alakzat területe négyzetesen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a területe γ2-szeresére változik.
Egy alakzat térfogata köbösen aránylik a méreteihez. Ha a méreteit γ-szeresére
változtatjuk, akkor a térfogata γ3-szeresére változik.
Visszatérve a piramisokhoz ez azt jelenti, hogy a 2-szer akkora
piramis térfogata 23-szor akkora.
Vagyis 8-szor akkora.
Háromféle hasáb alakú gyertyát készítünk. A maximális szélessége mindegyiknek 8 centi, a magasságuk 20 centi. A háromféle gyertya négyzet alapú, kör alapú és szabályos háromszög alapú. Melyik típushoz kell a legkevesebb viaszt fölhasználni?
Az élet egyik újabb fontos problémáját fogjuk megoldani...
Számoljuk ki mindhárom gyertya térfogatát.
A térfogat kiszámolásához két dolog kell.
Az alapterület és a magasság.
A magasságot már tudjuk.
A négyzet területét még lazán ki tudjuk számolni...
Aztán lássuk, mi van ezzel a körrel...
Végül itt jön a szabályos háromszög területe...
Az igazán profik tudják fejből is a képletét...
De ha épp nincs kedvünk megjegyezni fölösleges szabályokat...
Akkor itt van a jó öreg általános iskolás képlet.
A magasság pedig…
Hát igen, azt még ki kell számolni.
Egyenlő oldalú háromszögekben a magasság felezi az alapot.
Egy Pitagorasz-tétellel a magasság ki is jön.
És most jöhetnek a térfogatok.
Úgy néz ki, érdemes rámenni a háromszögletű gyertyák gyártására.
Egy négyzetes gyertyából több mint két háromszögletű is kijön.
Hogyha már ennyi időt töltöttünk ezekkel a gyertyákkal, számoljuk ki a felszínüket is.
Próbáljuk meg elképzelni, hogy fogunk egy ollót, és papírból kivágunk köröket, háromszögeket és téglalapokat, aztán összeragasztjuk belőle ezt a három térbeli alakzatot.
Ezeket hívjuk palástnak…
És van még itt az alaplap kétszer.
Így áll össze a felszín.
A felszín tehát úgy jön ki, hogy kétszer az alaplap területe…
Plusz a palást területe.
A palást mindhárom esetben egy téglalap.
A palást mindhárom esetben egy téglalap.
A téglalap egyik oldala a hasáb magassága. Ez most éppen 20 centi.
A másik oldal pedig éppen az alaplap kerülete.
A hengernél is ugyanez a helyzet. Vesszük az alapot kétszer…
Aztán jön a palást.
A téglalap egyik oldala a henger magassága. Ez még mindig 20 centi.
A másik oldal pedig az alaplap kerülete.
Ami most egy kör, tehát a kör kerülete fog kelleni.
Hopp, azt még ki kell számolni.
A gyertyáknál tartottunk.
És addig jutottunk, hogy a háromszögletű gyertyához fele annyi viasz is elég, mint a négyszögleteshez.
Ez úgy derült ki, hogy kiszámoltuk a térfogatukat.
És a háromszögletű gyertya térfogata feleakkora, mint a négyszögletűé.
De az igazi áttörést a gyertya-bizniszben a gúlák és a kúpok fogják elhozni nekünk.
Ezeknek a térfogata ugyanis…
Harmadannyi.
Most, hogy lelepleztük a nagy gyertya-konspirációt, számoljuk ki ezeknek a gyertyáknak a felszínét is.
A felszín sajnos nem úgy jön ki, hogy egyszerűen csak osztanunk kell hárommal…
Sőt, az a helyzet, hogy túl sok jóra ne számítsunk…
Mindhárom esetben úgy kapjuk meg a felszínt, hogy vesszük az alaplap területét…
Aztán hozzáadjuk a palást területét.
A palást területének a kiszámolásához pedig szükség lesz az oldallapok magasságára.
Ezeket h-val fogjuk jelölni.
Ahhoz, hogy ezt a h-t ki tudjuk számolni erős idegekre és nyugodt körülményekre van szükség.
Ja, és kelleni fog még egy dolog…
Be kell rajzolni a testek magasságát is. Ami a 20 centi.
És így ezeket a derékszögű háromszögeket kapjuk.
Olyan túl sokat egyik derékszögű háromszögből sem látni…
De a legrosszabb a helyzet egyértelműen a harmadik gyertyánál van.
A harmadik gyertyát inkább égessük el, a másik kettőnél pedig nézzük meg egy kicsit jobban ezeket a derékszögű háromszögeket.
Az első esetben a palást négy darab háromszögből áll.
A második esetben valamilyen körcikk lesz a palást…
A harmadik meg már egész jól ég.
Kezdjük a számolást az első esettel.
Elég az egyik háromszögnek kiszámolni a területét…
Aztán megszorozzuk 4-gyel.
Lássuk, mekkora lesz a kúp palástjának területe…
Erre van is egy remek képlet.
Ekkora:
Itt ez a bizonyos a a kúp alkotója.
Az alkotó itt látható, ez most a 20,4.
És r pedig a kúp alapkörének a sugara.
Ezt már párszor kiszámoltuk, hogy most éppen 4.
És a palást területe…
A dolog általánosan valahogy így néz ki…
Ez itt a négyzet alapú gúla térfogata és felszíne.
Itt h az oldallap magassága.
És, ha van kedvünk, akkor lecserélhetjük…
Erre.
Most nézzük, mi a helyzet a kúppal…
Ez a kúp térfogata…
És ez pedig a felszíne.
Itt a a kúp alkotója.
Hogyha pedig a gúla alapja egy szabályos n-szög…
nem négyzet alapú gúlával van dolgunk…
Akkor a térfogathoz először ki kell valahogyan számolni az alaplap területét.
A felszín pedig az alap területének és az n darab oldallap területének összege.
Itt h az oldallapok magassága.
Hát, ennyit a gúlák és kúpok térfogatáról és felszínéről…
Itt jön egy újabb izgalmas térbeli alakzat, a gömb.
Hogyha a gömb középpontját…
…összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával…
az így keletkező szakaszok hossza állandó, és ez a hosszúság a gömb sugara.
A sugarat r-el jelöljük.
Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is…
Akkor egy átmérőt kapunk.
Az átmérő jele d, és mindig a sugár kétszerese.
Az r sugarú gömb felszíne és térfogata:
És most lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket, jóra vagy rosszra…
A Föld sugara 6378 km.
A Mars sugara pedig 3397 km.
Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
A Föld felszíne:
Legalábbis ennyi lenne akkor, hogyha a Föld gömb alakú lenne.
Csak hát a Föld nem gömb alakú…
De még mielőtt a lapos-Föld-hívők csillogó szemekkel néznék tovább ezt az epizódot …
Nem erről van szó.
A Föld szinte tökéletesen gömb alakú, néhol picike eltérésekkel, így a felülete valójában kicsit kisebb, úgy kb. 510 millió km2.
De most nem csillagásznak készülünk, úgyhogy maradunk ennél az 511 milliónál…
Nézzük, mekkora a felszíne a Marsnak.
Hát ez is jó nagy…
A Föld felszíne viszont sokkal nagyobb.
Ha elosztjuk a Föld felszínét a Mars felszínével:
Akkor azt kapjuk, hogy a Föld felszíne 3,5-ször nagyobb, mint a Marsé.
Most nézzük a térfogatokat.
A Föld térfogata:
A Mars térfogata pedig:
Nézzük, hányszorosa a Föld térfogata a Mars térfogatának.
A Mars majdnem hétszer beleférne a Földbe.
A Jupiter pedig még ennél is nagyob…
Hogyha elosztjuk ezt a Föld térfogatával…
A Jupiterbe 1408-szor férne bele a Föld.
Hogyha a gömböt egy síkkal elvágjuk…
Akkor két gömbszelet keletkezik.
Egy nagyobb meg egy kisebb.
Ha a sík éppen áthalad a gömb középpontján…
Akkor két egyforma méretű félgömbre vágja a gömböt.
Az így keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával.
Ezt a kört főkörnek nevezzük.
A Földön az egyenlítő például egy főkör.
És a hosszúsági körök is főkörök.
Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként 44 m2-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
Itt egy gömbkétszög.
De ez végülis mindegy is, hiszen a 14 darab 44 m2-es gömbkétszög éppen kiadja a teljes gömbfelületet:
A hőlégballon szélessége pedig…
A ballon átmérője.
Vagyis a sugár kétszerese.
A ballon térfogatát is könnyedén ki tudjuk számolni:
Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne cm2-ben megadva?
Íme, a mérőedény vasgolyó nélkül…
És vasgolyóval.
A golyó térfogata éppen annyi, amennyivel többet mutat a mérce.
A jelek szerint egy 1,5 literes vasgolyóval van dolgunk.
Ezt most megpróbáljuk átváltani köbcentire.
Egy 10 cm x 10 cm x 10 cm méretű kocka éppen 1 liter.
A felszín pedig:
Hát, ennyit a gömbökről…
Te is mindig összekevered a váltószámokat a decinél meg a dekánál? Egy kiló most akkor hány deka, és egy méter az hány deciméter?
Ki fog derülni, hogy nem is Te vagy aki összekeveri ezeket, hanem maguk a mértékegységek vannak összekeverve.
De egy ügyes kis trükknek köszönhetően soha többé nem fognak gondot okozni.
Kezdjük a távolságok mérésére használt méterrel.
A deciméter az a méter tizedrésze, vagyis:
A centiméter pedig a méter századrésze:
A milliméter pedig a méter ezredrésze:
A méter ezerszerese a kilométer… rövid „o”-val…
A méter százszorosa a hektométer…
De valamiért ilyen fogalom nem létezik.
És a méter tízszerese a dekaméter, de sajna ilyen sincs.
Most nézzük a litert, ami térfogat mérésére használunk.
A deciliter ugyanúgy a liter tizedrésze, mint a méternél a deciméter.
A centiliter pedig a liter századrésze.
És a milliliter a liter ezredrésze.
Aztán jön a kiloliter…
Na, ilyen nincsen.
És a hektoliter…
Olyan viszont van.
Már önmagában ez is zavaró egy kicsit, hogy az egyik itt nem létezik, a másik ott…
Hiszen miből állt volna feltalálni a kilolitert vagy a hektométert…
De az igazi kavarás csak most kezdődik.
A méter és a liter olyan emberszabású mértékegységek…
A kilométer már olyan hosszú, hogy el sem látunk addig, a milliméter meg nagyon picike.
De egy méter az pont testhezálló.
Ugyanez a helyzet a literrel is.
A hektoliter már nagyon sok, a milliliter meg nagyon kevés.
És akkor itt jön a tömeg mértékegysége a gramm.
Egy gramm az iszonyatosan kevés.
Valahol itt lenne a helye a milliméter és a milliliter környékén.
De hát nem itt van…
Az ici-pici gramm egy szinten van szabad szemmel is jól látható méterrel és literrel.
És ez bizony elég sok félreértést fog okozni.
A gramm emberszabású változata a kilogramm.
Érzésre ezek vannak valahogy azonos szinten.
Aztán menjünk tovább. Hektogramm, az nincs.
Dekagramm viszont van.
És talán ezért tévesztjük el olyan gyakran a dekagrammot.
Mert érzésre valahol a centiknél kéne lennie.
És tényleg, 100 centi az 1 méter, 100 deka az egy kiló.
Nem véletlen, hogy a kiló, így hosszú „o”-val a hétköznapi nyelv része.
De menjünk tovább.
Decigramm és centigramm az nincsen.
Milligramm viszont van.
A kilométernek pedig a grammok világában a tonna felel meg, ami rá sem fér a listánkra.
És most lássuk a rövidítéseket.
Nem is olyan rémes ez a mértékegység-átváltás...
s most egyszerűen csak köbre emeljük a váltószámokat.
Soha nem volt még ilyen egyszerű az átváltás.
És most lássuk, hogy mi a helyzet a négyzetméterrel és a köbméterrel...
A négyzetméter valami négyzet, a köbméter pedig valami kocka.
Nem is kell semmilyen váltószámot megjegyezni.
Mindössze néhány olaszos hangzású szót kell tudni.
Az egyik a pizza…
Ja nem, a pizza most nem kell.
Az első, amit jegyezzünk meg a deci.
A dieci olaszul 10-et jelent.
Esetünkben pedig tizedet.
A deciméter a méternek a tizedrésze.
Vagyis, ha veszünk belőle 10 darabot…
Akkor az éppen egy méter.
Váltószámok helyett pedig rajzoljunk.
Váltsuk át például a 2,5 köbmétert literre.
Ez végülis ugyanaz, mintha köbdeciméterre váltanánk.
Most nézzük, mi a helyzet a négyzetnél.
Ha itt veszünk 10 darabot…
Az még kevés lesz.
Ebből már 100 darab kell.
De kinek van ideje 100 darab kis négyzetet rajzolni?
Hát persze, senkinek.
Nem is kell.
Bőven elég elképzelni, hogy erre is pakolunk 10 darab kis négyzetet…
Meg arra is.
És 10-szer 10 az 100.
A köbdecinél pedig…
Erre is pakolunk 10 darab kiskockát…
Meg erre is…
Meg erre is.
A cento olaszul 100-at jelent.
És például 100 cent az egy dollár.
Vagy épp 100 euro cent az 1 euró.
100 centiméter pedig 1 méter.
Most lássuk, mi a helyzet a négyzeteknél…
Ez itt egy négyzetcentiméter.
Hát, nem túl nagy…
Mindkét irányba 100 darabot tudunk belőlük egymásmellé pakolni.
A nagy kék négyzet tehát 100-szor 100 darab kis piros négyzettel fedhető le.
Ezt a váltószámot megjegyezni olyan, mintha meg akarnánk jegyezni a barátaink telefonszámát.
Teljesen felesleges, elég, ha azt tudjuk, hol kell keresni.
A telefonszámot a telefonunkban, a váltószámot pedig ezen a rajzon.
És most jöhet a köbcenti.
Na, ebből aztán jó sok kell.
Minden irányba 100 darab…
Egymillió darab 1 centis kiskockából tudunk kirakni egy 1 méteres nagykockát.
De a legjobb dolog csak most jön…
Még ennyit sem kell megjegyezni.
Semmi mást nem kell tudni, csak ezt.
Na meg egy ügyes kis trükköt.
A váltószámot a mindig a mértékegység árulja el nekünk.
A négyzetméternél ezeket a szorzókat négyzetre kell emelni.
A köbméternél meg köbre.
Ez őrülten egyszerű.
Próbáljuk is ki.
A dolog ezzel indul.
Egy kilométer az 1000 méter.
Aztán jön a deciméter, ami egytized méter…
A centiméter, ami egyszázad méter…
És a milliméter, ami egyezred méter.
Az többit ebből már ki tudjuk számolni.
És most simán köbre emeljük a mértékegységeket és a váltószámokat.
Váltsuk át például ezeket:
Váltsuk át ezeket is:
Először nézzük négyzet nélkül:
És most simán négyzetre emeljük a váltószámokat.
Ez meg is van.
Itt jön aztán egy másik:
Először nézzük köb nélkül…
Egy aranyrúd 25 cm hosszú, 5 cm magas, és alul 10 cm, felül pedig 7 cm széles. Hány kilós ez az aranyrúd, ha az arany sűrűsége 19,32g/cm3?
Nézzük, hány köbcenti egy ilyen aranyrúd.
Így elsőre ez valami eléggé fura alakzatnak tűnik…
De ha felállítjuk…
Akkor egy hasáb.
A hasáb magassága a 25 centi…
A hasáb alapja pedig egy trapéz.
És most nézzük, hány kilós az aranyrúd.
1 köbcenti arany 19,32 gramm.
2 köbcenti arany nyilván kétszer ennyi.
Nekünk most van 1026,5 köbcenti aranyunk…
0,96 kg/dm3
0,9 g/cm3
20 kg gyertyaviaszból hány darab 12 cm magas négyzet alapú gúla alakú gyertya készíthető, ha a gúla alapéle 10 centiméter? A gyertyaviasz sűrűsége 0,9 g/cm3.
Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk egy ilyen gyertya térfogatát.
Most nézzük, hogy egy ilyen gyertya hány kilós.
2 köbcenti gyertya kétszer 0,9 gramm…
És 1200 köbcenti gyertya…
Egy ilyen gyertya tehát kb. egy kiló, vagyis a 20 kiló viaszból kb 20 darab gyertya jön ki.
Mindezt kicsit pontosabban…
A 20 kg gyertyaviaszból ennyi gyertya lesz:
tizedesjegy
A feleakkora gúlának az alapélei is feleakkorák…
7,874 g/cm3
Egy mérőedényben 2 deciméter magasan áll a víz. Az edény henger alakú és 18 centiméter átmérőjű. Hány centiméter magasan fog állni a víz az edényben, ha beledobunk egy 4 kilós vasgolyót? A vas sűrűsége 7,874 g/cm3.
Kezdjük azzal, hogy kiszámoljuk a vasgolyó térfogatát.
Egy köbcenti vas 7,874 gramm.
És nekünk most 4 kiló vasunk van, ami 4000 gramm.
Hogyha ezt a 4000 grammot elosztjuk 7,874-gyel…
A gömb térfogatának a képletével ki tudjuk számolni, hogy hány centi vasgolyó sugara.
De ezzel nem kerülünk közelebb a megoldáshoz.
A víz azért emelkedik meg, mert a vasgolyó 508 köbcentivel megnöveli a vízoszlop térfogatát.
Mégpedig egy 508 köbcentis vízoszloppal
Ennek a hengernek a magasságát keressük.
A víz tehát 1,996 centivel fog emelkedni.
A kérdés az volt, hogy hány centi magasan áll majd a víz…
És a válasz:
Egy gép 20 cm átmérőjű műanyag labdákat gyárt. 1 kg műanyag 1,4 négyzetméternyi labdafelületre elég. Hány darab labda készíthető 3,6 kg műanyagból?
Nézzük, mekkora egy ilyen labda felszíne.
1 kg műanyag 1,4 négyzetméter felületre elég.
Nekünk 3,6 kg van, vagyis:
