- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Elsőfokú egyenletek
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
Síkidom
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
A zárt vonal azt jelenti, hogy fogjuk a ceruzát, elindulunk valahonnan... és hopp, visszaérünk ugyanoda, ahonnan indultunk. Síkodom például egy háromszög, vagy egy négyzet, de síkidom egy kör is, vagy éppen a kölönböző emojik. Egy síkidomot több különböző zárt vonal is atárolhat. Olyankor, amikor csak egy zárt vonal határolja, egyszerű síkidomnak nevezzük. Mindez sokkal könnyebben elképzelhető, ha megnézed az ehhez kapcsolódó epizódot.
Sokszög
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Vagyis azok a síkidomok sokszögek, amelyek határoló vonalai csak egyenes szakaszokból állnak.
Konkáv síkidom
A konkáv síkidom az, amelyikben ki tudunk választani két olyan pontot, hogy az ezeket összekötő szakasznak egy része a síkidomon kívül halad. Egy kör vagy egy téglalap például nem konkáv, mert bárhogyan választunk benne két pontot, a pontokat összekötő szakasz is a síkidomban halad. De például egy szívecske már konkáv, mert ha a két kidudorodó részét összekötjük, akkor az összekötő vonal kívül halad. Mindez sokkal egyszerűbb, ha megnézed az ehhez a témához kapcsolódó epizódot.
Konvex síkidom
A konvex síkidom az, amelyikben akárhogy veszünk két belső pontot, az őket összekötő szakasz minden pontja a síkidom belsejében lesz.
Egy kör vagy egy téglalap például konvex, mert bárhogyan választunk benne két pontot, a pontokat összekötő szakasz is a síkidomban halad. De például egy szívecske már nem konvex, mert ha a két kidudorodó részét összekötjük, akkor az összekötő vonal kívül halad. Mindez sokkal egyszerűbb, ha megnézed az ehhez a témához kapcsolódó epizódot.
Szabályos sokszög
Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.
SOKSZÖG OLDALA
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakaszból álló zárt görbe ( töröttvonal ) határol. Ezeket az egyenes szakaszokat nevezzük a sokszög oldalainak.
SOKSZÖG CSÚCSA
Sokszögnek nevezzük azokat a síkidomokat, melyeket véges sok, egymáshoz csatlakozó egyenes szakasz alkotta zárt görbe határol. Ezeket a szakaszokat oldalaknak, vagy másként oldaléleknek nevezzük, és azokat a pontokat, ahol az oldalélek találkoznak, a sokszög csúcsainak hívjuk.
SOKSZÖG ÁTLÓI
A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat a sokszög átlójának nevezzük.
Egyenlő szárú háromszög
Az egyenlő szárú háromszögben van két egyforma hosszú oldal, amiket szárnak nevezünk. És hát van ugye a harmadik oldal, ez az alap.
Annyit érdemes megjegyezni róla, hogy az alaphoz tartozó súlyvonal, magasságvonal, oldalfelező merőleges és szögfelező mind egybeesik. És ez egyúttal a háromszög szimmetriatengelye is.
És azt is jó tudni róla, hogy az alapon fekvő szögek egyformák.
Szabályos háromszög
Szabályos háromszögnek minden oldala és minden szöge egyenlő (tehát a szögek 60°-osak).
Szabályos háromszögben a körülírt kör középpontja, a magasságpont és a súlypont is egybeesnek.
Derékszögű háromszög
Derékszögű háromszögnek van $90°$-os szöge.
A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük, a másik kettőt pedig befogónak.
Hegyesszögű háromszög
A hegyesszögű háromszögek minden szöge hegyesszög, azaz $0°$-nál nagyobbak, de $90°$-nál kisebbek.
Tompaszögű háromszögek
A tompaszögű háromszögek azok, amelyeknek van egy tompaszöge, azaz egy olyan szöge, ami $90°$-nál nagyobb, de $180°$-nál kisebb.
Háromszög egyenlőtlenség
A háromszög egyenlőtlenség szerint minden háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
$a+b>c \qquad a+c>b \qquad b+c>a$
Háromszög magasságvonala és a magasságpont
A háromszög magasságvonala a csúcsból a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőleges.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, és ezt a pontot magasságpontnak nevezzük.
Ha a háromszög tompaszögű, akkor a magasságpont a háromszögön kívülre esik.
Háromszög súlyvonala és a súlypont
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.
Ezek mindig egy pontban metszik egymást, ezt a pontot hívjuk a háromszög súlypontjának.
További izgalom, hogy a súlypont mindegyik súlyvonalat 2:1 arányban osztja.
Továbbá a súlyvonal felezi a háromszög területét.
Háromszög köré írható kör
A háromszög oldalfelezőmerőlegesei mindig egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden csúcstól egyenlő távolságra van és emiatt a háromszög köré írható kör középpontja.
Háromszögbe írható kör
A háromszög belső szögfelezői mindig egy pontban metszik egymást. Ez a háromszögbe írható kör középpontja.
Háromszög középvonala
Ha egy háromszög oldalfelezőpontjait összekötjük, akkor a háromszög középvonalait kapjuk.
A középvonalak párhuzamosak a háromszög oldalaival és éppen fele olyan hosszúak.
Képletek háromszög területére
A jól ismert képlet háromszögek területére:
\( T = \frac{ a \cdot m_a}{2} = \frac{ b \cdot m_b}{2} = \frac{ c \cdot m_c}{2} \)
És it jön egy kevésbé ismert háromszög-területképlet:
\( T = \frac{abc}{4R} \)
Itt $R$ a háromszög köré írható körének sugara.
Ez pedig egy még kevésbé ismert képlet háromszögek területére:
\( T=r\cdot s \)
Itt $r$ a beírható kör sugara, $s$ pedig a kerület fele.
Hérón-képlet
A Hérón-képlet a háromszögek területképletei közül egy kevésbé ismert, de elég jól használható képlet. Akkor érdemes használni, ha ismert a háromszög mindhárom oldala.
$s=\frac{a+b+c}{2} \qquad T=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)} $
Négyzet
A legszabályosabb négyszög a négyzet. A négyzet oldalai egyenlő hosszúak és minden szöge derékszög. Egy sokszöget akkor nevezünk szabályos sokszögnek, ha minden oldala és minden szöge egyforma. Így tehát az egyetlen szabályos négyszög a négyzet. Ezen kívül a négyzetek mége egy fontos dolgot tudnak: az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzet területe:
\( T = a^2 \)
A négyzet kerülete:
\( K = 4a \)
Téglalap
Téglalap olyan négyszög, aminek minden szöge derékszög. Vagyis az oldalak nem feltétlen egyenlő hosszúak. Olyankor, amikor az oldalai is egyenlő hosszúak, egy négyzetet kapunk. A téglalapok egyik fontos tulajdosága, hogy a szemközti oldalai egyforma hosszúak, vagyis két darab a hosszúságú és két darab b hosszúságú oldala van. A téglalapoknak egy másik fontos tulajdonsága pedig, hogy a szemközti oldalai párhuzamosak egymással. Ez pedig azt jelenti, hogy a téglalapok mindig paralelogrammák is egyben (ugyanis a paralelogrammák azok a négyszögek, amelyeknek van két párhuamos oldalpárjuk).
Területe:
\( T = a \cdot b \)
Kerülete:
\( K = 2a + 2b \)
Rombusz
Rombusz egy olyan négyszög, amelynek minden oldala egyforma hosszú. Vagyis egy rombusznál az oldalak egyenlő hosszúságúak, de a szögeknek nem kell derékszögnek lenniük. Amikor a rombusz szögei derékszögek, egy négyzetet kapunk. Vagyis a négyzet is rombusz. A rombuszok másik fontos tulajdonsága, hogy a szemközti oldalaik mindig párhuzamosak egymással, vagyis a rombuszok paralelogrammák. is. Ez elvezet minket a rombusz egy másik definíciójához: a rombusz egyenlő oldalú paralelogramma.
A rombusz magasságát m-mel jelöljük, az átlóit pedig e-nek és f-nek szokás nevezni. Ezeknek a segítségével tudjuk kiszámolni egy rombusz területét.
Területe:
\( T = a \cdot m = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Kerülete:
\( K = 4a \)
Paralelogramma
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja. Nagyon sok ilyen tulajdonságú négyszög van. Ilyenek a négyzetek, a téglalapok és a rombuszok. Vagyis minden négyzet, minden téglalap és minden qrombusz egyben paralelogramma is. A paralelogramma magasságát m-mel szokás jelölni.
Területe:
\( T = a \cdot m_a = b \cdot m_b \)
Kerülete:
\( K = 2a + 2b \)
Trapéz
A trapéz olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja. Ezeket az oldalakat a trapéz alapjainak nevezzük és a-val meg c-vel jelöljük. Általában a nagyobbik alapot szokás a-val jelölni és a kisebbik alapot pedig c-vel. Olyankor, amikor a trapéz alapjai egyforma hosszúak, paralelogrammát kapunk. Vagyis minden paralelogramma egyben trapéz is. Sőt, ha meggondoljuk, akkor a trapéz definíciója nagyon sok négyszögre ráillik. Egy darab párhuzamos oldalpárja ugyanis van a négyzetnek, a téglalapnak, a rombusznak és a paralelogrammáknak is. Vagyis minden négyzet, minden téglalap, minden rombusz és minden paralelogramma egyben trapéz is.
Mivel azonban ezeknek van külön neve, amikor egy feladatban trapézról van szó, általában olyan trapézra gondoljunk, aminek két különböző hosszúságú párhuzamos oldala van, az egyik "alul" a másik "felül" és ezek a trapéz a-val és c-vel jelölt alapjai.
Területe:
\( T = \frac{a+c}{2} \cdot m \)
Deltoid
Azokat a négyszögeket nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány alakúak és az átlóik merőlegesek egymásra.
Egy kicsit precízebben: deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
A deltoidok közül kétféle speciális deltoidot érdemes megjegyezni, az egyik a rombusz, a másik a négyzet. Vagyis minden négyzet és minden rombusz deltoid. A deltoidok átlóit e-vel és f-fel jelöljük, és ezek csak akkor egyforma hosszúak, ha négyzetről van szó. A deltoidok területét általában az átlóik segítségével érdemes kiszámolni.
Területe:
\( T = \frac{ e \cdot f }{2} \)
Szimmetrikus trapéz
Ha a trapéz alapján fekvő két szög ugyanakkora, olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt még szokás egyenlő szárú trapéznak is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van köré írható köre.
Innen ered a harmadik elnevezés: húrtrapéz.
Osztályozzuk a négyszögeket, készítsünk egy halmazábrát a különböző tulajdonságaik szerint.
a) Egy trapéz alapon fekvő szögei közül az egyik 80 fokos, a másik 40 fokos. Mekkora a másik két szög?
b) Egy trapéz egyik szárán fekvő két szögéről tudjuk, hogy az egyik 40 fokkal nagyobb a másiknál. A másik száron fekvő szögekről pedig azt tudjuk, hogy az egyik kétszerese a másiknak. Mekkorák a trapéz szögei?
c) Itt van aztán ez a paralelogramma, aminek az egyik szöge 42°-os. Mekkora a többi szöge?
d) Végül itt jön még egy trapéz, amiben annyit tudunk, hogy a szögeinek aránya 3:4:5:6. Mekkorák a szögei?
a) Egy paralelogramma $a$ oldala 16 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 9 cm. Mekkora a területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 7 cm és 9 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma területe $60\; cm^2$, és az oldalaihoz tartozó magasságok 6 cm és 4 cm. Mekkora a kerülete?
d) Egy templom függőleges homlokzata felül háromszögalakban végződik. A homlokzat nem szimmetrikus, az egyik oldalon 23 méter magasan indul a ferde rész, a másik oldalon pedig 14 méter magasan. A homlokzat legmagasabb pontja, ami a háromszögszerű rész csúcsa 36 méter magasan van. Ha ezt a csúcsot merőlegesen összekötjük a talajjal, akkor ez a vonal a homlokzatot egy 10 méter széles és egy 15 méter széles részre osztja ketté. Mekkora a homlokzat területe?
a) Mekkora egy szabályos hétszög belső szögeinek összege?
b) Mekkora egy szabályos 100-szög egy belső szöge?
a) Hány átlója van egy szabályos nyolcszögnek?
b) Hány átlója van egy szabályos 100-szögnek?
a) Egy háromszög két szöge 65° és 54°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
b) Egy háromszög két szöge 62° és 56°. Mekkora a hiányzó harmadik szöge? Mekkorák a külső szögei?
c) Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei 65°-osak. Mekkora a szárak által közbezárt szög?
d) Egy másik egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szög 48°. Mekkorák az alapon fekvő szögei?
e) Egy egyenlőszárú háromszögben a szárszög 15°-kal kisebb, mint az alapon fekvő szögek. Mekkorák a szögei?
f) Egy másik egyenlő szárú háromszögben az alapon fekvő szögek kétszer akkorák, mint a szárszög. Mekkorák a szögei?
g) Egy egyenlőszárú háromszög egyik szöge 48°. Mekkora lehet a másik két szöge?
a) Egy háromszög két szögét ismerjük. Az egyik $120$ fokos, a másik $126$ fokos. Mekkorák a háromszög belső szögei?
b) Egy háromszög egyik külső szöge $56°$-kal nagyobb, mint a hozzá tartozó belső szög. Mekkora az $\alpha$ belső szög?
c) Egy egyenlőszárú háromszög egyik külső szöge $118°$. Mekkorák a belső szögei?
Döntsük el, hogy szerkeszthető-e háromszög ezekkel az oldalakkal:
a) $a=5 \; cm, \; b=7 \; cm, \; c=2 \; cm$.
b) $a=4 \; dm, \; b=5 \; dm, \; c=10 \; dm$.
c) $a=8 \; cm, \; b=4 \; cm, \; c=5 \; cm$.
a) Mekkora a háromszög területe, ha az egyik oldala $16\; cm$ és a hozzá tartozó magassága $9\; cm$?
b) Egy háromszög területe $56 \; cm^2$ és a $b$ oldalhoz tartozó magasság $7\; cm$. Mekkora a $b$ oldal?
c) Egy háromszög területe $64 \; cm^2$ és a $c$ oldal $16\; cm$. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
d) Egy háromszög $b$ oldala $12\; cm$, a hozzá tartozó magasság $10\; cm$. A $c$ oldalhoz tartozó magasság $15\; cm$. Mekkora a $c$ oldal?
a) Egy paralelogramma $a$ oldala 16 cm, a hozzá tartozó magasság pedig 9 cm. Mekkora a területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 7 cm és 9 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma területe $60 \; cm^2$, és az oldalaihoz tartozó magasságok 6 cm és 4 cm. Mekkorák az oldalai?
d) Egy paralelogramma $a$ oldala 8 cm és a hozzá tartozó magasság 6 cm. A $b$ oldalhoz tartozó magasság 4,8 cm. Mekkora a paralelogramma kerülete?
a) Egy paralelogramma oldalai 6 cm és 8 cm. A hosszabbik oldalhoz tartozó magasság 1 cm-rel rövidebb, mint a rövidebbik oldalhoz tartozó. Mekkora a paralelogramma területe?
b) Egy paralelogramma oldalainak hossza 8 cm és 10 cm, a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 6 cm. Mekkora a területe és a hosszabbik oldalhoz tartozó magasság?
c) Egy paralelogramma $a$ oldala 8 cm és a hozzá tartozó magasság 6,75 cm. A $b$ oldalhoz tartozó magasság 6 cm. Mekkora a paralelogramma kerülete?
d) Egy paralelogramma oldalai 12 cm és 8 cm. A rövidebbik oldalhoz tartozó magasság 2 cm-rel hosszabb, mint a hosszabb oldalhoz tartozó. Mekkora a paralelogramma területe?
a) Egy paralelogramma hosszabbik oldalhoz tartozó magassága 4 cm-rel rövidebb, mint a rövidebbik oldalhoz tartozó magassága. A hosszabbik oldal éppen kétszerese a rövidebbik oldalnak. Mekkora a paralelogramma kerülete, ha a területe $56 \; cm^2$?
b) Egy másik paralelogramma hosszabbik oldalhoz tartozó magassága 5 cm-rel rövidebb, mint a rövidebbik oldalhoz tartozó magasság. A hosszabbik oldal éppen kétszerese a rövidebbik oldalnak. Mekkora a paralelogramma kerülete, ha a területe $60 \; cm^2$?
Itt az ideje rendet tenni egy kicsit…
Síkidomnak nevezzük a sík zárt vonalakkal körülhatárolt részét.
Bob tehát nem tekinthető síkidomnak, mert kiállnak belőle ezek a vonalak.
Az összes többi viszont síkidom.
A síkidomok közül most csak azokkal foglalkozunk, amikben nincsenek belül lukak.
A luk nélküli síkidomokat egyszerű síkidomoknak nevezzük.
Hogyha megszüntetjük itt a lukakat…
Hopp, akkor már ezek is egyszerű síkidomok lesznek.
Mivel csak egyszerű síkidomokkal foglalkozunk, hívjuk őket simán síkidomnak.
A síkidomok között vannak olyanok, ahol a határoló vonalak csak egyenes szakaszokból állnak.
Ezeket hívjuk sokszögeknek.
Vagyis mindegyik sokszög síkidom.
És itt jön még egy dolog…
Ez itt egy vár, felülről nézve.
Ami végülis szintén egy síkidom.
Ráadásul egy sokszög.
A várakat egy nagyon ravasz trükkel építették meg…
Amikor jön az ostromló tömeg…
És odaérnek a várfal tövébe…
A vár védői, a vár belsejéből is rálátnak a várfalra.
És így a várból tudják támadni az ostromlókat.
A dolog lényege ez.
Tudunk találni olyan pontokat, amik a váron belül vannak, de ha összekötjük őket, az összekötő szakasz mégis a váron kívül halad.
Egy háromszögben ez lehetetlen volna.
Ezért nem építenek háromszög alaprajzú várakat.
A vár-típusú sokszögeket konkáv sokszögeknek nevezzük.
A másik pedig a konvex.
Remek, újabb definíciók, ahol lehetetlen megjegyezni, hogy melyik az egyik és melyik a másik…
De csak mostanáig.
Itt jön ugyanis egy trükk.
Mindez nem csak sokszögekre, hanem bármilyen síkidomra is működik.
A konvex és konkáv szemléltetésére van egy unalomig ismert példa.
Várak nélkül…
A konkáv síkidom az, amelyikben el lehet bújni…
A konvex pedig, amiben nem lehet elbújni.
De hát miért akarna bárki is egy síkidomban elbújni?
És azon kívül, hogy ennek az elbújásnak semmi értelme, még simán összekeverhetjük, hogy most akkor a konkáv vagy a konvex az elbújós…
Úgyhogy maradjunk inkább a váraknál.
Most pedig folytassuk a sokszögekkel…
A sokszögeknél tartottunk…
És addig jutottunk, hogy vannak köztük konvexek és konkávok.
Most pedig nézzük meg, hogy mit tudnak még a sokszögek…
Vannak csúcsaik…
Oldalaik…
És szögeik.
Ráadásul mindegyikből ugyanannyi.
Ez itt például egy hatszög.
Vagyis hat darab csúcsa van, hat darab oldala és hat darab szöge.
Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala és minden belső szöge egyforma.
Ez például egy szabályos hatszög.
Mint ahogyan ez is hatszög…
Csak éppen ez a másik hatszög nem szabályos.
Ennek is minden oldala egyforma hosszú…
De a szögei, azok nem ugyanakkorák.
Aztán itt van egy szabályos ötszög.
Ez egy szabályos négyszög…
Amit úgy hívunk, hogy négyzet.
És ez itt egy szabályos háromszög.
Végül nézzük meg, hogy mi történik akkor, ha egy sokszögnek kiválasztjuk két csúcsát…
És összekötjük őket.
Olyankor, amikor szomszédos csúcsokat választunk…
A sokszögnek az egyik oldalát kapjuk.
Amikor viszont a csúcsok nem szomszédosak…
Az így kapott szakaszt a sokszög átlójának nevezzük.
A sokszögek nem szomszédos csúcsait összekötő szakaszokat átlónak nevezzük.
Egy háromszögben minden csúcs szomszédos egymással…
Úgyhogy a háromszögeknek nincsenek átlóik.
A négyszögeknek két darab átlójuk van.
A többi sokszögnek pedig…
Hát, azoknak már jó sok.
És most elérkezett az idő, hogy egy kicsit jobban megismerjük a háromszögeket.
És most nézzük, mit tudnak a háromszögek.
Vannak hegyes-szögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge hegyes-szög.
És vannak tompaszögű háromszögek…
Ezeknek minden szöge tompaszög.
Ja, nem.
A tompaszögű háromszögeknek csak az egyik szöge lehet tompaszög.
Hogyha ugyanis két tompaszögük is lenne…
Hát igen, így már nem kapnánk háromszöget…
Van még egy harmadik kategória is…
Ezek a derékszögű háromszögek.
Ezt jó tudni, írjuk is föl magunknak valahova ide.
És így szépen megjelent egymás mellett a háromszög mindhárom belső szöge.
Vannak aztán a háromszögnek külső szögei is.
A B csúcsnál a külső szög…
Hát, az nem ez…
A B csúcsnál a külső szög az ez.
De lehet ez is.
A külső szögek tehát ilyen kiegészítő szögek.
És bármely háromszögben a külső szögek összege 360o.
Ezt is felírhatnánk ide…
De inkább mégse.
A háromszögek belső szögeinek az összege ugyanis mindig 180 fok.
Így hát nem lehet benne két olyan szög, ami 90 foknál nagyobb.
Most pedig essünk túl néhány dögunalmas formaságon.
A háromszögek csúcsait az ABC nagy betűivel jelöljük.
És a szögeket pedig görög betűkkel jelöljük.
Hogyha veszünk most még egy ugyanilyen háromszöget…
És így szépen egymás mellé rakjuk őket…
Akkor ez a szög itt éppen 180o.
Ezek a szögek pedig váltószögek…
Tehát egyforma nagyok.
Vagyis bármely háromszög belső szögeinek összege éppen 180o.
A belső szögek összege mindig 180 fok.
És van itt még valami…
A háromszög bármelyik oldalának rövidebbnek kell lennie, mint a másik két oldal összege.
Csak így tudunk belőlük háromszöget építeni.
Hogyha a c oldal hosszabb lenne, mint az a és b oldal összege…
Bárhogyan is próbálkozunk…
Nem lesz belőle háromszög.
Ezt a nem túl bonyolult dolgot hívjuk háromszög-egyenlőtlenségnek.
HÁROMSZÖGEK
Háromszög-egyenlőtlenség
Minden háromszögben bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál.
Ezt háromszög-egyenlőtlenségnek hívják.
A háromszögek egyik speciális típusa az egyenlő szárú háromszögek.
Az egyenlő szárú háromszögek úgy működnek, hogy van két ugyanakkora oldaluk…
Ezeket hívjuk száraknak.
És van még egy harmadik oldal, amit alapnak nevezünk.
.
Az egyenlő szárú háromszögek tengelyesen szimmetrikusak.
Vagyis az alapon fekvő szögek egyformák.
A szárak által bezárt szöget pedig a szimmetriatengely felezi.
Az alapot a-val szoktuk jelölni…
A szárakat pedig b-vel.
Az a oldallal szemben van az A csúcs…
És az A csúcsnál van az a szög.
A szárakat b-vel jelöljük.
És ezek béta szöget zárnak be az alappal.
Hogyha az egyenlő szárú háromszögben az alap is ugyanolyan hosszú, mint a szárak…
Akkor szabályos háromszöget kapunk.
A szabályos háromszögnek minden oldala ugyanakkora.
És minden szöge is ugyanakkora.
Mivel pedig a háromszögek belső szögeinek összege 180 fok…
Végül itt jön még egy speciális háromszögfajta…
A derékszögű háromszög.
A derékszögű háromszögnek azt az oldalát, ami a derékszöggel szemben van, átfogónak hívjuk.
átfogó
A másik két oldal pedig, amik befogják a derékszögű csúcsot…
Azok a befogók.
befogó
És még egy dolog…
A derékszöget lehet jelölni így is…
Meg így is.
A csúcsokat úgy szoktuk a derékszögű háromszögekben elnevezni, hogy mindig a C csúcsnál legyen a derékszög.
És a vele szemben lévő oldalt vagyis az átfogót hívjuk c-nek.
A másik két csúcs A és B…
És velük szemben van az a és b oldal, amik mindketten befogók.
Kezdetnek ennyit a háromszögekről.
Íme, ez egy négyszög.
A csúcsokat az abc nagy betűivel jelöljük, az oldalakat pedig…
Az oldalakat az abc kis betűivel jobb sodrással.
És a négyszögek rendelkeznek valami olyannal, amiről a háromszögek még csak nem is álmodhatnak…
Vannak átlóik.
Most pedig nézzük, hogy milyen típusú négyszögek vannak.
A legszabályosabb négyszög a négyzet.
Az oldalai egyenlő hosszúak, a csúcsaik derékszögek.
És az átlóik is merőlegesek egymásra.
A négyzetet kétféleképpen tudjuk elrontani.
Vagy az oldalait rontjuk el…
vagy a szögeit.
Az egyiket téglalapnak hívjuk, itt csúcsoknál lévő szögek továbbra is derékszögek, csak éppen az oldalaknak nem kell egyforma hosszúnak lennie.
TÉGLALAP
A másiknak a neve rombusz. Itt az oldalak továbbra is mind egyforma hosszúak, csak éppen a csúcsoknál nem kell derékszögnek lenni.
ROMBUSZ
De a téglalap és a rombusz hivatalos definíciója nem ez.
A helyzet egy kicsit izgalmasabb.
Ez itt mind téglalap…
Ez pedig itt mind rombusz.
Tehát a négyzet is téglalap.
Sőt a négyzet rombusz is.
Most már egy kicsit kezd zavarossá válni a helyzet, de aggodalomra semmi ok.
Mindjárt kitisztul.
Csak előbb itt jön még egy dolog.
Amiben a téglalap és a rombusz minden rossz tulajdonságát egyesítjük.
És íme, itt is van.
Ez egy oldalba lökött téglalap.
Vagy hivatalos nevén paralelogramma.
Rossz hír: újabb osztály…
És kiderül, hogy tulajdonképpen itt eddig mindenki paralelogramma.
A paralelogramma olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldalpárja.
Egy darab oldalpár…
és még egy.
A téglalap nem más, mint derékszögű paralelogramma.
A rombusz pedig egyenlő oldalú paralelogramma.
De van ám itt még más is.
Jönnek a trapézok.
A trapéz egy olyan négyszög, aminek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
Persze ettől még lehet neki több is…
Na, csináljunk egy kis helyet a trapézoknak is.
Úgy néz ki, hogy eddig itt mindenki trapéz.
De még mindig van újabb típus…
Ehhez most az átlókat kell nézni.
Mégpedig azt, hogy merőlegesek-e vagy sem.
A merőleges átlójúak közül azokat nevezzük deltoidnak, amik papírsárkány-alakúak.
Ez deltoid…
Ez nem deltoid.
És végül vannak azok a négyszögek, amiknek nincsen semmilyen különösebb ismertetőjele.
Ez tehát a teljes kollekció.
A két nagy csoport a trapézok és a deltoidok csoportja.
Deltoid az a négyszög, amelynek átlói merőlegesek egymásra és legalább az egyik átló szimmetriatengely.
Trapéz pedig az, amelynek van legalább egy párhuzamos oldalpárja.
A trapézok közül azokat, akiknek két párhuzamos oldalpárja is van paralelogrammának nevezzük.
Az egyenlő oldalú paralelogrammák a rombuszok.
A derékszögű paralelogrammák pedig a téglalapok.
Van azonban egy olyan dolog, amely minden négyszögben egyforma.
Hogyha összeadjuk a négyszögek belső szögeit…
akkor mindig 360 fokot kapunk.
És most lássuk, mi a helyzet a négyszögek területével.
A többi négyszög területét általában úgy lehet csak kiszámolni, hogy földaraboljuk őket háromszögekre…
A háromszögek területével pedig már valahogyan el tudunk bánni.
A teljesen általános négyszögekkel nem igazán tudunk mit kezdeni…
Általában ilyenkor azt csináljuk, hogy az egyik átlója mentén kettévágjuk két darab háromszögre.
És a háromszögekre már egy tonna területképletünk meg mindenféle egyéb képletünk van.
Így hát most csak a speciális négyszögekkel fogunk foglalkozni.
A speciális négyszögek két nagy osztályba sorolhatók.
Az egyik csoport a trapézok, a másik pedig a deltoidok.
Most a trapézokkal fogunk foglalkozni.
Jönnek is a trapézok...
Trapézok
A trapéz olyan négyszög, aminek van két párhuzamos oldala.
Ezeket hívjuk a trapéz alapjának.
És most lássuk a trapéz szögeit.
A trapéz szárain fekvő szögek tehát mindig 180 fokra egészítik ki egymást.
Ha a trapéz egyik alapján fekvő két szög ugyanakkora, olyankor a trapéz szimmetrikus.
A szimmetrikus trapézt szokás még egyenlő szárú trapéznak is hívni, ugyanis a két szára mindig egyforma hosszú.
Ezen kívül van egy fantasztikus tulajdonsága is, hogy van köré írható köre.
Egy téglalap területét kiszámolni őrülten egyszerű.
Csak összeszorozzuk a két oldalát, és kész is.
A dolog akkor válik egy kicsit érdekesebbé…
Ha a téglalapot egy kicsit oldalba lökjük.
Ezt úgy hívjuk, hogy paralelogramma.
A paralelogramma területét egy trükk segítségével tudjuk kiszámolni.
Átdaraboljuk téglalappá.
Ezt a vonalat itt a paralelogramma magasságának nevezzük.
Legalábbis az a oldalhoz tartozó magasságnak.
Mert tartozik magasság a b oldalhoz is.
De most maradjunk inkább az a oldalnál.
Hogyha veszünk egy ollót, és a magasságvonalnál szétvágjuk a paralelogrammát…
És aztán a levágott darabot átrakjuk ide…
Hopp, akkor éppen egy téglalapot kapunk.
Aminek az egyik oldala a a másik pedig ma.
És így a területe…
Most nagyon óvatosan visszatesszük ezt a kis háromszöget…
És meg is van a paralelogramma területe.
Ezt gyorsan írjuk is föl magunknak ide.
elrontjuk.
A trapézoknál tartottunk…
