- Algebra, nevezetes azonosságok
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú egyenletek
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Síkgeometria
- Egybevágósági transzformációk
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A várható érték
- Statisztika
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Algebra, nevezetes azonosságok
Műveleti sorrend
A zárójelben lévő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, és a szorzást előbb kell elvégezni, mint az összeadást.
A kivonás úgy viselkedik, mint az összeadás, az osztás pedig úgy, ahogyan a szorzás.
Algebrai kifejezések
Az algebra az a része a matematikának, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Az algebrai kifejezések olyan matematikai kifejezések, amik betűket is tartalmaznak.
Kiemelés
A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.
Algebrai tört
Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.
Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.
Törtek egyszerűsítése
A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.
Nevezetes azonosságok
\( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 \)
\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Köbös azonosságok
\( a^3 + b^3 = (a+b) \left( a^2 -ab +b^2 \right) \)
\( a^3 - b^3 = (a-b) \left( a^2 +ab +b^2 \right) \)
\( (a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3 \)
\( (a-b)^3 = a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 \)
Binomiális tétel
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
Binomiális tétel
Binomiális tétel:
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n \)
Kifejezés értelmezési tartománya
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.
$ \frac{2}{x-3}$ értelmezési tartománya $x \in R \setminus \{ 3 \}$, mert tört van benne és a tört nevezője nem lehet nulla ($x \neq 3$)
$\sqrt{2x+5}$ értelmezési tartománya $x \in \left[ - \frac{5}{2}, \infty \right[ $, mert páros gyök alatt van (második) és így a gyök alatti kifejezés $\geq 0$
Végezzük el a műveleteket!
a) \( x^3 \left( a^4 -2x^2 +4a^4 +x \right) \)
b) \( \left( x^3 +2a^2 \right) \left( 5a^4 -2x^2 +x \right) \)
c) \( \frac{4}{x-5} - \frac{x}{x+3} \)
Emeljünk ki mindent, amit lehet
a) \( 3x^4-5x^3+6x^2 \)
b) \( 3a^4b-x^2a^3b+5a^2b^4 \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( (x+3)^2= ? \)
b) \( (y-5)^2= ? \)
c) \( \left( 2x+3y^2 \right)^2 = ? \)
d) \( \left( 3a^2-ab^3 \right)^2 = ? \)
Egyszerűsítsük, amennyire csak lehet:
e) \( \frac{xy^3-4x^3y}{xy^2+2x^2y} \)
f) \( \frac{x^4-y^4}{x^4y^2+x^2y^4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( 12x + 3x^2 - 4x^3 - 7x - x^4 + x^3 \)
b) \( 4x(5x^4 + 3x^2) - (4x^2 +5)(x+6) \)
c) \( (3x^4 +4x +x^3 y^2 ) \cdot x^2 + (4x^3 +5x^2y^4 + x^3 y^2 ) : x^2 \)
d) \( x^2 \cdot (3x^4 +4y^5 +6 z^3) \)
e) \( x^2 \cdot (3x^4 \cdot 4y^5 \cdot 6z^3) \)
f) \( \left( \frac{1}{x^2+2xy+y^2} + \frac{1}{x^2-y^2} + \frac{1}{x^2-2xy+y^2} \right) : \left( \frac{4x^2}{x^2-y^2} -1 \right) \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \)
b) \( \frac{ 2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} + \frac{ \sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac{4x-2}{x-1} \)
a) \( (x+2)^3= ? \)
b) \( (x-4b)^3 = ? \)
c) \( \left( \frac{x+y}{x^3-y^3} + \frac{2}{(x-y)^2} - \frac{1}{x^2+xy+y^2} \right) : \frac{x^2-4y^2}{x^2-2xy+y^2} = ? \)
a) Mennyi $(a+b)^7$-nél az $a^2b^5$-es tag együtthatója?
b) Mennyi $(a+2)^7$-nél az $a^2$-es tag együtthatója?
c) Mennyi $(x+3)^8$-nál az $x^6$-os tag együtthatója?
Mi az értelmezési tartományuk?
a) \( \frac{3}{x} \)
b) \( \frac{x}{x-2} \)
c) \( \frac{5}{(x-2)\cdot (x+3)} \)
d) \( \frac{1}{x^2-4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket
a) \( \frac{x-3}{2}+\frac{x+2}{4}-\frac{x-1}{4} \)
b) \( \frac{x+1}{x}-\frac{2x}{x-1} \)
c) \( \frac{4}{x}+\frac{3}{2x} \)
d) \( \frac{x}{4} \cdot \frac{8}{x} \)
e) \( \frac{2x^2}{y^3} : \frac{6x}{y^5} \)
f) \( \frac{a+b}{a} : \frac{a^2-b^2}{a^3} \)
Itt mindent megtudhatsz az algebra alapjairól, a műveletekről, a műveleti sorrendről, a zárójelek használatáról és a zárójelek felbontásáról. Nagyon szemléletesen bemutatjuk, hogy mit jelent a tag és a tényező, mi a különbség köztük és azt is láthatod, hogy mennyi tévedéstől tudod megkímélni magad, ha tisztában vagy ezekkel. Az algebra a matematikának az a területe, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Ezekkel a betűs kifejezésekkel kapcsolatban sok izgalmas dolgot fogunk megnézni. Az első ilyen izgalmas dolog a kiemelés. Sok-sok példát nézünk kiemelésre, hogy biztosan minden érthető legyen. Megnézheted, mit jelent az egyszerűsítés, mit szabad és mit nem szabad csinálni törtek egyszerűsítésénél. Megnézzük, hogy mik azok az algebrai törtek, hogyan lehet őket egyszerűsíteni, hogyan lehet szorzatokat csinálni a számlálóban és a nevezőben. Algebra gyakorló feladatok megoldással. Nevezetes azonosságok, a+b és a-b négyzete, két négyzet különbségének szorzattá alakítása. Feladatok a nevezetes azonosságok alkalmazásával.
