Diszkrét matematika epizód tartalma:

Nagy kombinatorika összefoglaló, Permutáció, Variáció, Kombináció, Ismétléses permutáció, Ciklikus permutáció, Ismétléses variáció, Kombinatorika feladatok megoldással, Középiskolai matek felelevenítése.

A képsor tartalma

Újabb kombinatorikával kapcsolatos rémtörténetek következnek. Még mindig a középiskolai matek felelevenítésével foglalkozunk, ahol elvileg mindenki tanult valószínűségszámítást és kombinatorikát. De csak elvileg, éppen ezért teljesen az alapoktól kezdünk és nem építünk a középiskolai matematika tanulmányokra. Itt is van az első, ahol öt ember szeretne leülni egy padra illetve egy kerek asztal köré. A pad esetét mindenki ismeri, a kerek asztal története már nem minden középiskolai matek órán látható.

Ha egy padra ülnek le, az nagyon könnyű.

Lássuk mitől más a kerek asztal.

Nos attól, hogy van néhány olyan eset, ami padon más-más esetnek számít, de itt nem.

Mivel az asztal kerek, ez a két eset teljesen ugyanaz.

Azok az esetek lesznek a kerek asztalnál egyformák, amikben az emberek egymás utáni sorrendje megegyezik.

Ezek a kerek asztalnál mind ugyanannak az esetnek számítanak.

Tehát a kerek asztalnál ötödannyi eset van.

A történet általánosítható, n darab különböző elem permutációinak száma:

egymás mellett elhelyezve

ciklikusan elhelyezve

Most pedig lássuk, mi van akkor, ha ketten egymás mellett szeretnének ülni.

Ilyenkor a szokásos trükk, hogy őket egynek vesszük.

Vagyis négy elemet kell sorba raknunk.

De akiket egynek vettünk ők helyet is cserélhetnek, ami megduplázza az esetek számát.

A kerek asztal esetében pedig osztani kell…

A kérdés csak az, hogy 4-el vagy 5-el.

Nos mindig a korábban sorba rakott elemek számával kell osztani.

Itt egy újabb érdekes ügy, a következő számjegyek sorrendjének variálásával 7 jegyű számokat készítünk.

Hányféle ilyen szám van?

Hát ugye 7 elemet kell sorba raknunk…

de mivel vannak köztük egyformák, valójában ennél kevesebb eset lesz.

Osztani kell az egyforma elemek faktoriálisaival.

Hány páros szám van?

Akkor kapunk páros számot, ha az utolsó jegy páros. Ezzel kezdjük.

Három páros számjegyünk van.

Na jó, valójában csak kettő, mert vagy 2-re vagy 4-re fog végződni, de megint az előző módszert használjuk, tehát az ismétlődés problémáját ezúttal is egy osztás segítségével intézzük majd el.

Egy számjegyet elhasználtunk a végére, marad még 6.

Az egyformák miatt pedig megint osztunk.

Jön egy másik nagyon izgalmas feladat.

Ezekből a számjegyekből négyjegyű számokat készítünk úgy, hogy egy jegyet akárhányszor felhasználhatunk.

Hány ilyen szám van?

Az elejére nem mehet nulla…

utána már jöhet bármi.

Hány páros szám van?

Hány 10-el osztható van?

Most lássuk, mi történik, ha egy számjegyet csak egyszer használhatunk.

Ezekből a számjegyekből négyjegyű számokat készítünk úgy, hogy egy jegyet csak egyszer használhatunk.

Az utolsó számjegynek párosnak kell lenni.

Igen ám, de vajon hány páros számjegyünk maradt?

Lehet, hogy csak egy…

de az is lehet, hogy mind a négy.

Fogalmunk sincs, szóval ez így nem lesz jó.

Az utolsó számjeggyel kell kezdeni.

Négyféle lehet.

Aztán ugye nulla nem lehet elől…

De ha a végére tettük a nullát, akkor hatféle szám mehet előre…

ha viszont nem a végére tettük a nullát akkor csak ötféle.

Mert nem mehet a nulla, és nem mehet amit már a végére tettünk.

Most lássuk a többi helyet.

Nos, mi jöhet ide?

A nulla jöhet… és a többi hat szám közül kettő nem:

Amelyiket az elejére, meg amit a végére tettünk.

És ezeket össze kell adni.

Most pedig végre valami könnyű.

Akkor osztható 10-el, ha nullára végződik.

 

FELADAT | Kombinatorika

02
hang
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Nagy kombinatorika összefoglaló, Permutáció, Variáció, Kombináció, Ismétléses permutáció, Ciklikus permutáció, Ismétléses variáció, Kombinatorika feladatok megoldással, Középiskolai matek felelevenítése.

Itt jön egy fantasztikus
Diszkrét matematika epizód.
Végül is miért ne néznél meg
még egy epizódot?

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!