Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Középiskolai matek (teljes)

Kategóriák
  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Halmazok
  • Gráfok
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Számelmélet
  • Elsőfokú egyenletek
  • Elsőfokú függvények
  • Függvények ábrázolása
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Síkgeometria
  • Egybevágósági transzformációk
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Egyenletrendszerek
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Szöveges feladatok
  • Középpontos hasonlóság
  • Trigonometria
  • Kombinatorika
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
  • Szinusztétel és koszinusztétel
  • Feladatok függvényekkel
  • Vektorok
  • Koordinátageometria
  • A parabola (emelt szint)
  • A teljes indukció (emelt szint)
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Térgeometria
  • Valószínűségszámítás
  • A várható érték
  • Statisztika
  • Vegyes emelt szintű feladatok
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Deriválás (emelt szint)

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Tanulj meg deriválni 10 perc alatt
02
 
A láncszabály
03
 
Az x^x függvény deriváltja (ez már nagyon emelt szint)
04
 
FELADAT | Deriválás
05
 
FELADAT | Deriválás
06
 
FELADAT | Deriválás
07
 
FELADAT | Deriválás
08
 
FELADAT | Deriválás
09
 
FELADAT | Deriválás
10
 
FELADAT | Deriválás
11
 
FELADAT | Deriválás
12
 
FELADAT | Deriválás
13
 
FELADAT | Deriválás
14
 
FELADAT | Deriválás
15
 
FELADAT | Deriválás
16
 
FELADAT | Deriválás
17
 
FELADAT | Deriválás
18
 
FELADAT | Deriválás
19
 
FELADAT | Deriválás
20
 
További deriválás feladatok

Deriválási szabályok

$f$ és $g$ deriválható függvények, és $c$ valós szám esetén a deriválási szabályok:

\( (cf)' = cf' \quad \left( \frac{f}{c} \right)' = \frac{f'}{c} \)

\( (f+g)' = f' + g' \)

\( (fg)' = f'g + fg' \)

\( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{ f'g - fg'}{g^2} \)

\( \left( \frac{c}{f} \right)' = \frac{-cf'}{f^2} \)

\( \left( f \left( g(x) \right) \right)' = f' \left( g(x) \right) g'(x) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciahányados

Egy szelő egyenes meredeksége a differenciahányados:

\( \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x -x_0} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Differenciálhányados

Egy függvény érintő egyenesének meredeksége a differenciálhányados:

\( m= \lim_{x \to x_0}{ \frac{ f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \)

Ezt nevezzük a függvény $x_0$ pontban vett deriváltjának is.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Nevezetes függvények deriváltjai

\( (c)'=0 \quad \left( x^n \right)' = n x^{n-1} \quad \left( e^x \right)' = e^x \quad \left( a^x \right)' = a^x \ln{a} \)

\( ( \ln{x} )' = \frac{1}{x} \quad ( \log_a{x} )' = \frac{1}{x} \frac{1}{\ln{a}} \quad ( \sin{x} )' = \cos{x} \quad ( \cos{x} )' = - \sin{x} \)

\( ( \tan{x} )' = \frac{1}{\cos^2{x} } \quad ( \arcsin{x} )' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad ( \arccos{x} )' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\arctan{x})' = \frac{1}{1+x^2} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( 5\cdot x^3 \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \frac{x^5}{7} \right)' = \; ? \)

c) \( \left( x^2+\ln{x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( x^3 \cdot \ln{x} \right)' = \; ? \)

e) \( \left( \frac{x^2}{\ln{x}} \right)' = \; ? \)

f) \( \left( \frac{5}{x^3+2} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( \left( \sin{ \left( x^6+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

b) \( \left( \left( 3^x +\ln{x} \right)^4 \right)' = \; ? \)

c) \( \left( 5^{x^3+x} \right)' = \; ? \)

d) \( \left( \ln{\left( x^4+x^2 \right)} \right)' = \; ? \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^x \)

b) \( f(x)=(\cos{x})^{ \sin{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Deriváljuk az alábbi függvényeket.

a) \( f(x)=x^{100}+x^7+7^x+\sqrt{42} \)

b) \( f(x)= \frac{ x^6-4x^4+7^x}{42} \)

c) \( f(x)= \sqrt[5]{x}+x^2 \cdot \sqrt[3]{x} \)

d) \( f(x)= \sqrt[3]{ x\cdot \sqrt[5]{x^3} } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt[7]{x^3 \cdot \sqrt[4]{x}}\cdot \lg{x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=\sqrt[4]{x^3 + \sqrt[7]{x}} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= e^x + e\cdot x^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \sqrt[4]{e^x} + \sqrt[3]{e^x} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \ln{ \left( x^6-x^2+6 \right) } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \ln{x} -3^x}{ \sqrt[5]{x^4} + x^2  } \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 3x }{ (4-x)^2 }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ 3x }{ \sqrt{ e^x +1 } }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ \lg{3x} + e^2 }{ \sqrt[3]{ 4-x } }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)= \frac{ e^{4x} - \sqrt[7]{x^4} }{ \ln{ (4-2x)} +7 }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \left( x^5-4^x \right) \left( \ln{x} - \sqrt[6]{x^7} \right)  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln^3{x}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  5^{x^3+5x^4-7x}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln{ \frac{ x^5 - 2^x }{ \sqrt[4]{x-6} +e^2} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Deriváljuk az alábbi függvényt.

\( f(x)=  \ln{ \sqrt[3]{ \frac{ x^4 - e^x}{5^{2x-4} -\ln{ \pi} }} }  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Mi az a deriválás? Már mutatjuk is, hogyan kell deriválni szuper-érthető példákon keresztül. Differencia hányados, Differenciál hányados, Az érintő meredeksége, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Deriválás feladatok, Deriválás táblázat, Nevezetes függvények deriváltjai, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal, Derivált táblázat, Derivált függvény, Deriválási feladatok, Deriválási képletek, Differenciálszámítás, Differenciálszámítás feladatok.



Tanulj meg deriválni 10 perc alatt

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


A láncszabály

Van itt egy függvény.

Ha néhány pontjában érintőt húzunk a függvényhez,

akkor az látszik, hogy ahol az érintő fölfelé megy, ott a függvény növekszik,

ahol az érintő lefelé megy, ott a függvény csökken.

Ott pedig, ahol az érintő vízszintesen megy, a függvénynek minimuma van,

de tulajdonképpen lehet maximuma is.

Mi az a deriválás, Deriváltak kiszámolása, Differencia hányados, Differenciál hányados, Alapderiváltak, Deriválási szabályok, Összeg deriváltja, Szorzat deriváltja, Hányados deriváltja, Összetett függvény deriváltja, A láncszabály, Deriválás feladatok megoldásokkal.

Az érintő tehát valahogy együtt mozog a függvénnyel, így ha ki tudjuk számolni a függvény érintőinek a meredekségét, akkor meg tudjuk mondani, hogy mit csinál

maga a függvény.

Számoljuk ki mondjuk ennek az érintőnek a meredekségét.

A meredekség azt jelenti, hogy ha egyet lépünk előre, akkor mennyit lépünk fölfelé.

A meredekség kiszámolásához segítségül hívunk egy másik pontot.

Először annak az egyenesnek számoljuk ki a meredekségét,

ami ezen a két ponton megy át.

Lássuk mekkora ennek az egyenesnek a meredeksége!

amennyit fölfele megy

amennyit előre megy

Ezt a meredekséget differencia hányadosnak nevezzük.

A szelő meredeksége a

differenciahányados:

Ez igazán remek, de eredetileg az érintő meredekségének kiszámolása volt a cél.

Nos úgy lesz ebből érintő, hogy -et elkezdjük közelíteni  felé, és így a szelők egyre jobban közelítenek az érintőhöz.

Az érintő meredeksége tehát a szelők meredekségének a határértéke.

Ezt differenciál hányadosnak nevezzük, ez a derivált.

Az érintő meredeksége

a differenciál hányados:

az  pontban a derivált

Egy függvény deriváltja tehát azt mondja meg, hogy milyen meredek érintő húzható a függvény grafikonjához.

Az  függvény deriváltjának jelölésére az  van forgalomban.

Lássuk melyik függvénynek mi a deriváltja!

A konstans függvények deriváltja nulla.

Például egy konstans függvény és

A hatványfüggvények deriváltja

például  deriváltja

Ha úgy adódik, hogy ilyen gyökös izéket kell deriválni, azt ugyanígy kell:

 és a derivált

Az egy biztos pont az életünkben, ugyanis deriváltja önmaga:  

Az  deriváltja kicsit rondább:

Itt van például ez, hogy  

nos ennek a deriváltja nem  mert itt x a kitevőben van.

és ez a bizonyos  egy konkrét szám, nevezetesen e alapú logaritmus 5, de aggodalomra semmi ok, a számológéppel ki tudjuk számolni:

Ez igazán remek, de maradjunk inkább annál, hogy .

Aztán itt van az emlegetett deriváltja:

Az egyéb logaritmusok deriváltja pedig

például   10-es alapú logaritmus, így hát a=10 és a derivált:

Aztán itt jönnek a trigonometrikus függvények.

A szinusz deriváltja koszinusz, a koszinusz deriváltja mínusz szinusz.

A tangens deriváltja

na az már jóval barátságtalanabb, a többiről nem is beszélve.

Most pedig jöjjenek a deriválási szabályok!

És itt jön a legviccesebb, az összetett függvény deriválási szabálya.

Van itt egy függvény, ez még nem összetett.

Akkor válik összetett függvénnyé, ha x helyett mondjuk az van, hogy

Na ez már összetett függvény, és a szabály szerint úgy kell deriválni, hogy először deriváljuk a külső függvényt, ami az, hogy

aztán megszorozzuk a belső függvény deriváltjával.

Vagy itt van egy másik.

Ez nem összetett függvén, hanem egy ártatlan kis összeg.

De ha ez az egész a negyediken van,

na akkor már összetett függvény.

A külső függvény itt az, hogy

aminek a deriváltja, ahogyan lenni szokott

aztán itt is szorozni kell még a belső függvény deriváltjával.

És itt van például ez.

A külső függvény deriváltja

Most pedig elérkezett az idő, hogy szerencsét próbáljunk

a deriválás feladatokkal.


Az x^x függvény deriváltja (ez már nagyon emelt szint)

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

FELADAT | Deriválás

További deriválás feladatok

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim