Többváltozós függvények
Kétváltozós függvény
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot. Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint a sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát, kirajzolódik az x, y sík felett a függvény, ami egy felület.
Parciális deriválás a gyakorlatban
Az $ f(x,y) $ függvény $x$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_x (x,y) \)
Ez azt jelenti, hogy $x$ szerint deriválunk, $y$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $x$-essel, akkor marad
Az $ f(x,y) $ függvény $y$ szerinti parciális deriváltja:
\( f'_y (x,y) \)
Ez azt jelenti, hogy $y$ szerint deriválunk, $x$ most csak konstansnak számít, ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla, ha szorozva van valami $y$-ossel, akkor marad
Young-tétel
A Young-tétel szerint vegyes másodrendű deriváltak egyenlők (egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható):
\( f''_{xy} (x,y) = f''_{yx} (x,y) \)
Hesse mátrix
A másodrendű deriváltakból képzett mátrix, amely segít eldönteni, hogy a függvénynek a stacionárius pontokban minimuma, maximuma, vagy éppen nyeregpontja van-e.
\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)
Kétváltozós függvények lokális szélsőértékei és nyeregpontjai
Első lépés:
\( \frac{ \delta f}{\delta x} = f'_x (x,y) \qquad \frac{ \delta f}{ \delta y} = f'_y (x,y) \)
Második lépés:
\( f'_x (x,y)=0 \)
\( f'_y (x,y)=0 \)
Az egyenletrendszer megoldásai a stacionárius pontok
Harmadik lépés:
\( \underline{f}''= \begin{bmatrix} f''_{xx}(x,y) & f''_{xy}(x,y) \\ f''_{yx}(x,y) & f''_{yy}(x,y) \end{bmatrix} \)
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} > 0$, akkor lokális minimum van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ pozitív, és $f''_{xx} < 0$, akkor lokális maximum van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ negatív, akkor nyeregpont van.
Ha $ det \begin{bmatrix} f''_{xx} & f''_{xy}\\ f''_{yx} & f''_{yy} \end{bmatrix} $ nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Stacionárius pont kétváltozós függvényre
Az $f(x,y)$ függvény értelmezési tartományának azon pontjait, ahol mindkét parciális derivált nulla, az $f(x,y)$ függvény stacionárius pontjainak nevezzük.
Stacionárius pont többváltozós függvényre
Ha az $f$ többváltozós függvénynek az $x_0 \in D_f$ pontban léteznek $f$ első parciális deriváltjai és
\( \delta_1 f(x_0)= \delta_2 f(x_0) = \dots = \delta_k f(x_0) = 0 \)
akkor $x_0$ az $f$ többváltozós függvény stacionárius pontja.
Az érintősík egyenlete
Az $f(x)$ függvényhez a $P(x_0,y_0, z_0)$ pontban húzott érintősík egyenlete:
\( z=f'_x (x_0,y_0)(x-x_0) + f'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+f(x_0,y_0) \)
Gradiensvektor
Az $f(x,y)$ függvény $x$ és $y$ szerinti deriváltjaiból álló vektort derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
\( \underline{f}'(x_0,y_0)= \begin{bmatrix} f'_x(x_0,y_0) \\ f'_y(x_0,y_0) \end{bmatrix} \quad \text{röviden} \quad \underline{f}'=\begin{bmatrix} f'_x \\ f'_y \end{bmatrix} \)
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani az iránymenti deriváltat.
Iránymenti derivált
Az iránymenti derivált azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetszőleges $\underline{v}$ irány mentén milyen meredeken emelkedik a függvény felülete.
Az $f(x,y)$ függvény $\underline{v}$ iránymenti deriváltja az $(x_0,y_0)$ pontban:
\( \frac{ \delta f(x_0,y_0)}{\delta \underline{v} } = \underline{f}'(x_0, y_0) \cdot \underline{v} \)
(Itt $\underline{v}$ egységvektor)
Implicit függvény
Egy függvény akkor implicit, ha $y$ nincs kifejezve, vagyis nem $y=\dots$ alakú.
Implicit függvény derivátlja
Ha $F(x,y)=0$ egy egyváltozós implicit függvény, akkor deriváltja:
\( \frac{ \delta y }{\delta x} = - \frac{ F'_x(x,y)}{F'_y(x,y)} \qquad \frac{ \delta x}{ \delta y} = - \frac{ F'_y(x,y)}{F'_x(x,y)} \)
Ha $F(x_1,x_2,\dots,x_{n-1})=0$ egy $n$ változós implicit függvény, akkor az $x_i$, mint implicit függvény deriváltja az $x_j$ változó szerint:
\( \frac{ \delta x_i}{ \delta x_j} = - \frac{ F'_j (x_1, x_2, \dots , x_{n+1} ) }{ F'_i (x_1, x_2, \dots, x_{n+1} )} \)
Deriváljuk a következő függvényeket.
a) \( f(x,y)=x^5+y^6+xy^3-x^3y^4+12 \)
b) \( f(x,y)=x^4+y^2+2xy^6-x^3y^4 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^3+y^3-3xy \)
Keressük a következő függvények lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
a) \( f(x,y)=x^4+y^4-4xy \)
b) \( f(x,y)=e^{x-2}-x+\ln{\left( y^2+1 \right)} \)
Keressük a következő függvények feltételes szélsőértékhelyeit.
a) $ f(x,y)=xy+12$, a feltétel: $x^2+y^2=8$
b) $ f(x,y)=12-x^2-y^2 $, a feltétel: $x-y-4=0$
a) Adjuk meg az $f(x,y)=x^3-x^2y^4+4y^3$ függvény $(2,1)$ pontbeli értintősíkjának egyenletét!
b) Milyen $ \alpha $ paraméter esetén halad át a $ P(0,1,1)$ pontban az $f(x,y)= \ln{ \left( \alpha \cdot x +y^2 \right) } + y e^x $ függvényhez húzott érintő az $R(1,0,1)$ ponton?
Számoljuk ki az $ f(x,y)=x^4-x^2y^3+\ln{x} $ iránymenti deriváltját a $ \underline{v}=(3,4) $ irány szerint az $(1,2)$ pontban.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x+2y+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^2+y^2+\frac{1}{x^2\cdot y^2} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)= \left( x^2-6x \right) \cdot \left( y^2-4y \right) \qquad x,y>0 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x^3+y^2+6xy+4 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=-x^3+30xy-30y^2+10 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=2x^2y+2xy-3y^2+10 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=x^3+2xy-4x^2-y^2 \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=xy^2-y^2-2\ln{(xy)} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=-8x+y+\frac{1}{x^2y} \)
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
\( f(x,y)=6xy-3x^2y-y^3 \)
Egy üzemben kétféle terméket állítanak elő. Ha az $A$ típusú eladási ára \$x a $B$ típusúé \$y, akkor az alkalmazott áraktól függően az $A$ típusból $f(x,y)=29-3x+y$, a $B$ típusból pedig $g(x,y)=16+x-4y$, az eladható heti mennyiség 1000 darabban van megadva. Milyen eladási árakat kell alkalmazni, hogy a profit maximális legyen, ha az $A$ típusú termék előállítási költése \$2/darab míg a $B$ típusúé \$1/darab?
TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DERIVÁLÁSA ÉS LOKÁLIS SZÉLSŐÉRTÉKEI
A kétváltozós függvények úgy működnek, hogy két valós számhoz rendelnek hozzá egy harmadik valós számot.
Másként fogalmazva számpárokhoz rendelnek hozzá egy harmadik számot.
Ezeket a számpárokat tekinthetjük úgy, mint egy sík pontjainak koordinátáit.
A kétváltozós függvények ennek a síknak a pontjaihoz rendelnek hozzá egy
harmadik koordinátát, egy magasságot.
Az értelmezési tartomány minden pontjához
hozzárendelve ezt a harmadik, magasság koordinátát,
kirajzolódik az x,y sík felett a függvény, ami egy felület.
Az egyváltozós függvények bizonyos tulajdonságai át-
örökíthetőek a kétváltozós esetre, míg vannak olyan
tulajdonságok, amik nem.
Nincs értelme például kétváltozós esetben monotonitásról beszélni, egy felületről
ugyanis nehéz lenne eldönteni, hogy éppen nő-e vagy csökken.
A minimum és maximum fogalma viszont már átörökíthető.
Egy kétváltozós függvény maximumát úgy kell elképzelnünk, mit egy hegycsúcsot,
míg a minimumát pedig úgy, mint egy völgyet.
Lássunk néhány kétváltozós függvényt.
LOKÁLIS MINIMUM
NYEREGPONT
LOKÁLIS MAXIUM
A feladatunk az lesz, hogy kiderítsük, hol van a kétváltozós függvényeknek minimuma, maximuma,
vagy éppen ilyen nyeregpontja.
Az egyváltozós függvényekhez hasonlóan most is deriválni kell majd,
itt viszont van x és y is, így hát x szerint és y szerint is fogunk deriválni,
ami kétszer olyan szórakoztató lesz.
Ezeket a deriváltakat parciális deriváltaknak nevezzük.
Lássuk a parciális deriváltakat.
PARCIÁLIS DERIVÁLTAK
Deriváljuk mondjuk ezt a függvényt.
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során x-et deriváljuk, és y csak konstans
x szerint deriválunk,
y most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami x-essel, akkor marad
AZ FÜGGVÉNY SZERINTI PARCIÁLIS DERIVÁLTJA
a deriválás során y-t deriváljuk, és x csak konstans
y szerint deriválunk,
x most csak konstansnak számít,
ha önállóan áll, akkor deriváltja nulla
ha szorozva van valami y-ossal, akkor marad
A parciális deriváltak jelölésére forgalomban van egy másik jelölés is.
Íme.
Mindkét jelölést használni fogjuk.
Itt jön egy másik függvény, deriváljuk ezt is.
ELSŐRENDŰ DERIVÁLTAK
MÁSODRENDŰ DERIVÁLTAK
Mindkét elsőrendű parciális deriváltat tovább deriválhatjuk x szerint is és y szerint is.
Így négy darab második deriváltat kapunk.
Ezek közül a két szélső az úgynevezett tiszta másodrendű derivált,
a két középső pedig a vegyes másodrendű derivált.
A vegyes másodrendű deriváltak általában egyenlők.
Nos egészen pontosan akkor egyenlők, ha a függvény kétszer totálisan deriválható.
De inkább azt jegyezzük meg, hogy mindig egyenlők, kivéve a csak profiknak szóló részben, ahol a többváltozós deriválás precíz megfogalmazásáról lesz szó.
Most pedig lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Lássuk, hogyan találjuk meg a lokális minimumokat és maximumokat a parciális deriválás segítségével.
Az így kapott számpárok az x,y sík pontjai.
Ezeket a pontokat stacionárius pontoknak nevezzük és ezeken a helyeken
lehet a függvénynek minimuma, maximuma vagy nyeregpontja.
az egyenletrendszer megoldásai a stac. pontok
És most jöhetnek a második deriváltak.
Ízlésesen elrendezzük őket egy mátrixban, aminek a neve Hesse mátrix.
Aztán pedig behelyettesítjük a stac. pontokat.
Ezeknek a mátrixoknak kell megnézni a... hát igen, a determinánsát.
Ha valaki véletlenül nem hallott volna a mátrixok determinánsáról, nos ez végülis érthető, a dolog nagyon egyszerű.
Itt egy 2X2-es mátrix,
aminek a determinánsa egy szám.
Ez a szám lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Mondjuk ennek a mátrixnak itt
a determinánsa -14.
Kiszámoljuk a Hesse mátrix determinánsát, ami lehet pozitív, negatív vagy nulla.
Ha pozitív, akkor szélsőérték van, ami lehet minimum és lehet maximum.
.
Ha negatív, akkor nyeregpont.
Ha nulla, akkor további vizsgálat szükséges, de ilyen nem nagyon szokott lenni.
Megpróbáljuk ezt összefoglalni ezen a pici helyen itt.
És most lássuk mi a helyzet a két stacionárius pontban.
Nos úgy tűnik nyeregpont.
És lokális minimum.
Lássunk még egy ilyet.
Keressük a következő függvény lokális szélsőértékhelyeit és nyeregpontjait.
Íme a stac. pontok:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Nos nézzünk meg még egyet.
Íme a stac. pont:
És most jöhetnek a második deriváltak.
És most lássuk mi a helyzet a stacionárius pontokban.
Hopp, ez egy lokális minimum.
pontot
X és y helyére is egyet írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
deriválunk
megoldjuk az egyenletrendszert
, ,
, ,
két stac. pont: és
lássuk Jacobi-mátrixot:
lássuk a stac. pontokat!
először nézzük meg a pontot.
X, y és z helyére is nullát írunk:
Ez egy indefinit, vagyis nyeregpont
aztán lássuk pontot
X és y helyére 1-et, z helyére nullát írunk:
Ez egy pozitív definit, vagyis lokális minimum
Ha még emlékszünk rá, a derivált geometriai jelentése egyváltozós függvények esetében az érintő meredeksége volt.
Az függvényhez a pontban húzott érintő egyenlete:
Az egyváltozós függvények érintője egy egyenes, a kétváltozós függvények érintője egy sík.
A koordináták száma pedig eggyel nagyobb, tehát nem x és y, hanem x, y és z.
az egyváltozós függvényeknél a Az függvényt a pontban érintő sík egyenlete:
Nos ez az érintősík egyenlete.
Lássunk egy példát.
Itt van mondjuk ez a függvény:
és keressük az érintősíkot a pontban.
Itt jön az érintősík egyenlete,
és ezeket kell kiszámolnunk.
Nos ez az érintősík egyenlete:
Ha felbontjuk a zárójeleket és nullára rendezzük,
akkor láthatjuk a sík normálvektorát.
És íme a normálvektor:
Az első két koordináta az x és y szerinti derivált,
a harmadik koordináta pedig mindig mínusz egy.
Milyen paraméter esetén halad át a pontban, az
függvényhez húzott érintő az ponton?
Egy sík akkor megy át egy ponton, ha az adott pont koordinátáit a sík egyenletébe helyettesítve az teljesül.
A DERIVÁLT-VEKTOR ÉS AZ IRÁNYMENTI DERIVÁLT
Az függvény x és y szerinti deriváltjaiból álló vektort
derivált-vektornak vagy másként gradiensnek hívjuk.
Íme a derivált-vektor:
, röviden .
A derivált-vektor segítségével tudjuk kiszámítani
az iránymenti deriváltat. Ez az iránymenti derivált
azt jelenti, hogy egy általunk megadott tetsző-
leges irány mentén milyen meredeken emelkedik
a függvény felülete.
Arról van tehát szó, hogy van egy hegymászó,
aki a P pontban áll a felületen és úgy dönt, hogy a
irányban indul el.
Az iránymenti derivált azt mondja meg, hogy milyen meredeken kell mennie.
Az iránymenti derivált kiszámolása nagyon egyszerű, a derivált-vektor és a egységnyi hosszú vektor skaláris szorzata.
Az függvény iránymenti deriváltja az pontban:
(itt egységvektor)
Lássunk erre egy példát!
Számoljuk ki az iránymenti deriváltját a irány szerint az pontban.
A képlet szerint az iránymenti derivált
Itt ez a fura jel a deriválás jele és d-nek kell mondani, de van egy kicsit barátságosabb jelölés is
az iránymenti deriváltra: .
A derivált-vektor kiszámolásához kellenek a parciális deriváltak.
A derivált-vektor tehát
Eddig jó.
Most lássuk a vektort.
A képletben szereplő vektornak egységnyi hosszúságúnak kell lenni.
Mivel azonban most nem egységnyi hosszúságú,
ezért csinálunk belőle egységnyi hosszúságú vektort.
Elosztjuk saját hosszával:
Az iránymenti derivált tehát:
Ha a hegymászó fölteszi nekünk azt a kérdést, hogy milyen irányban kell a P pontból elindulnia ahhoz, hogy a legmeredekebben másszon, nos…
erre éppen tudunk válaszolni.
A felület mindig a gradiens vektor irányában emelkedik a legmeredekebben.
Ha tehát a hegymászó a gradiens vektor
irányában indul el, akkor fog a legmeredekebben menni fölfelé.
tehát ilyen meredeken megy a hegymászó.
