- Kombinatorika
- Halmazok, rendezett párok, leképezések
- Matematikai logika, ítéletkalkulus
- Gráfelméleti alapok
- Gráfok izomorfiája és síkbarajzolhatósága
- Gráfok bejárása és gráfalgoritmusok
- Kromatikus szám, klikk, perfekt gráfok
- Gráfparaméterek, párosítások
- Hálózatok
- Irányított gráfok, gráfalgoritmusok irányított gráfokban
- Menger tételei, többszörös összefüggőség
- Páros gráfok, párosítások
- Teljes indukció
- Oszthatóság
- Euklideszi algoritmus & Diofantoszi egyenletek
- Kongruenciák
- Mátrixok
- Lineáris egyenletrendszerek
- Determinánsok
- Komplex számok
- Polinomok
- Interpolációs polinomok
- Csoportok, gyűrűk, testek
Oszthatóság
1.
a) Az 5728 osztható-e 3-mal?
b) A 4758 osztható-e 3-mal?
c) Az 52742 osztható-e 4-gyel?
d) A 61524 osztható-e 4-gyel?
e) A 3714 osztható-e 6-tal?
f) A 4326 osztható-e 9-cel?
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
A 47316 osztható-e 12-vel?
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Bizonyítsuk be, hogy a 3-nál nagyobb ikerprímszámok összege osztható 12-vel!
b) Melyek azok a \( p \) prímszámok, amelyekre \( 2p-1 \) és \( 2p+1 \) is prím?
Megnézem, hogyan kell megoldani
4.
Adjuk meg az 1960 prímtényezős felbontását!
Megnézem, hogyan kell megoldani
5.
Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor legalább az egyik befogó mérőszáma páros.
Megnézem, hogyan kell megoldani
6.
a) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor az egyik befogó mérőszáma osztható 3-mal.
b) Igazoljuk, hogy ha egy derékszögű háromszög oldalainak mérőszámai egészek, akkor van köztük legalább egy öttel osztható.
c) Igazoljuk, hogy bármely páratlan szám négyzetéből 1-et elvéve 8-cal osztható számot kapunk.
Megnézem, hogyan kell megoldani
7.
a) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan szám, akkor 9 osztója \( 11^n + 7^n \)-nek.
b) Milyen \( n \) természetes szám esetén osztható az alábbi kifejezés 16-tal?
\( 17^n + n\)
c) Igazoljuk, hogy ha \( n \) páratlan, akkor 37 osztója az alábbi kifejezésnek.
\( 1+2^{19} + 3^{19}+4^{19}+\dots + 36^{19} \)
Megnézem, hogyan kell megoldani
8.
a) Milyen pozitív egész $n$-re lesz a 6 osztója az $1+n^2+n^4+3^n$-nek?
b) Bizonyítsuk be, hogy 7 osztója $333^{444}+444^{333}$-nak.
c) Bizonyítsuk be, hogy 9 osztója $4^n-3n-1$-nek.
Megnézem, hogyan kell megoldani
9.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha egy 5-nél nagyobb prímszám négyzetét 30-cal osztjuk, akkor maradékul 1-et vagy 19-et kapunk.
b) Határozzuk meg a $p, q, r$ prímeket úgy, hogy a
\( p^4 + q^4 + r^4 -3 \)
kifejezés értéke szintén prím legyen.
c) Bizonyítsuk be, hogy
\( p^4+24 \)
semmilyen $p$ prímre nem lehet prím.
Megnézem, hogyan kell megoldani
10.
a) Bizonyítsuk be, hogy ha $2^n-1$ prímszám, akkor $n$ is prímszám!
b) Bizonyítsuk be, hogy
\( 4n^3+6n^2+4n+1 \)
semmilyen pozitív egész $n$-re nem lesz prím!
Legnagyobb közös osztó
Az $a$ és $b$ szám legnagyobb közös osztója az a $d$ pozitív szám, amire $ d \mid a$ és $d\mid b$, és e közös osztók közül ez a legnagyobb.
Jelölés: $d=(a,b)$
Néhány oszthatósági szabály
Ha $ a \mid c$ és $ b \mid c$ és $(a,b)=1$ akkor $ab \mid c$
Ha $c \mid ab$ és $(a,c)=1$ akkor $c \mid b$
Ikerprímek
Ha két egymást követő páratlan szám prímszám, akkor azokat ikerprímeknek nevezzük.
A 3-nál nagyobb ikerprímek $6k-1$ és $6k+1$ alakúak, ahol $k \in Z^{+}$.
Prímek
Azokat a számokat, amelyeknek az egységszorzón és önmagukon kívül nincsen más pozitív egész osztója, prímeknek nevezzük.
Számelmélet alaptétele
A nullától és az egységszorzóktól különböző összes $n$ egész szám felbontható prímek szorzatára a sorrendtől és az egységszeresektől eltekintve egyértelműen.
$ n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot \dots \cdot p_k^{\alpha_k} $ ahol $k \in Z^{+}$
Itt $k$ a felbontásban szereplő különböző prímek száma.
Felbonthatatlan számok
Egy $q$ szám felbonthatatlan, ha nem létezik olyan egységtől különböző $a$ és $b$ szám, hogy $q=ab$
Prímek (szakszerűen)
Egy $p$ szám prím, ha
$ p \mid ab \Rightarrow p \mid a$ vagy $p \mid b$
Négyzetszámok oszthatósági tulajdonságai
Minden négyzetszám 4-gyel osztva nulla, vagy egy maradékot ad.
Minden négyzetszám 3-mal osztva nulla, vagy egy maradékot ad.
Minden négyzetszám 5-tel osztva nulla, vagy egy vagy négy maradékot ad.
Trükkösebb oszthatóságok
\( a-b \mid a^n-b^n \)
$ a+b \mid a^n + b^n $ ha $n$ páratlan
Itt mindent megtudhatsz az oszthatóságról. Megnézzük, hogy mi az osztó, az osztási maradék, mikor osztható két szám egymással. Aztán jönnek az oszthatósági szabályok, a 2-vel, 3-mal és 4-gyel való oszthatósági szabály. Az nagyon könnyű, hogy egy szám mikor osztható 5-tel, de aztán azt is megnézzük, hogy milyen szabály van a 6-tal, 8-cal, 9-cel és 11-gyel való oszthatóságra. Azt is megnézzük, hogy mit jelent két szám legnagyobb közös osztója, és azt is, hogyan lehet kiszámolni. Kiderül, hogy mik azok a relatív prímek és még sok-sok izgalom.
