Hatványsorok, Taylor-sorok
konvergenciasugár
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük, ahol $r$ a konvergenciasugár.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
konvergenciatartomány
Ha $x_0$ a hatványsor középpontja, akkor az $x_0$ pont $r$ sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Taylor polinom
Legyen $f(x)$ $k$-szor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt $k$-adfokú Taylor polinomja:
\( T(x) = \sum_{n=0}^k \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Taylor sor
Legyen $f(x)$ akárhányszor differenciálható egy $I$ intervallumon, ami tartalmazza az $a$ számot. Ekkor az $f(x)$ függvény $a$ pontban felírt Taylor sora:
\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \)
Nevezetes függvények Taylor sora
Az $e^x$, $\ln{x}$, $\sin{x}$ és $\cos{x}$ függvények Taylor sorai:
\( e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!} x^n } \quad \ln{x}=\sum_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (-1)^{n-1}}{n}(x-1)^n} \)
\( \cos{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(-1)^n}{ (2n)!} x^{2n}} \quad \sin{x} = \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{ (-1)^n}{ (2n+1)!} x^{2n+1}} \)
Lagrange-féle maradéktag
Ha $f(x)$ egymás után $k$-szor folytonosan differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és $k+1$-edszer differenciálható az $(a,b)$ nyílt intervallumon, akkor létezik olyan $c \in (a,b)$ amire
\( f(b) = T(b) + R(b) = \sum_{n=0}^{k} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (b-a)^n + \frac{ f^{(k+1)}(c)}{(k+1)!}(b-a)^{k+1} \)
Hatványsor
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
\( \sum{a_n (x-x_0)^n} \)
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
a) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n} (x-2)^n $$
b) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{ n^2 3^n } $$
c) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{ 2^n n! } $$
d) $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ 5^n (x+1)^{2n}}{ n^2 } $$
Adjuk meg az $ f(x)=\cos{x} $ függvény $a=0$ pontban felírt Taylor polinomját!
a) Írjuk fel az $ f(x)=e^x $ Taylor sorát $x=0$-nál.
b) Írjuk fel az $ f(x)=\ln{x} $ Taylor sorát $x=1$-nél.
Adjuk meg a következő függvények Taylor sorát!
a) \( f(x)=e^{x-3} \)
b) \( f(x)=\sin{(x+4)} \)
c) \( f(x)=e^{x^2-6x+13} \)
d) \( f(x)=e^{x-2} \quad x=3 \)
e) \( f(x)=\frac{1}{e^{4x-12} } \)
f) \( f(x)=\frac{1}{e^{x^2-8x} } \)
Adjuk meg a következő végtelen sorok összegét!
a) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{4^n}{n!} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} 4^n $$
b) $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n}{n} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-9)^n}{(2n+1)!} $$
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\frac{1}{4+5x^4} \)
b) \( f(x)= \frac{x^4}{3+4x^3} \)
c) \( f(x)=\frac{4}{x^2+6x+7} \)
Írjuk fel a nulla körüli hatványsorukat!
a) \( f(x)=\arctan{(4x)} \)
b) \( f(x)=\ln{(x+2)} \)
c) Adjuk meg az $ f(x)=\ln{(2x+5)} \; x_0=2 $ közepű és $x_0=-3 $ közepű hatványsorát!
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\arctan{(x+1)} \)
b) \( g(x)=\ln{(x+4)} \)
c) \( h(x)=\frac{1}{(x+4)^2} \)
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\frac{1}{x+4} \)
b) \( g(x)=\frac{x+6}{x+4} \)
c) \( h(x)=\frac{3x^4}{x+4} \)
Adjuk meg az alábbi függvények hatványsorát!
a) \( f(x)=\sqrt[3]{1+x} \)
b) \( f(x)=\sqrt[4]{16-x^2} \)
c) \( f(x)=\sqrt{9x^4-5x^6} \)
d) \( f(x)=\frac{4x^3}{\sqrt[4]{16-3x^6}} \)
Fejtsük sorba az alábbi függvényeket!
a) \( f(x)=\frac{1}{x+4} \)
b) \( g(x)=\frac{x+6}{x+4} \)
c) \( h(x)=\frac{3x^4}{x+4} \)
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{10^n}{n^10} \qquad \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{ 1 }{ \ln{n} } \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}+1}{n+1} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ \sin{n}}{n^2} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-2)^{n+1} }{n+5^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sqrt[n]{10} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^n (n+1)^n}{(2n)^n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{ (2n)! }{ 2^n n! n} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(n!)^2 3^n}{(2n+1)!} $$
Döntsük el, hogy konvergensek-e a következő végtelen sorok.
$$ \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln{n}}{n-\ln{n}} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-100)^n}{n!} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{\ln{n}}{\ln{n^2}}\right)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{n+2} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ (-1)^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n x^n}{n!} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n^2+4}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n(x+3)^n}{5^n} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{nx^n}{4^n(n^2+1)} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{n} (2x+5)^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-\pi)^n}{\sqrt{n}} $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^{n^2}}{(n+3)^{n^2}}x^n $$
Itt van egy hatványsor, és derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( (n+3)^n \cdot x \right)^n}{ (n+5)^{n^2}} $$
Azokat a végtelen sorokat, amelyek így néznek ki, hatványsornak nevezzük:
Itt van például egy hatványsor.
És derítsük ki, hogy mely x-ekre konvergens.
A hatványsoroknál általában a gyök kritérium szokott beválni.
Ha akkor
és itt úgy viselkedik, mint egy konstans, vagyis sajátmagához tart.
A sor akkor konvergens, ha ez kisebb, mint 1.
A sárgával jelölt tartományban helyezkednek el azok az x-ek amelyekre a sor konvergens.
Ezt hívjuk konvergencia-tartománynak.
Az pedig a konvergencia-sugár.
A kérdés, hogy vajon konvergens-e a sor a konvergencia-tartomány végpontjaiban?
Nos, ezt mindig még külön meg kell vizsgálni.
A jelek szerint ez egy Leibniz-sor, tehát konvergens.
Most lássuk a másik végpontot.
Nos, itt a sor divergens.
-t a hatványsor középpontjának nevezzük.
-ban a hatványsor mindig abszolút konvergens.
Az pont sugarú környezetét konvergencia tartománynak nevezzük.
A konvergencia tartomány belső pontjaiban a hatványsor abszolút konvergens, a végpontokat pedig külön kell vizsgálni.
Lássuk mi a helyzet ezzel:
Megint gyök kritérium:
És most jöhetnek a végpontok.
Az ebben a végpontban kapott sor konvergens, sőt abszolút konvergens.
A másik végpontban szintén.
Itt jön aztán egy olyan hatványsor, amire nem lesz jó a gyök kritérium.
Az miatt itt a hányados kritérium lesz a nyerő.
Írhatunk x helyére bármilyen számot, ez mindig teljesülni fog.
A jelek szerint tehát a sor miden x-re konvergens.
