Mátrixok diagonális alakja (bázistranszf.) | mateking
 

Diszkrét matematika epizód tartalma:

Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy mi a mátrixok diagonális alakja | Sajátérték, Sajátvektor, Karakterisztikus egyenlet, Determináns, Mátrixok |

A képsor tartalma

Ha egy -es mátrixnak van darab független sajátvektora, akkor létezik a mátrixnak egy úgynevezett diagonális alakja.

A diagonális alak így néz ki:

a főátlóban vannak a sajátértékek és az összes többi elem nulla.

A diagonális alakot a következő módon állítjuk elő:

itt vagyis egyszerűen úgy keletkezik, hogy a sajátvektorokat fogjuk, és leírjuk egymás mellé.

Nézzünk meg erre egy példát!

Állítsuk elő ennek a -as mátrixnak a diagonális alakját.

1. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET FELÍRÁSA

A főátló elemeiből kivonogatjuk a -kat, és vesszük a determinánsát:

A determinánst az első sora szerint fejtjük ki:

2. A KARAKTERISZTIKUS EGYENLET MEGOLDÁSAI A SAJÁTÉRTÉKEK

Most három sajátérték van, ; és .

Mindhárom sajátértékhez megkeressük a hozzá tartozó sajátvektort.

3. A SAJÁTÉRTÉKEKHEZ TARTOZÓ SAJÁTVEKTOROK MEGKERESÉSE

A sajátvektorokat úgy kapjuk meg, ha megoldjuk az

egyenletrendszert:

Az egyenletrendszereket bázistranszformációval oldjuk meg.

Akinek a bázistranszformációval kapcsolatos emlékei sajnálatos módon

elhalványultak, az nézze meg az erről szóló részt.

A bázistranszformáció elakadt, -et nem tudjuk lehozni, így elnevezzük –nek.

Leolvassuk a megoldást.

A sajátértékhez tartozó sajátvektor:

ahol

Most jöhet a többi sajátvektor. Megint az egyenletrendszert kell megoldanunk:

Belerakjuk a -t

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátértékhez tartozó sajátvektor:

ahol

és a -et

Bázistranszformációval oldjuk meg:

A sajátértékhez tartozó sajátvektor:

ahol

Úgy tűnik van három független sajátvektor, tehát a mátrix

diagonalizálható, a diagonalizáló mátrix pedig

A diagonális alakot az eredeti mátrixból a diagonalizáló mátrix

segítségével állítjuk elő:

A szorzásokat elvégezni azonban felesleges, mert a diagonális alak mindig úgy néz ki, hogy a főátlóban vannak a sajátértékek, az összes többi elem pedig nulla.

A sajátértékeket már régóta tudjuk

A diagonális alak tehát:

 

Mátrixok diagonális alakja (bázistranszf.)

10
hang
Egy lépésre vagy attól, hogy a matek melléd álljon és ne eléd.
  • Sokkal jobb, mint bármelyik egyetemi előadásom.

    Dani, 20
  • Értelmes, szórakoztató, minden pénzt megér.

    Tibor, 23
  • Nagyon jó árba van, valamint jobb és érthetőbb, mint sok külön matek tanár.

    Márk, 22
  • A mateking miatt sikerült az érettségi és az összes egyetemi matekos tárgyam.

    Míra, 21
BelépekvagyRegisztrálok Back arrow Ugrás az
összeshez