Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Diszkrét matematika

Kategóriák
  • Kombinatorika
  • Halmazok, rendezett párok, leképezések
  • Matematikai logika, ítéletkalkulus
  • Gráfelméleti alapok
  • Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága
  • Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok
  • Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok
  • Gráfparaméterek, párosítások
  • Hálózatok
  • Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban
  • Menger tételei, többszörös összefüggőség
  • Páros gráfok, párosítások
  • Teljes indukció
  • Oszthatóság
  • Euklideszi algoritmus & Diofantoszi egyenletek
  • Kongruenciák
  • Mátrixok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  • Determinánsok
  • Komplex számok
  • Polinomok
  • Interpolációs polinomok
  • Csoportok, gyűrűk, testek

Gráfelméleti alapok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Mik azok a gráfok?
02
 
Nézzük, mit kezdhetnénk a gráfokkal
03
 
Mire jók a gráfok? A königsbergi hidak rejtélye
04
 
Gráfalkotó algoritmusok
05
 
FELADAT | Gráfok
06
 
FELADAT | Gráfok
07
 
FELADAT | Gráfok
08
 
FELADAT | Gráfok
09
 
FELADAT | Gráfalkotás
10
 
FELADAT | Gráfalkotás
11
 
FELADAT | Gráfalkotás
12
 
FELADAT | Gráfalkotás
13
 
FELADAT | Gráfok

Csúcs fokszáma

A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Egyszerű gráf

Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Fa

Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

Egy $n$ csúcsú fának mindig $n-1$ darab éle van.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gráf

A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gráfelméleti kör

Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Összefüggő gráf

Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Teljes gráf

Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

Az $n$ csúcsú teljes gráf éleinek a száma:

\( \frac{ n (n-1)}{2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Euler-kör

Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Oldjuk meg az alábbi gráfos feladatokat:

a) Egy tárgyalás elején minden résztvevő mindenkivel kezet fog. Így összesen minden résztvevő 4 másikkal fog kezet. Hányan vesznek részt a tárgyaláson és hány kézfogás volt összesen?

b) Egy iskolai versenyen Anna, Bence, Cecil, Dávid, Elemér, Fanni, Gábor, és Hanna játszanak egymással. Mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik.

Anna már játszott Bencével, Gáborral és Hannával.

Bence már játszott Annával, Cecillel és Gáborral.

Cecil csak Bencével, Dávid pedig csak Elemérrel játszott.

Rajzoljuk fel azt a gráfot, ami a jelenlegi állást tartalmazza! Hány játszma van még hátra?

c) Egy ötpontú teljes gráf csúcsai A, B, C, D, E.

Mekkora a B csúcs fokszáma?

Ha a gráfból két élt törlünk, milyen lehetséges értékek adódhatnak B fokszámára?

Mekkora lesz a két él törlése után a csúcsok fokszámainak összege?

Hány élt kell törölni ahhoz, hogy minden csúcs fokszáma 3 legyen?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

 

a) Egy hatfős társaságban mindenkit megkérdeztek, hány ismerőse van a többiek között (az ismerettségek kölcsönösek). Az első öt személy válasza: 5, 4, 3, 2, 1. Ábrázoljuk a gráffal a társaság ismerettségi viszonyait! Hány ismerőse van a hatodik személynek a társaságban?

b) Rajzoljunk egy olyan hatpontú gráfot, amelyben a pontok fokszáma: 0, 1, 2, 2, 3, 4.

c) Egy irodában összesen 11-en dolgoznak. Egy adott napon a 11 ember ennyi kollégájával találkozott: 0, 1, 2, 2, 2, 5, 0, 0, 4, 4, 2.

Ábrázoljuk a találkozásoknak egy lehetséges gráfját. Hány találkozás volt összesen?

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Oldjuk meg a könisbergi-hidak rejtélyét.

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Létezik-e olyan gráf, amelyben a pontok fokszáma:

a)  4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6

b)  2, 2, 4, 4, 5, 7, 7, 7

c) 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 7

d) 5, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

 

a) A városi középiskolás egyéni teniszbajnokság egyik csoportjába hatan kerültek: András, Béla, Csaba, Dani, Ede és Feri. A versenykiírás szerint bármely két fiúnak pontosan egyszer kell játszania egymással. Eddig András már játszott Bélával, Danival és Ferivel. Béla játszott már Edével is. Csaba csak Edével játszott, Dani pedig Andráson kívül csak Ferivel. Ede és Feri egyaránt két mérkőzésen van túl. Szemléltessük gráffal a lejátszott mérkőzéseket!

b) Egy iskola asztali tenisz bajnokságán hat tanuló vesz részt. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig Andi egy mérkőzést játszott, Barnabás és Csaba kettőt-kettőt, Dani hármat, Enikő és Feri négyet-négyet.

Rajzold le az eddig lejátszott mérkőzések egy lehetséges gráfját!

Lehetséges-e, hogy Andi az eddig lejátszott egyetlen mérkőzését Barnabással játszotta?

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Öt különböző számjegyet leírtunk egy papírlapra. Két számjegyet pontosan akkor kötünk össze egy vonallal (éllel), ha a különbségük páros szám (de egyik számjegyet sem kötjük össze önmagával). Így egy ötpontú gráfot kapunk. Döntsük el az alábbi állításokról, hogy igazak, vagy hamisak!

a) Lehetséges, hogy fagráfot kapunk.

b) Lehetséges, hogy nem összefüggő gráfot kapunk.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Az ábrán egy 3x3-as kirakós játék (puzzle) sematikus képe látható. A kirakós játékot egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csúcsai (A1, A2, ..., C3) a puzzle-elemeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő puzzle-elemek közvetlenül (egy oldalban) kapcsolódnak egymáshoz a teljesen kirakott képben.

a) Rajzoljuk fel a kirakós játék gráfját, és határozzuk meg a fokszámok összegét!

b) Igazoljuk, hogy a megrajzolt gráfban nincs olyan kör, amely páratlan sok élből áll!

c) A teljesen kirakott képen jelöljünk meg a puzzle-elemek közül 7 darabot úgy, hogy a kirakós játék általuk alkotott részlete már ne legyen összefüggő!

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

 

a) Rajzolj egy olyan 5 pontú gráfot, melyben a pontok fokszáma: 4, 3, 3, 2, 2

b) Rajzolj egy olyan 6 pontú gráfot, melyben a pontok fokszáma: 0, 1, 2, 2, 3, 4.

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Létezik-e olyan fa, amelyben a pontok fokszáma:

a) 1, 1, 2, 2, 3, 4?

b) 1, 2, 2, 2, 3, 4?

c) 1, 1, 1, 1, 1, 5?

d) 1, 1, 1, 2, 2, 3?

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Létezik-e olyan gráf, amelyben a pontok fokszáma: 6, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1?

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Létezik-e olyan egyszerű gráf, amelyben a pontok fokszáma 7, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 3?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Létezik-e olyan egyszerű gráf, amelyben a pontok fokszáma 7, 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4?

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Öt különböző számjegyet leírunk egy papírlapra. Két számjegyet pontosan akkor kötünk össze egy vonallal, ha a különbségük páros szám (de egyik számjegyet sem kötjük össze önmagával). Így egy ötpontú gráfot kapunk.

a) Lehetséges, hogy fagráfot kapunk?

b) Lehetséges, hogy nem összefüggő gráfot kapunk?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mik azok a gráfok? Megtanuljuk, hogy mik az Egyszerű gráfok, Csúcsok, Élek, Út, Kör, Összefüggő gráfok, Izolált pont, Körmentes gráfok, Fa. Valamint megnézzük, mire lehet használni a gráfokat a valóságban. A híres königsbergi hidak problémával kezdjük, aztán nézünk néhány példát, hogyan lehet gráfokkal jellemezni mondjuk egy épület termeit. Végül pedig nézzük, hogyan alkotható meg egy gráf, ha ismerjük a csúcsainak fokszámát. Itt jön néhány gráfalkotó algoritmus és néhány trükk, amit érdemes tudni a gráfalkotó feladatok megoldásánál.



Mik azok a gráfok?

Nézzük, mit kezdhetnénk a gráfokkal

Mire jók a gráfok? A königsbergi hidak rejtélye

Gráfalkotó algoritmusok

FELADAT | Gráfok

FELADAT | Gráfok

FELADAT | Gráfok

FELADAT | Gráfok

FELADAT | Gráfalkotás

FELADAT | Gráfalkotás

FELADAT | Gráfalkotás

FELADAT | Gráfalkotás

FELADAT | Gráfok

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim