Elsőfokú és másodfokú egyenletek

A megoldás lényege, hogy gyűjtsük össze az $x$-eket az egyik oldalon, a másik oldalon pedig a számokat, a végén pedig leosztunk az $x$ együtthatójával.

Ha törtet is látunk az egyenletben, akkor az az első lépés, hogy megszabadulunk attól, mégpedig úgy, hogy beszorzunk a nevezővel.

Ha a tört nevezőjében $x$ is szerepel, akkor azzal kezdjük az egyenlet megoldását, hogy kikötjük, a nevező nem nulla.

Ha a másodfokú egyenlet így néz ki:

\( a x^2 + bx + c = 0 \)

Akkor a megoldóképlet:

\( x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} \)

A másodfokú egyenlet megoldóképletének gyök alatti részét nevezzük diszkriminánsnak.

\( D = b^2 -4ac \)

Ez dönti el, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós megoldása lesz.

Ha a diszkrimináns nulla, akkor csak egy.

Ha a diszkrimináns pozitív, akkor az egyenletnek két valós megoldása van.

Ha pedig negatív, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása.

Az $ax^2+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja:

\( ax^2 + bx + c = a (x-x_1)(x-x_2) \)

A Viète-formulák nem valami titkós gyógyszer hatóanyag, hanem a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket írja le:

\( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

Olyankor, amikor a másodfokú tag együtthatója 1, a Viète-formulák is egyszerűbbek:

\( x^2 + px + q = 0  \qquad x_1 + x_2 = -p \qquad x_1 x_2 = q \)