Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Matek érettségi
  • Mire jó a matek?
  • Hogyan működik a mateking?
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Szülőknek
  • Egyetemistáknak
  • Középiskolásoknak
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

GTK matek 2

Kategóriák
  • Improprius integrálok
  • Numerikus sorok
  • Komplex számok
  • Vektorok, egyenesek, síkok
  • Mátrixok, vektorok
  • Lineáris tér, függetlenség
  • Lineáris egyenletrendszerek, mátrix inverze
  • Determináns, adjungált, kvadratikus alakok
  • Sajátérték, sajátvektor, diagonalizálás
  • Többváltozós függvények
  • Hatványsorok, Taylor-sorok
  • Számsorozatok

Többváltozós függvények

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
A kétváltozós függvények és a parciális deriválás
02
 
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 1.0
03
 
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 2.0
04
 
Feltételes szélsőérték, Lagrange multiplikátor
05
 
Az érintősík egyenlete
06
 
Gradiensvektor, iránymenti derivált
08
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
09
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
10
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
11
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
12
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
13
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
14
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
15
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
16
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
17
 
FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai
18
 
Gazdasági feladat kétváltozós függvényekkel

Kétváltozós függvény

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint a sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x, y sík felett a függvény, ami egy felület.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Parciális deriválás a gyakorlatban

Az $ f(x,y) $ függvény $x$ szerinti parciális deriváltja:

\( f'_x (x,y) \)

Ez azt jelenti, hogy $x$ szerint deriválunk, $y$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $x$-essel, akkor marad

Az $ f(x,y) $ függvény $y$ szerinti parciális deriváltja:

\( f'_y (x,y) \)

Ez azt jelenti, hogy $y$ szerint deriválunk, $x$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $y$-ossel, akkor marad

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Young-tétel

A Young-tétel szerint vegyes másodrendű deriváltak egyenlők (egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható):

\( f''_{xy} (x,y) = f''_{yx} (x,y) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Hesse mátrix

A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.

\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai

Első lépés:

\( \frac{ \delta f}{\delta x} = f'_x (x,y) \qquad \frac{ \delta f}{ \delta y} = f'_y (x,y) \)


Második lépés:

\( f'_x (x,y)=0 \)

\( f'_y (x,y)=0 \)

Az egyenletrendszer megoldásai a stacionárius pontok


Harmadik lépés:

\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} > 0$, akkor lokális minimum van.

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} < 0$, akkor lokális maximum van.

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ negatív, akkor nyeregpont van.

Ha $ det  \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Stacionárius pont kétváltozós függvényre

Az $f(x,y)$ függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla, az $f(x,y)$ függvény stacionárius pontjainak nevezzük.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Stacionárius pont többváltozós függvényre

Ha az $f$ többváltozós függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontban léteznek $f$ első parciális deriváltjai és

\( \delta_1 f(x_0)= \delta_2 f(x_0) = \dots = \delta_k f(x_0) = 0 \)

akkor $x_0$ az $f$ többváltozós függvény stacionárius pontja.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Az érintősík egyenlete

Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:

\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Gradiensvektor

Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.

Íme a derivált-vektor:

\( \underline{f}'(x_0,y_0)= \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \quad \text{röviden} \quad \underline{f}'=\begin{bmatrix} f'_x \\ f'_y \end{bmatrix} \)

A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Iránymenti derivált

Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.

Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja az $(x_0,y_0)$ pontban:

\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{v} } = \underline{f}'(x_0, y_0) \cdot \underline{v} \)

(Itt $\underline{v}$ egységvektor)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Implicit függvény

Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Implicit függvény derivátlja

Ha $F(x,y)=0$ egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:

\( \frac{ \delta y }{\delta x} = - \frac{ F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} \qquad \frac{ \delta x}{ \delta y} = - \frac{ F'_y(x,y)}{F'_x(x,y)} \)

 

Ha $F(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})=0$ egy $n$ változós implicit függvény, akkor az $x_i$, mint implicit függvény deriváltja az $x_j$ változó szerint:

\( \frac{ \delta x_i}{ \delta x_j} = - \frac{ F'_j (x_1, x_2, \dots , x_{n+1} ) }{ F'_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1} )} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Deriváljuk a következő függvényeket.

a) \( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)

b) \( f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^3+y^3-3xy \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

a) \( f(x,y)=x^4+y^4-4xy \)

b) \( f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.

a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$

b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!

b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Adjuk meg az $e^x+y^2=x^3+\ln{y}$ implicit függvény deriváltját!

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

\( f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma


A kétváltozós függvények és a parciális deriválás

TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI

A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.

Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.

Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.

A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy

harmadik koordinátát, egy magasságot.

Az értelmezési tartomány minden pontjához                                

hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,

kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.

Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-

örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan

tulajdonságok, amik nem.

Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről

ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.

A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.

Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,

míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.

Lássunk néhány kétváltozós függvényt.

LOKÁLIS MINIMUM                              

NYEREGPONT                         

LOKÁLIS MAXIUM

A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,

vagy éppen ilyen nyeregpontja.

Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,

itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,

ami kétszer olyan szórakoztató lesz.

Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.

Lássuk a parciális deriváltakat.

PARCIÁLIS DERIVÁLTAK

Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

   a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans

x szerint deriválunk,                                         

y most csak konstansnak számít,                       

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla                  

ha szorozva van valami x-essel, akkor marad      

AZ  FÜGGVÉNY  SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA

a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans

y szerint deriválunk,

x most csak konstansnak számít,

ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla

ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad             

A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.

Íme.

Mindkét jelölést használni fogjuk.

Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.

ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK

MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK

Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.

Így négy darab második deriváltat kapunk.

Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,

a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.

A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.

Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.

De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.

Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.


Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 1.0

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai 2.0

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Gazdasági feladat kétváltozós függvényekkel

Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.

Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.

Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken

lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.

az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok

És most jöhetnek a második deriváltak.

Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.

Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.

Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.

Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.

Itt egy 2X2-es mátrix,

aminek a determinánsa egy szám.

Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Mondjuk ennek a mátrixnak itt

a determinánsa -14.

Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.

Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.

.

Ha negatív, akkor nyeregpont.

Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.

Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.

És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.

Nos úgy tűnik  nyeregpont.

És  lokális minimum.

Lássunk még egy ilyet.

Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.

Íme a stac. pontok:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Nos nézzünk meg még egyet.

Íme a stac. pont:

És most jöhetnek a második deriváltak.

És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.

Hopp, ez egy lokális minimum.

pontot

X és y helyére is egyet írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum

deriválunk

megoldjuk az egyenletrendszert

                  , ,

                 , ,

két stac. pont:  és

lássuk Jacobi-mátrixot:

lássuk a stac. pontokat!

először nézzük meg a  pontot.

X, y és z helyére is nullát írunk:

Ez egy indefinit, vagyis  nyeregpont

aztán lássuk  pontot

X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:       

Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum


Az érintősík egyenlete

Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.

Az függvényhez a  pontban húzott érintő egyenlete:

Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.

A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.

az egyváltozós függvényeknél a Az  függvényt a pontban érintő sík egyenlete:

Nos ez az érintősík egyenlete.

Lássunk egy példát.

Itt van mondjuk ez a függvény:

és keressük az érintősíkot a pontban.

Itt jön az érintősík egyenlete,

és ezeket kell kiszámolnunk.

Nos ez az érintősík egyenlete:

Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,

akkor láthatjuk a sík normálvektorát.

És íme a normálvektor:

Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,

a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.

Milyen  paraméter esetén halad át a  pontban, az

 függvényhez húzott érintő az  ponton?

Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.


Gradiensvektor, iránymenti derivált

A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT

Az  függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort

derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.

Íme a derivált-vektor:

, röviden .

A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani

az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált

azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-

leges  irány mentén milyen meredeken emelkedik

a függvény felülete.

Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,

aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a

 irányban indul el.

Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.

Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a  egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.

Az  függvény  iránymenti deriváltja az  pontban:

       (itt  egységvektor)                  

Lássunk erre egy példát!

Számoljuk ki az   iránymenti deriváltját a  irány szerint az  pontban. 

A képlet szerint az iránymenti derivált

Itt ez a fura  jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is

az iránymenti deriváltra: .

A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.

A derivált-vektor tehát

Eddig jó.

Most lássuk a vektort.

A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.

Mivel azonban most  nem egységnyi hosszúságú,

ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.

Elosztjuk saját hosszával:

Az iránymenti derivált tehát:

Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…

erre éppen tudunk válaszolni.

A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.

Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor

irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.

tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.


FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

FELADAT | Kétváltozós függvények lokális szélsőértékhelyei és nyeregpontjai

Feltételes szélsőérték, Lagrange multiplikátor

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim