- Amit algebrából tudni kell
- Halmazok
- Függvények
- Az inverzfüggvény
- Egyenletek megoldása
- Egyenletrendszerek
- Egyenlőtlenségek megoldása
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Komplex számok
- Sorozatok
- Függvények határértéke és folytonossága
- Deriválás
- Kombinatorika
- Valószínűségszámítás
Amit algebrából tudni kell
Műveleti sorrend
Ha több művelet szerepel egymás után, akkor ezeket a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk.
A műveleti sorrendben az első mindig a zárójel, vagyis a zárójelben szereplő műveleteket kell elsőként elvégezni.
A második a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.
Végül az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.
A hatványozás még egy kicsit bezavarhat a dologba, így érdemes megnézni külön a hatványozásról és a hatványazonosságokról szóló epizódokat is.
Most pedig nézzünk egy példát a műveleti sorrendre:
Pl.: $3\cdot (5-3)+2:2=3\cdot 2 +2:2 = 6 +1 = 7 $
Algebrai kifejezések
Az algebra az a része a matematikának, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Az algebrai kifejezések olyan matematikai kifejezések, amik betűket is tartalmaznak.
Kiemelés
A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.
Törtek egyszerűsítése
A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.
Algebrai tört
Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.
Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.
Nevezetes azonosságok
\( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 \)
\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Köbös azonosságok
\( a^3 + b^3 = (a+b) \left( a^2 -ab +b^2 \right) \)
\( a^3 - b^3 = (a-b) \left( a^2 +ab +b^2 \right) \)
\( (a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3 \)
\( (a-b)^3 = a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 \)
Binomiális tétel
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
Binomiális tétel
Binomiális tétel:
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n \)
Kifejezés értelmezési tartománya
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.
$ \frac{2}{x-3}$ értelmezési tartománya $x \in R \setminus \{ 3 \}$, mert tört van benne és a tört nevezője nem lehet nulla ($x \neq 3$)
$\sqrt{2x+5}$ értelmezési tartománya $x \in \left[ - \frac{5}{2}, \infty \right[ $, mert páros gyök alatt van (második) és így a gyök alatti kifejezés $\geq 0$
Számoljuk ki ezeket:
a) $7-4+2= $
b) $7-(4+2) = $
c) $7-2\cdot 3 =$
d) $5+4\cdot 3 + 2 = $
e) $5+ 4 \cdot (3+2) = $
f) $6+2+3\cdot 4 = $
g) $6+(2+3)\cdot 4 = $
h) $6\cdot 2 + 3 + 4 = $
i) $6 \cdot (2+3) + 4 = $
j) $7+7:7+7\cdot 7-7=$
k) $12:2\cdot 3 = $
l) $12:(2\cdot 3 ) = $
m) $8:2\cdot (2+2) = $
Végezzük el a műveleteket!
a) \( x^3 \left( a^4 -2x^2 +4a^4 +x \right) \)
b) \( \left( x^3 +2a^2 \right) \left( 5a^4 -2x^2 +x \right) \)
c) \( \frac{4}{x-5} - \frac{x}{x+3} \)
Emeljünk ki mindent, amit lehet
a) \( 3x^4-5x^3+6x^2 \)
b) \( 3a^4b-x^2a^3b+5a^2b^4 \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( (x+3)^2= ? \)
b) \( (y-5)^2= ? \)
c) \( \left( 2x+3y^2 \right)^2 = ? \)
d) \( \left( 3a^2-ab^3 \right)^2 = ? \)
Egyszerűsítsük, amennyire csak lehet:
e) \( \frac{xy^3-4x^3y}{xy^2+2x^2y} \)
f) \( \frac{x^4-y^4}{x^4y^2+x^2y^4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( 12x + 3x^2 - 4x^3 - 7x - x^4 + x^3 \)
b) \( 4x(5x^4 + 3x^2) - (4x^2 +5)(x+6) \)
c) \( (3x^4 +4x +x^3 y^2 ) \cdot x^2 + (4x^3 +5x^2y^4 + x^3 y^2 ) : x^2 \)
d) \( x^2 \cdot (3x^4 +4y^5 +6 z^3) \)
e) \( x^2 \cdot (3x^4 \cdot 4y^5 \cdot 6z^3) \)
f) \( \left( \frac{1}{x^2+2xy+y^2} + \frac{1}{x^2-y^2} + \frac{1}{x^2-2xy+y^2} \right) : \left( \frac{4x^2}{x^2-y^2} -1 \right) \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \)
b) \( \frac{ 2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} + \frac{ \sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac{4x-2}{x-1} \)
a) \( (x+2)^3= ? \)
b) \( (x-4b)^3 = ? \)
c) \( \left( \frac{x+y}{x^3-y^3} + \frac{2}{(x-y)^2} - \frac{1}{x^2+xy+y^2} \right) : \frac{x^2-4y^2}{x^2-2xy+y^2} = ? \)
a) Mennyi $(a+b)^7$-nél az $a^2b^5$-es tag együtthatója?
b) Mennyi $(a+2)^7$-nél az $a^2$-es tag együtthatója?
c) Mennyi $(x+3)^8$-nál az $x^6$-os tag együtthatója?
Mi az értelmezési tartományuk?
a) \( \frac{3}{x} \)
b) \( \frac{x}{x-2} \)
c) \( \frac{5}{(x-2)\cdot (x+3)} \)
d) \( \frac{1}{x^2-4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket
a) \( \frac{x-3}{2}+\frac{x+2}{4}-\frac{x-1}{4} \)
b) \( \frac{x+1}{x}-\frac{2x}{x-1} \)
c) \( \frac{4}{x}+\frac{3}{2x} \)
d) \( \frac{x}{4} \cdot \frac{8}{x} \)
e) \( \frac{2x^2}{y^3} : \frac{6x}{y^5} \)
f) \( \frac{a+b}{a} : \frac{a^2-b^2}{a^3} \)