Koordinátageometria (5,1 pont)

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Adottak az $ \underline{a}=(x,3) $ és $ \underline{b}=(5,2) $ vektorok. Állapítsuk meg $x$ értékét úgy, hogy a két vektor merőleges legyen egymásra.

b) Adjuk meg a +90° és -90°-os elforgatottját az $ \underline{a}=(3,2) $ vektornak.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Írjuk fel az egyenes egyenletét ezekből az adatokból: $P(3,4), \; \underline{n}=(6,7)$

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, ami áthalad a $P(3,4)$ és $Q(7,9)$ pontokon.

c) Határozzuk meg ezeknek az egyeneseknek a metszéspontját:

\( e_1: 3x+4y=10 \)

\( e_2: 6x+y=13 \)

d) Számoljuk ki az $ABC$ háromszög magasságpontjának koordinátáit, ha $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Milyen távol vannak a $Q(1,3)$ és $R(6,3)$ pontok az $e$ egyenestől, ha $e: 3x-4y-6=0$.

b) Egy háromszög csúcsai $A(-2,-3)$, $B(6,3)$, $C(-1,6)$. Határozzuk meg ebben a háromszögben a $c$ oldal hosszát és a $C$ csúcsához tartozó magasságvonal hosszát.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ (x-2)^2 + (y+2)^2 = 4 $

b) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2+y^2-6x-2y=10 $

c) Ábrázoljuk azt a kört, aminek az egyenlete: $ x^2-8x+y^2+2y=-8 $

Keressük annak a körnek az egyenletét, ami érinti a koordinátatengelyeket, és átmegy a $P(1,2)$ ponton.

a) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelye az \( y \) tengely, tengelypontja az origó és fókusza az \( F(0,3) \) pont.

b) Írjuk fel annak a parabolának az egyenletét, melynek paramétere 2, és tengelypontja T(3,-1). Adjuk meg a fókuszpontjának koordinátáit és vezéregyenesének egyenletét.

Határozzuk meg a $(-1,0)$, $(5,0)$ és $(1,4)$ csúcsokkal megadott háromszög súlypontjának, magasságpontjának és a körülírt kör középpontjának a koordinátáit.

Mekkorák a háromszög magasságai, ha csúcsai: $A(-4,6)$, $B(-2,-3)$, $C(4,5)$?

Egy háromszög oldalegyeneseinek az egyenlete: $5x+2y-29=0$, $9x-y-43=0$, $14x+y-49=0$. Milyen messze van a háromszög súlypontja a háromszög oldalaitól?

Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-1,-1)$, $B(1,5)$, $C(7,-2)$.

Számítsuk ki a háromszög területét, ha csúcsai: $A(-2,1)$, $B(7,4)$, $C(2,9)$, és számítsuk ki a magasságpont koordinátáit is.

Adott az $ABC$ háromszög, $A(-1,1)$, $B(7,3)$ és $C(3,9)$ csúcsai.

a) Határozzuk meg a súlypont koordinátáit!

b) Határozzuk meg a köré írható kör középpontjának koordinátáit!

c) Határozzuk meg a magasságpont koordinátáit!

Adott az $ABC$ háromszög, $A(-2,-3)$, $B(6,3)$ és $C(-1,6)$ csúcsai. Mekkora az $AB$ oldal, és a hozzá tartozó magasság? Mekkora az $AB$ oldalhoz tartozó súlyvonal?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Mekkora szögben metszi a $3x+2y=5$ egyenletű egyenes az $x$ tengelyt?

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad a $P(2,4)$ ponton, és 45 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel.

c) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely 60 fokos szöget zár be az $x$ tengellyel és az $y$ tengelyt 4-ben metszi.

d) Egy egyenes átmegy a $P(2,5)$ és a $Q(4,1)$ pontokon. Mekkora szögben metszi az $x$ tengelyt?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Hogyan kell $m$ értékét megválasztani úgy, hogy az $y=mx+4$ egyenes áthaladjon a $2x-y+1=0$ és az $y=x+5$ egyenesek metszéspontján?

b) Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az $x-3y-6=0$ és a $4x+y=0$ egyenesek metszéspontján és normálvektora $(3,1)$.

c) Írjuk fel a háromszög oldalegyeneseinek egyenletét, ha az egyik csúcsa $A(3,-4)$, és két magasságvonalának egyenlete $7x-2y-1=0$ és $2x-7y-6=0$.

Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ a $Q(8,2)$ és az $R(-1,-1)$ pontokon.

Egy rombusz rövidebbik átlójának két végpontja: $B(9,-1)$ és $D(1,5)$. A hosszabbik átló a rövidebb átló kétszerese. Határozzuk meg a másik két csúcs koordinátáit.

Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amely a $(2,9)$ ponton áthalad, és mindkét koordináta tengelyt érinti.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,0)$, valamint a $Q(-1,2)$ ponton és középpontja az $x-y+2=0$ egyenletű egyenesen van.

Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(-2,-3)$ ponton, és az $e: 4x-3y=26$ egyenest az 5 abszcisszájú pontjában érinti.

Határozzuk meg annak a körnek az egyenletét, amely áthalad a $P(5,7)$ ponton, és az $e: 4x+3y=42$ egyenest a 6 abszcisszájú pontjában érinti.

Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, melynek sugara $2 \sqrt{5}$ és az $e: x+2y-9=0$ egyenes érinti a $P(5,2)$ pontban.

Keressük meg annak az $x$ tengelyt érinő körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(5,2)$ ponton és középpontja az $x+y=6$ egyenletű egyenesen van.

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,7)$ ponton és az $e: x+3y-19=0$ és az $f: 2x-y+15=0$ egyenesek metszéspontján.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(8,5)$, valamint a $Q(2,-3)$ ponton és a középpontja az $x+3y=8$ egyenletű egyenesen van.

Keressük annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(2,14)$, $Q(12,-10)$, valamint az $R(-5,7)$ pontokon.

Keressük meg annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a $P(3,-3)$ valamint a $Q(8,2)$ ponton és középpontja az $2x-y=4$ egyenletű egyenesen van.

a) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja az origó, tengelye vízszintes, és \( x=3 \) a vezéregyenese.

b) Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja az origó, tengelye függőleges, és átmegy a \( P(4,-2) \) ponton.

a) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek tengelypontja a \( T(3,4) \) pont, és átmegy a \( P(9,10) \) ponton.

b) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű, felfelé nyitott parabolának az egyenletét, melynek fókuszpontja \( F(3,1) \), és átmegy a \( P(-1,4) \) ponton.

c) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek vezéregyenese \( y=2 \), és fókuszpontja \( F(1,8) \).

d) Adjuk meg annak a függőleges tengelyű parabolának az egyenletét, melynek vezéregyenese \( y=1 \), és tengelypontja \( T(3,5) \).

Az \( f(x)=x^2-12x+27 \) függvény grafikonja a derékszögű koordinátarendszerben parabola.

a) Számítsuk ki a parabola fókuszpontjának koordinátáit.

b) Írjuk fel a parabolához az \( E(5,-8) \) pontjában húzott érintő egyenletét!

Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, melynek egy pontja a \( P(1,-1) \), vezéregyenese \( y=-3 \) és a fókuszpontja rajta van az \( y=2x+1 \) egyenletű egyenesen.

Adjuk meg annak a parabolának az egyenletét, amely átmegy az \( A(-2,3) \), \( B(4,0) \) és \( C(8,8) \) pontokon, és tengelye az \( y \) tengellyel párhuzamos.

Egy felújításra váró függőhíd két támpillérének távolsága PV=200 m. A fő tartókábel alakja egy olyan parabolának az íve, melynek a tengelypontja a PV felezőpontja, tengelye pedig a PV felezőmerőlegese. A kábel tartópillérének legnagyobb magassága PQ=16 m, a felújításhoz PS=50 m széles védőhálót feszítenek ki. A tervek szerint a háló a QR íven felfüggesztett PQRS területet fedi majd be. Hány \(m^2 \) területű háló kell, ha a rögzítések miatt 8% veszteséggel kell számolnunk?

Számítsuk ki az alább látható, két egybevágó parabolaív alatti területet. A parabolák tengelye párhuzamos az \( AB \) szakasz szakaszfelezőmerőlegesével. Az \(AB= 8 m\), \(FC=6 m \), \(DE=2,5 m \).