Barion Pixel Középiskolai matek (teljes) | mateking
 

Középiskolai matek (teljes)

52 témakör, 645 rövid és szuper érthető epizód
Ezt a nagyon laza Középiskolai matek (teljes) kurzust úgy terveztük meg, hogy egy csapásra megértsd a lényeget. Tudásszinttől függetlenül, teljesen az alapoktól magyarázzuk el a tananyagot, a saját ritmusodban lépésről lépésre. Így tudjuk a legbonyolultabb dolgokat is elképesztően egyszerűen elmagyarázni.
7 980 Ft fél évre

Tartalomjegyzék: 

A kurzus 52 szekcióból áll: Algebra, betűs kifejezések használata, Nevezetes azonosságok, Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak, Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés, Halmazok, Gráfok, Bizonyítási módszerek, matematikai logika, Számelmélet, számrendszerek, Elsőfokú egyenletek, Elsőfokú függvények, Függvények ábrázolása, Másodfokú egyenletek, Egyenlőtlenségek, Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai, Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek, A kör, A Pitagorasz-tétel, Egybevágósági transzformációk, Mértékegységek és mértékegység-átváltás, Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek, Egyenletrendszerek, Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek, Szöveges feladatok, Középpontos hasonlóság, Trigonometria a síkgeometriában, Kombinatorika, Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek, Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek, Százalékszámítás, Kamatos kamat és pénzügyi számítások, Számtani és mértani sorozatok, Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek, Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt), Szinusztétel és koszinusztétel, Feladatok függvényekkel, Vektorok, Koordinátageometria, Térgeometria, Statisztika, Valószínűségszámítás, A geometriai valószínűség, A várható érték, A parabola (emelt szint), A teljes indukció (emelt szint), Vegyes emelt szintű feladatok, Sorozatok határértéke (emelt szint), Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint), Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint), Deriválás (emelt szint), Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint), Függvények érintője (emelt szint), Az integrálás (emelt szint)

HALMAZOK ÉS GRÁFOK

  • Mese a halmazokról - Mik azok a halmazok? Halmazok metszete, uniója, különbsége, részhalmazok, műveletek halmazokkal.
  • Amit a gráfokról tudni érdemes - Mik azok a gráfok? Élek, csúcsok, utak, fa, egyszerű gráfok, fokszám, feladatok gráfokkal.

FÜGGVÉNYEK

MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLETRENDSZEREK

  • Az elsőfokú egyenlet - Elsőfokú egyenletek megoldása, a mérleg elv. Törtes egyenletek megoldása.
  • A másodfokú egyenlet - Másodfokú egyenletek megoldása, a másodfokú egyenlet megoldóképlete, törtes egyenletek, másodfokúra vezető egyenletek megoldása, egyenletrendszerek.

EGYENLŐTLENSÉGEK

  • Az egyenlőtlenségek megoldása - Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.
  • Néhány feladat egyenlőtlenségekre - Itt jön néhány izgalmas feladat, ahol gyakoroljuk az egyenlőtlenségek megoldását.

ABSZOLÚTÉRTÉKES EGYENLETEK

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

  • Hatványazonosságok - Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.
  • Exponenciális egyenletek megoldása - Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

LOGARITMIKUS EGYENLETEK

  • Mi az a logaritmus? - Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.
  • Logaritmusos egyenletek megoldása - Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

GYÖKÖS EGYENLETEK

  • Gyökös azonosságok - Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a gyökös azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a gyökös kifejezéseknél, hogyan néz ki a gyök függvény.
  • Gyökös egyenletek megoldása - Megnézzük, hogy milyen izgalmak fordulhatnak elő a gyökös egyenletek világában. Hogyan kell megoldani egy gyökös egyenletet? Mikor lehet egy egyenletet négyzetre emelni? Milyen kikötéseket kell tenni egy gyökös egyenlet megoldásánál? Törtes gyökös egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek.

TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK

  • Az egység sugarú kör - Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?
  • Szinusz, koszinusz - A szinusz és koszinusz definíciója egység sugarú körben. Nevezetes szögek szinusza és koszinusza. Trigonometrikus azonosságok. Trigonometrikus egyenletek megoldása.

A TELJES INDUKCIÓ

  • Mi az a teljes indukció? - Megnézzük, hogyan működik a teljes indukció és mik a teljes indukciós bizonyítás lépései. Mi az az indukciós feltevés? Hogyan lehet végtelen sok állítást három lépésben igazolni. Teljes indukciós feladatok. Teljes indukciós egyenlőtlenségek.

SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK

SÍKGEOMETRIA

  • Szinusz és koszinusz a síkgeometriában - Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a szinusz és a koszinusz. Mire jó a szinusz és a koszinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása szinusz és koszinusz szögfüggvények segítségével.
  • Szinusz derékszögű háromszögekben - Egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó arányát a szög szinuszának nevezzük.
  • Koszinusz derékszögű háromszögekben - Egy derékszögű háromszögben a szög melletti befogó és az átfogó arányát a szög koszinuszának nevezzük.
  • Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai - Megismerkedünk a háromszögek nevezetes vonalaival és pontjaival. Megnézzük, hogy mi az a magasságvonal és mi a magasságpont. Megnézzük, hogy mi az a súlyvonal és mi a súlypont. Megnézzük, hogy mi az oldalfelező merőleges és a szögfelező és kiderül, hogy melyik pont a háromszög köré írható kör valamint a háromszögbe írható kör középpontja. Nézünk különböző területképleteket háromszögekre, végül jön néhány trapéz is.

SZINUSZTÉTEL ÉS KOSZINUSZTÉTEL

  • A szinusztétel és a koszinusztétel - A derékszögű háromszögekben használt szinusz és koszinusz fogalmát átültetjük általános háromszögekre két nagyon izgalmas tétel segítségével. Az egyik a szinusztétel, a másik a koszinusztétel. Megnézzük, hogy mikor érdemes a szinusztételt és mikor érdemes a koszinusztételt használni. Szinusztételes feladatok. Koszinusztételes feladatok. Vegyes feladatok szinusztétellel és koszinusztétellel.
  • Mikor használjuk a szinusztételt? - Itt jön néhány példa arra, hogy mikor használjuk a szinusztételt.
  • Mikor használjuk a koszinusztételt? - Megnézzük, hogy mi az a koszinusztétel és mikor érdemes használni.

TÉRGEOMETRIA

  • Gúlák és hasábok - Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.
  • Gúlák térfogata - Lássuk, hogyan kell kiszámolni a gúlák térfogatát.
  • Gúlák felszíne - Nézzük, hogyan kell kiszámolni a gúlák felszínét.
  • Hasábok térfogata - Lássuk, hogyan kell kiszámolni a hasábok térfogatát.
  • Hasábok felszíne - Na és itt jön a hasábok felszíne.
  • Kúpok és hengerek térfogata és felszíne - Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

KOORDINÁTAGEOMETRIA

KOMBINATORIKA

  • Kombinatorikai összefoglaló - Mik ezek és mire lehet őket használni? Kombinatorika feladatok megoldása lépésről-lépésre. Permutációkkal kapcsolatos feladatok, variációkkal kapcsolatos feladatok, kombinációval kapcsolatos feladatok, ismétléses permutáció, ismétléses variáció.
  • Permutáció - Példák ismétlés nélküli és ismétléses permutációkra.
  • Variáció - Lássuk, hogy mi az ismétlés nélküli és az ismétléses variáció.
  • Permutáció - Példák ismétlés nélküli és ismétléses permutációkra.
  • Kombináció - Izgalmas feladatok kombinációkkal.

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS

STATISZTIKA

  • Mi az amit statisztikából tudni kell? - Itt kiderül, hogy mi az a módusz és mi a medián, hogyan kell átlagot és szórást számolni. Megnézzük, hogy mi a súlyozott átlag, hogyan kell kiszámolni. Készítünk oszlopdiagramot, kördiagramot, hisztogramot, és megnézzük mire jók ezek valójában.
  • Módusz - Ez a leggyakoribb érték. Nade mi is az, és hogyan kell kiszámolni?
  • Medián - A medián a sorba rendezett adatsor középső értéke. De mi is ez pontosan?
  • Átlag, súlyozott átlag - Lássuk, mi az átlag és mi a súlyozott átlag.
  • Szórás - Egy nagyon izgalmas dolog: a szórás.

Algebra, betűs kifejezések használata

  • -

    Ha több művelet szerepel egymás mellett, akkor a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk őket.

    A műveleti sorrendben a zárójel az első.

    Ezt követik a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.

    Az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.

  • -

    Az együttható a betűs kifejezés előtt álló szám.

  • -

    Az algebrai kifejezésekben a betűket változóknak nevezzük.

  • -

    A betűs kifejezéseket nevezzük algebrai kifejezéseknek.

  • -

    Az önmagában álló számokat nevezzük konstansnak.

  • -

    Egynemű kifejezések azok a betűs kifejezések, amik csak az együtthatójukban különböznek.

  • -

    Az egynemű kifejezések mindig összevonhatóak.

  • -

    A kiemelés a zárójelfelbontás megfordítása.

  • -

    Törtek és algebrai törtek egyszerűsítésének módszerei.

  • -

    Ha a törtekből nem lett volna elég, itt jönnek az algebrai törtek.

  • -

    Ha a szorzás mindkét tényezője többtagú, akkor az első tényező első tagjával szorozzuk végig a másik tényező tagjait, majd pedig folytatjuk az első tényező második tagjával.

  • -

    A helyettesítési érték azt jelenti, hogy a betűs kifejezés helyére írjuk be a behelyettesítendő értéket.

Nevezetes azonosságok

Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak

  • -

    A hatványozás a szám önmagával vett szorzatait rövidíti.

  • -

    Ha azonos alapú hatványokat szorzunk, akkor a kitevők összeadódnak.

  • -

    Ha azonos alapú hatványokat osztunk, akkor a kitevők kivonódnak.

  • -

    Hatvány hatványa a kitevők szorzata.

  • -

    Minden nem nulla szám nulladik hatványa 1.

  • -

    Egy nem nulla szám negatív egész kitevőjű hatványát úgy számolhatjuk ki, hogy a reciprokát a kitevő ellentettjére emeljük.

  • -

    Ha egy szorzat mindkét tényezője ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

  • -

    Ha egy törtnek a számlálója és nevezője is ugyanarra a hatványra van emelve, akkor a hatványt leírhatjuk csak egyszer zárójellel.

  • -

    A túl nagy vagy éppen túl pici számok leírására találták ki a normálalakot.

Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés

  • -

    Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

  • -

    Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

  • -

    Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

Halmazok

  • -

    Az A és B halmazok uniója: Azon elemek halmaza, amelyek legalább az egyik halmazban benne vannak. Az A és B halmazok metszete: Azon elemek halmaza, amelyek mindkét halmazban benne vannak. Az A és B halmazok különbsége: Azon elemek halmaza, amelyek az A halmazba benne vannak, de a B halmazba nem. Az A halmaz komplementere a H alaphalmazon nézve: Az alaphalmaz azon elemeinek halmza, amelyek nincsenek benne az A-ban.

  • -

    A logikai szita formula a halmazok elemszámának meghatározását segítő képlet.

  • -

    Az első De Morgan azonosság azt mondja, hogy a metszet komplementere pont megegyezik a komplementrek uniójával. A második De Morgan azonosság pedig azt mondja, hogy az unió komplementere éppen megegyezik a komplementerek metszetével.

  • -

    Egy halmaz összes részhalmazainak halmazát hatványhalmaznak nevezzük.

  • -

    Az A és B halmazok Descartes-szorzata úgy működik, hogy elkészítjük az összes lehetséges rendezett párt, aminek az első elemét A-ból, a második elemét pedig B-ből vesszük, és ezeket a rendezett párokat betesszük egy halmazba.

  • -

    Az f halmazt függvénynek nevezzük, ha minden eleme rendezett pár és minden x-hez csak egy y tartozik.

Gráfok

  • -

    A gráf csúcsokból és azokat összekötő élekből áll.

  • -

    Egy gráf összefüggő, ha bármelyik csúcsából el lehet jutni bármelyik másik csúcsába élek mentén.

  • -

    A gráf egy csúcsának fokszáma a gráf e csúcsában összefutó élek száma.

  • -

    Egy gráfban körnek nevezünk egy olyan utat, amely csupa különböző csúcsokon és éleken haladva visszavezet a kiinduló csúcsába.

  • -

    Ha egy gráfban nincs kör, de maga a gráf összefüggő, akkor fának nevezzük.

  • -

    Azokat a gráfokat, ahol minden csúcs mindegyikkel össze van kötve, teljes gráfnak hívjuk.

  • -

    Egy gráf egyszerű, ha nincs benne sem többszörös él, sem hurokél.

  • -

    Egy gráf Euler-köre olyan zárt élsorozat, amely a gráf összes élét pontosan egyszer tartalmazza.

Bizonyítási módszerek, matematikai logika

Számelmélet, számrendszerek

Elsőfokú egyenletek

Elsőfokú függvények

Függvények ábrázolása

Másodfokú egyenletek

Egyenlőtlenségek

  • -

    Hogyan kell megoldani egyenlőtlenségeket? Mi a különbség egyenletek és egyenlőtlenségek megoldási módszerei között? Egyenlőtlenségek megoldása számegyenesen előjel ábrázolással.

  • -

    Az elsőfokú egyenlőtlenségeknél még izgalmasabbak a másodfokú egyenlőtlenségek.

Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai

  • -

    Pont, egyenes és sík a tér elemei, alapfogalmak, nem definiáljuk őket, hanem a szemléletből kialakult jelentésükre hagyatkozunk.

  • -

    Két pont közti részt szakasznak nevezzük.

  • -

    Ha egy síkot egy egyenessel kettévágunk, akkor két félsík keletkezik.

  • -

    Ha a teret egy síkkal két részre vágjuk, akkor két féltér keletkezik.

  • -

    Két félegyenes által közrezárt belső tartományokat szögnek nevezzük.

    A szög csúcsa a két félegyenes metszéspontja, a szög szárai pedig a félegyenesek. A belső részt szögtartománynak is nevezzük.

  • -

    Ha egy szög 0° és 90° közé esik, akkor hegyesszögnek nevezzük.

  • -

    Ha egy szög pontsoan $90°$-os, akkor derékszögnek is nevezzük.

  • -

    Ha egy szög $90°$ és $180°$ közé esik, akkor tompaszögnek nevezzük.

  • -

    Ha egy szög pontosan $180°$-os, akkor egyenesszögnek is nevezzük.

  • -

    Ha egy szög $180°$ és $360°$ közé esik, akkor homorúszögnek nevezzük.

  • -

    Két pont távolsága a pontokat összekötő szakasz hossza.

  • -

    Pont és egyenes távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk az egyenesre.

    A távolság pedig ennek a szakasznak a hossza.

  • -

    Pont és sík távolságának leméréséhez először a pontból merőlegest kell állítanunk a síkra.

    A pont és sík távolsága pedig ennek a szakasznak a hossza.

  • -

    Ha a két egyenes metszi egymást, akkor a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

    Ha a két egyenes egymással párhuzamos, akkor a távolságukat úgy kapjuk meg, hogy az egyik egyenes tetszőleges pontjából merőlegest bocsátunk a másik egyenesre.

    És a két egyenes távolsága ennek a merőleges szakasznak a hossza.

  • -

    Ha az egyenesek különböző síkokban futnak, úgy hívjuk őket, hogy kitérő egyenesek.

  • -

    Ha a két sík metszi egymást, olyankor egy egyenesben metszik egymást és a távolságuknak nincs sok értelme vagy 0.

    Ha a két sík párhuzamos, akkor a két sík távolságát úgy kapjuk meg, hogy veszünk az egyik síkon egy tetszőleges pontot, a pontbl merőlegest állítunk a síkra, és a távolságuk ennek a szakasznak a hossza.

  • -

    Két ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Három ponttól azonos távolságra lévő pontok halmaza. Két metsző egyenestől azonos távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak és egyforma irányúak is, akkor ezeket a szögeket egyállású szögeknek nevezzük.

  • -

    Ha két szögben a szögszárak egymással párhuzamosak, de irányuk ellentétes, akkor ezeket a szögeket váltószögeknek nevezzük.

  • -

    Ha két váltószöget a csúcsuknál összeillesztünk, akkor ezeket a szögeket csúcsszögeknek nevezzük.

  • -

    Ha két szög szárai párhuzamosak és az egyik száruk közös, akkor ezeket a szögeket kiegészítő szögnek nevezzük.

  • -

    Ha két szög 90 fokra egészíti ki egymást, akkor pótszögeknek hívjuk őket.

Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek

  • -

    Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.

  • -

    Azokat a síkidomokat, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszok, sokszögeknek nevezzük.

  • -

    A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni.

  • -

    A konvex síkidom az, amelyikbe nem lehet elbújni.

  • -

    Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.

  • -

    Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak. 

  • -

    Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.

  • -

    A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.

  • -

    Az egyenlőszárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal.

  • -

    Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).

  • -

    Azok a háromszögek, amelyeknek van 90°-os szöge.

  • -

    A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög.

  • -

    A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge.

  • -

    A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.

  • -

    A magasságvonal a háromszög egy csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges. A magasságvonalak metszéspontja a magasságpont.

  • -

    A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Ezek metszéspontja a súlypont.

  • -

    A háromszög köré írható körének középpontja az oldalfelezőmerőlegesei metszéspontja. Hogyan lehet megszerkeszteni egy háromszög köré írható körét

  • -

    A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög köré írható körének középpontja.

  • -

    Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.

  • -

    Néhány képlet háromszögek területére. A jól ismert klasszikus területképlet mellett nézünk még két másikat is.

  • -

    A Hérón-képletet akkor használjuk, ha ismert a háromszög mindhárom oldala.

  • -

    A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög.

  • -

    Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak.

  • -

    Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük.

  • -

    A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok.

  • -

    A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.

  • -

    A deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely. 

A kör

  • -

    Ha egy kör átmérőjét összekötjük a körvonal egy másik, tetszőleges C pontjával, akkor a C csúcsnál derékszöget kapunk.

  • -

    A kerületi szög egy körben lévő szög úgy, hogy a szög csúcsa a körvonal egy pontja, szárai pedig vagy a kör két húrja, vagy egy húrja és egy érintője.

  • -

    Egy körben egy adott ívhez tartozó bármely középponti szög nagysága kétszerese az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög nagyságának.

  • -

    Egy kör adott ívéhez tartozó kerületi szögek mind ugyanakkorák.

  • -

    A húrnégyszög egy olyan négyszög, amelynek minden oldala ugyanannak a körnek egy-egy húrja.

  • -

    Két szimmetrikus körív, amely megadja azokat a pontokat, amik alatt egy szakasz azonos szögben látható.

  • -

    Kör kerületének és területének képletei.

  • -

    Mi az a körcikk, és hogyan számolható ki az ívhossza és területe.

A Pitagorasz-tétel

Egybevágósági transzformációk

  • -

    A tengelyes tükrözés során egy egyenesre tükrözünk, amit tengelynek nevezünk.

  • -

    Egy alakzatot vagy sokszögek tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan tengelyes tükrözés, aminek a hatására a tükörképe önmaga.

  • -

    Hogyan kell megszerkeszteni egy alakzat középpontosan tükrözött képét, és mik a középpontos tükrözés tulajdonságai.

  • -

    Egy alakzat vagy sokszög akkor középpontosan szimmetrikus, ha van olyan középpontos tükrözés, aminek hatására a tükörképe önmaga lesz.

  • -

    A pont körüli forgatáshoz kell egy pont, ami körül forgatunk, na és persze egy szög.

  • -

    Egy alakzatot vagy sokszöget forgás-szimmetrikusnak nevezünk, hogyha van olyan O pont, ami körül egy 0 és 360 fok közé eső szöggel elforgatva a sokszöget önmagába tudjuk forgatni.

  • -

    Az eltolás során az alakzat lényegében ugyanaz marad, csak kicsit arrébb kerül.

  • -

    Két alakzat akkor egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, ami az egyiket a másikba viszi.

  • -

    Háromszögek egybevágóságának 4 esete.

Mértékegységek és mértékegység-átváltás

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek

  • -

    Egy szám abszolútértékén a nullától való távolságát értjük.

Egyenletrendszerek

  • -

    A behelyettesítő módszer az egyenletrendszerek megoldásának egyik technikája, ami során az egyik ismeretlent kifejezzük a másikkal.

  • -

    Az egyenlő együtthatók módszere egy megoldási technika az egyenletrendszerekhez, ami során a két egyenletet összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek

  • -

    Egy a nem negatív szám négyzetgyöke az a nem negatív szám, aminek a négyzete a.

  • -

    Gyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    Egy a szám köbgyöke az a szám, aminek a köbe a.

  • -

    Köbgyökös kifejezések szorzása és osztása közti összefüggések.

  • -

    A gyökvonás másképpp viselkedik páros, illetve páratlan gyökkitevő esetén, így kétféle definíciónk lesz.

  • -

    Megnézzük, hogy milyen izgalmak fordulhatnak elő a gyökös egyenletek világában. Hogyan kell megoldani egy gyökös egyenletet? Mikor lehet egy egyenletet négyzetre emelni? Milyen kikötéseket kell tenni egy gyökös egyenlet megoldásánál? Törtes gyökös egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető gyökös egyenletek.

Szöveges feladatok

Középpontos hasonlóság

  • -

    Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező megfelelő szakaszok arányával.

  • -

    A középpontos hasonlósági transzformációhoz adott egy O pont, ez a középpont, és egy lambda nem nulla valós szám, ez a hasonlóság aránya.

  • -

    Háromszögek hasonlóságának 4 esete.

  • -

    Derékszögű háromszögben az átfogó magasságának talppontja az átfogót két olyan részre bontja, melyeknek a mértani közepe a magasság:

  • -

    Derékszögű háromszög egy befogója mértani közepe az átfogónak és a befogóra eső vetületének.

  • -

    Hasonló alakzatok területe négyzetesen, térfogata köbösen aránylik egymáshoz.

  • -

    Bármely háromszögben egy csúcshoz tartozó belső szögfelező a szöggel szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában fogja kettéosztani.

Trigonometria a síkgeometriában

  • -

    Derékszögű háromszögben a szinusz a szöggel szemközti befogó és átfogó hányadosa. A koszinusz a szög melleti befogó és átfogó hányadosa. A tangens a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a koszinusz. Mire jó a a koszinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása koszinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Megnézzük, hogy derékszögű háromszögekben mit jelent a szinusz. Mire jó a szinusz, mire lehet használni? Geometriai feladatok megoldása szinusz szögfüggvény segítségével.

  • -

    Derékszögű háromszögben egy szög tangense a szöggel szemközti befogó és szög melletti befogó hányadosa.

  • -

    A háromszög területe kiszámítható a két oldal és a közrefogott szög szinuszának szorzataként, osztva 2-vel.

  • -

    Ha a kört kettéosztjuk egy húrjával, akkor körszeleteket kapunk. A körszelet területe az őt magába foglaló körcikk és egyenlőszárú háromszög különbsége.

Kombinatorika

  • -

    Egy adott n elemű halmaz elemeinek egy ismétlés nélküli permutációján az n különböző elem egy sorba rendezését értjük.

  • -

    $n$ faktoriálisán az $n$-nél kisebb vagy egyenlő pozitív egész számok szorzatát értjük.

  • -

    Ismétlés nélküli variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít.

  • -

    Ismétlés nélküli kombinációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendjére nem vagyunk tekintettel.

  • -

    Ismétléses permutációról akkor beszélünk, ha n elem sorrendjére vagyunk kiváncsiak, de ezen elemek között vannak megegyezőek is.

  • -

    Ismétléses variációról akkor beszélünk, ha n különböző elem közül kiválasztunk k db.-ot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje is számít és egy elemet többször is választhatunk.

  • -

    Ha kör alakban helyezünk el n különböző elemet és azok sorrendjét vizsgáljuk, akkor ciklikus permutációról beszélünk.

Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek

  • -

    Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a hatványazonosságokból. Megnézzük, hogyan kell a hatványazonosságokat használni. Megnézzük mi az az exponenciális függvény és hogyan kell ábrázolni.

  • -

    Az exponenciális függvények meglehetősen fontosak a matematikában, sőt nem csak a matematikában. Itt jönnek az exponenciális függvények.

  • -

    Mik azok az exponenciális egyenletek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenletet? Törtes exponenciális egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető exponenciális egyenletek.

  • -

    Mik azok az exponenciális egyenlőtlenségek? Hogyan kell megoldani egy exponenciális egyenlőtlenséget?

Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

  • -

    Itt végre szuper-érthetően kiderül, hogy mi az a logaritmus. Készítünk egy gyors kis összefoglalót a logaritmus azonosságairól. Megnézzük, hogyan kell a logaritmus azonosságokat használni. Megnézzük mi az a logaritmus függvény és hogyan kell ábrázolni.

  • -

    Készítünk egy szuper-érthető összefoglalót a logaritmus azonosságokról. Megnézzük, hogyan kell az azonosságokat használni, milyen kikötéseket kell tenni a logaritmikus kifejezéseknél, hogyan néz ki a logaritmus függvény.

  • -

    Mik azok a logaritmusos egyenletek? Hogyan kell megoldani egy logaritmikus egyenletet? Milyen kikötéseket kell tenni egy logaritmusos egyenlet megoldásánál? Törtes logaritmikus egyenletek. Másodfokú egyenletre vezető logaritmikus egyenletek.

Százalékszámítás

  • -

    A százalékalap az a szám, amihez a százalékszámítás során viszonyítunk. Ez jelenti mindig a 100%-ot. Ha például egy osztályba 20 gyerek jár és közülük 8 lány, 12 fiú, akkor a 20 gyerek lesz a 100%, aminek valahány százaléka lány és valahány százaléka fiú. 

  • -

    A százalékláb a százalékszámításos feladatban a százalék. Ennyi százalékát kell kiszámítani a százalékalapnak.

  • -

    A százalékérték a százalékalap és a százalékláb szorzata, tehát a végeredmény.

  • -

    A százalékértéket megkapjuk úgy, hogy a százalékalapot és a százaléklábat összeszorozzuk.

  • -

    A százalékalap a százalérték és a százalékláb hányadosa.

  • -

    A százalékláb a százalékérték és a százalékalap hányadosa.

  • -

    Hogyan írjuk fel, ha egy értéket x %-al növeltünk, vagy csökkentettünk.

Kamatos kamat és pénzügyi számítások

Számtani és mértani sorozatok

Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek

  • -

    Mi az egység sugarú kör? Mi az a szinusz és koszinusz? Mire jó a szinusz és a koszinusz? Mi az a radián? Mi a kapcsolat a fok és a radián között?

  • -

    Trigonometriai képlet összefoglaló. Összefüggések a tangens és kotangens között. A trigonometria alapegyenlete. Szögek kétszeresének szinusza és koszinusza.

  • -

    Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának x koordinátáját nevezzük a szög koszinuszának

  • -

    Az egységkör egy szöggel elforgatott egységvektorának végpontjának y koordinátáját nevezzük a szög szinuszának.

  • -

    Egy szög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosával egyenlő.

  • -

    Szinuszt és koszinuszt tartalmazó egyenletek megoldásának lépései.

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Szinusztétel és koszinusztétel

  • -

    A Szinusz tétel szerint tetszőleges háromszögben bármely oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszának arányával.

  • -

    A Koszinusz tétel szerint tetszőleges háromszögben egy tetszőleges oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összege és a másik két oldal illetve a kiválasztott oldallal szemközti szög koszinuszának szorzatának különbségével.

Feladatok függvényekkel

  • -

    A másodfokú függvény olyan függvény, amelynek legmagasabb fokú tagja másodfokú.

  • -

    Trigonometrikus függvényeknek vagy szögfüggvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek tartalmaznak trigonometrikus kifejezéseket, mint például szinusz, koszinusz vagy tangens. Ezek eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldala hányadosa közti összefüggéseket írja le.

Vektorok

  • -

    A vektor egy irányított szakasz.

  • -

    Vektorok összeadásakor összeadjuk az x koordinátákat és összeadjuk az y koordinátákat. Kivonáskor vesszük az x koordináták különbségét és az y koordináták különbségét.

  • -

    Egy vektor hosszát megkapjuk, ha vesszük a koordinátái négyzetösszegének a gyökét. Két pont távolsága az őket összekötő vektor hossza.

  • -

    Két pont közti vektor a végpontba mutató helyvektor minusz a kezdőpontba mutató helyvektor.

Koordinátageometria

  • -

    A normálvektor az egyenesre merőleges nem nullvektor.

  • -

    Az irányvektor az egyenessel párhuzamos nem nullvektor.

  • -

    Mi az normálvektor? Mi az irányvektor? Egyenes egyenletének felírása, pont és egyenes távolsága, párhuzamos és merőleges egyenesek.

  • -

    Egyenes egyenletének felírása, pont és egyenes távolságának kiszámolása, képlet pont és egyenes távolságára.

  • -

    Hogyan írjuk föl egy kör egyenletét? A kör kanonikus egyenlete, a kör középpontja és sugara, kör és egyenes metszéspontja.

Térgeometria

  • -

    Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

  • -

    A kúp egy gúlaszerű térbeli test, melynek alapja egy kör.

  • -

    Itt térgeometriai izgalmak kezdődnek. Megnézzük, hogy mi a gúla és mi a hasáb, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a gúlák és hasábok térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot gúlákra és hasábokra, hengerekre és kúpokra. Megnézzük azt is, hogy egy test méreteinek változtatásával a felszíne négyzetesen, a térfogata pedig köbösen változik.

  • -

    A kocka térfogata az oldalélének köbe.

  • -

    Kocka felszíne az oldallapjai területének összege.

  • -

    A henger olyan, mint a hasáb, csak nem sokszög a két párhuzamos lap, hanem kör.

  • -

    Lássuk, hogyan kell kiszámolni a hasábok térfogatát.

  • -

    Na és itt jön a hasábok felszíne.

  • -

    Képlet henger térfogatára.

  • -

    Képlet henger felszínére.

  • -

     Lássuk, hogyan kell kiszámolni a gúlák térfogatát.

  • -

    Nézzük, hogyan kell kiszámolni a gúlák felszínét.

  • -

     Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

  • -

    Megnézzük, hogy mi a kúp és a henger, mit jelent a palást és az is kiderül, hogy hogyan kell kiszámolni a kúpok és hengerek térfogatát és felszínét. Aztán nézünk néhány feladatot hengerekre és kúpokra.

  • -

    Négyzetalapú gúla térfogata könnyebben kiszámolható.

  • -

    Négyzetalapú gúla felszíne könnyebben kiszámolható.

  • -

    A gömb egy adott ponttól (középpont) egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

  • -

    Képlet a gömb térfogatára.

  • -

    Képlet a gömb felszínére.

  • -

    Ha a gömböt kettévágjuk egy olyan síkkal, ami épp átmegy a középpontján, akkor a vágás során keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával. Ezt a kört nevezzük főkörnek.

  • -

    Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara.

  • -

    Ha a gömb középpontját összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával, akkor az így keletkező szakasz hossza állandó, és ez az állandó hosszúság a gömb sugara. Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is, akkor egy átmérőt kapunk

  • -

    Ha egy forgáskúpot az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkakúpot kapunk.

  • -

    Képlet a csonkakúp térfogatának kiszámítására.

  • -

    Képlet a csonkakúp felszínének kiszámítására.

  • -

    Ha egy gúlát az alaplap síkjával párhuzamosan metszünk el, akkor egy csonkagúlát kapunk.

  • -

    Képlet a csonkagúla térfogatának kiszámítására.

  • -

    Képlet a csonkagúla felszínének kiszámítására.

  • -

    A négyzet alapú csonkagúla térfogata egyszerűbben is kiszámolható.

  • -

    A csonkagúla felszíne könnyebben kiszámolható, ha négyzetalapú.

Statisztika

  • -

    A módusz a leggyakoribb érték.

  • -

    A medián a növekvő sorba rendezett adatsor középső értéke.

  • -

    Az átlag az összes elem összege osztva az elemszámmal.

  • -

    Az átlagtól való átlagos eltérést szórásnak nevezzük és egy szigma nevű görög betűvel jelöljük.

  • -

    Az adatsor első felének a felezőpontja az alsó kvartilis.

  • -

    Az adatsor második felének a felezőpontja a felső kvartilis.

  • -

    A kvartilisek és a medián azt szemlélteti, hogyan oszlanak el az adatsorban szereplő adatok.

  • -

    A relatív szórás azt mondja meg, hogy a szórás az átlagnak hány százaléka:

Valószínűségszámítás

A geometriai valószínűség

  • -

    Ha egy esemény előfordulását geometriai alakzat (vonal, síkidom, test) mértékével jellemezzük, akkor geometriai valószínűségről beszélünk.

A várható érték

A parabola (emelt szint)

  • -

    A parabola azon pontok halmaza a síkon, amelyek egy v egyenestől (vezéregyenes) és az egyenesre nem illeszkedő F ponttól (fókuszpont) egyenlő távolságra vannak.

  • -

    Hogyan írhatjuk fel a parabola egyenletét és milyen adatokra van ehhez szükség.

  • -

    A parabola egyenlete, ha tengelye párhuzamos az x tengellyel, illetve ha tengelye párhuzamos az y tengellyel.

A teljes indukció (emelt szint)

  • -

    A teljes indukció egy bizonyítási módszer, ami olyan állítások bizonyítására alkalmas, melyek n pozitív egész számtól függenek.

Sorozatok határértéke (emelt szint)

Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)

  • -

    sorozatok egyik legfontosabb tulajdonsága a határértékük, ami azt jelenti, hogy mi történik a sorozattal ahogy egyre és egyre nagyobb indexű tagjait vizsgáljuk.

  • -

    Ha egy sorozat határértéke valós szám, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük.

  • -

    Ha a sorozat határértéke plusz vagy mínusz végtelen, illetve ha egyáltalán nincs is határértéke, akkor a sorozatot divergensnek nevezzük.

  • -

    A sorozat monotonitása lehet monton nő, monoton csökkenő, szigorúan monoton nő, szigorúan monoton csökkenő.

Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)

Deriválás (emelt szint)

  • -

    Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados.

  • -

    A deriválás úgy működik, hogy függvények grafikonjának meredekségét vizsgálja, mégpedig azzal, hogy megnézi, milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához. Ha az érintő "fölfele megy" akkor a függvény grafikonja is "fölfele megy" vagyis a függvény növekszik. Hogyha pedig az érintő "lefele megy" akkor a függvény grafikonja is "lefele megy" tehát a függvény csökken. Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados.

  • -

    Konstans deriváltja, polinomok deriválási szabálya. Az exponenciális és logaritmus függvények deriválása. Trigonometrikus függvények deriváltjai.

  • -

    Függvény konstansszorosának, két függvény összegének, szorzatának és hányadosának deriválási szabályai. Összetett függvények deriválási szabálya.

  • -

    A lánc-szabály az összetett függvények deriválási szabálya.

Függvények érintője (emelt szint)

  • -

    A függvény érintője egy olyan egyenes, amely egy függvényt pontosan egy pontban érint.

Az integrálás (emelt szint)

  • -

    Az f(x) függvény primitív függvényének jele F(x) és azt tudja, hogy ha deriváljuk, akkor visszakapjuk f(x)-et. Egy függvény primitív függvényeinek halmazát nevezzük a függvény határozatlan integráljának.

  • -

    Polinomok integrálása. Törtfüggvény integrálása. Exponenciális függvények integrálása. Trigonometrikus függvények integrálása.

  • -

    Polinomok, törtfüggvény, exponenciális függvények, trigonometrikus függvények integráljainak lineáris helyettesítései.

  • -

    A Newton-Leibniz formula egy egyszerűen használható képlet a határozott integrál kiszámításához. Ez a tétel az egész matematika történetének egyik legfontosabb tétele. Egy Newton nevű angol fizikus és egy Leibniz nevű német filozófus egyszerre találta ki az 1600-as évek végén.

  • -

    Ha a szorzás elvégezhető, akkor végezzük el, és utána integráljunk.

  • -

    Próbálkozzunk a tört földarabolásával és utána integráljunk.