Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Középiskolai matek (teljes)

Kategóriák
  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Halmazok
  • Gráfok
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Számelmélet
  • Elsőfokú egyenletek
  • Elsőfokú függvények
  • Függvények ábrázolása
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Síkgeometria
  • Egybevágósági transzformációk
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Egyenletrendszerek
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Szöveges feladatok
  • Középpontos hasonlóság
  • Trigonometria
  • Kombinatorika
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
  • Szinusztétel és koszinusztétel
  • Feladatok függvényekkel
  • Vektorok
  • Koordinátageometria
  • A parabola (emelt szint)
  • A teljes indukció (emelt szint)
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Térgeometria
  • Valószínűségszámítás
  • A várható érték
  • Statisztika
  • Vegyes emelt szintű feladatok
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
01
 
Konvergens sorozatok definíciója és a küszöbindex kiszámolása
02
 
Divergens sorozatok
03
 
Érdekesebb konvergens sorozatok
04
 
Sorozatok monotonitása
05
 
Sorozatok korlátossága, infimum és szuprémum
06
 
További feladatok sorozatok monotonitásával

Konvergens sorozat definíciója

Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy

$ \mid a_n - A \mid < \epsilon $ minden $n > n_0$-ra

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorozat határértéke

Az $a_n$ sorozat konvergens és határértéke az $A$ szám, ha minden $\epsilon > 0$ esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $ \mid a_n - A \mid < \epsilon$ minden $n>n_0$-ra.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Divergens sorozat

Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke plusz végtelen, ha bármely $M>0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M<a_n$ minden $n>n_0$-ra.

Az $a_n$ sorozat divergens, és határértéke minusz végtelen, ha bármely $M<0$ szám esetén van olyan $n_0$ küszöbindex, hogy $M>a_n$ minden $n>n_0$-ra.

Az $a_n$ sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagysi sem egy valós számhoz, sem plusz vagy minusz végtelenbe nem tart.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Sorozatok monotonitása

Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton nő, ha $0<a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat szigorúan monoton csökken, ha $0>a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat monoton nő, ha $0\leq a_{n+1}-a_n$.

Az $a_n$ sorozat monoton csökken, ha $0 \geq a_{n+1}-a_n$.

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

a) \( a_n = \frac{3n^2+5}{2n^2+4} \)

b) \( a_n = \frac{ 2 \cdot 5^n + 4 }{ 4\cdot 5^n +1} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =(-1)^n \frac{2n^2+1}{n^2+n} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-2} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =\frac{6-n}{8n^2-600} \)

b) Mennyi lesz az \( \epsilon = 10^{-3} \) -hoz tartozó \( n_0 \), ha

\( a_n =\frac{5\cdot 4^n - 12}{3 \cdot 4^n - 64} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását.

a) \( a_n = \frac{6n+7}{2n+1} \)

b) \( a_n = \frac{2n+1}{5n+7} \)

c) \( a_n = \frac{4n^2+7}{3n^2+1} \)

d) \( a_n = \frac{2n^2-3n+6}{n^2+4} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Vizsgáljuk meg az alábbi sorozatok monotonitását és korlátosságát.

a) \( a_n = \frac{6n+1}{2n+7} \)

b) \( a_n = (-1)^n \frac{2n^2+5}{n^2+1} \)

c) \( a_n = (-1)^n \frac{5^{n+1}+3}{5^n+7} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

A monotonitás, Szigorúan monoton növő sorozatok, Szigorúan monoton csökkenő sorozatok, Monoton növő sorozatok, Monoton csökkenő sorozatok, A monotonitás vizsgálata, Egy trükk a monotonitás vizsgálatához.A sorozatok konvergenciájának definíciója nagyon fontos a matematikában és itt elmagyarázzuk úgy, hogy biztosan megértsd. A konvergencia definíciója, Az epszilon és a hozzá tartozó küszöbindex kiszámolása, Epszilon sugarú környezet, A sorozat tagjai, A sorozat indexei, A határérték epszilon sugarú környezete, Néhány konvergens sorozat. A divergencia definíciója, Végtelenhez tartó sorozatok, Mínusz végtelenhez tartó sorozatok, Oszcillálva divergens sorozatok, Az M és a hozzá tartozó küszöbindex kiszámolása, A sorozat tagjai, A sorozat indexei, A határérték epszilon sugarú környezete, Néhány divergens sorozat.



Konvergens sorozatok definíciója és a küszöbindex kiszámolása

Ha egy sorozat előbb utóbb tetszőlegesen megközelít valamilyen számot, akkor a sorozatoknak ezt a tulajdonságát konvergenciának nevezzük.

A konvergencia definícióját több száz év alatt találták ki a matematikusok. Nekünk most lesz rá egy percünk.

Az  sorozat konvergens és határértéke az A szám, ha bármilyen pici -hoz tudunk találni olyan  indexet, hogy minden ezt követő tag -nál közelebb van az A számhoz.

Ezt nevezzük a sorozat határérték definíciójának.

Mivel azonban a matematika törekszik az egyszerű megfogalmazásokra, nos emiatt még át kell esnie egy kis igazításon.

Íme itt is van.

A leginkább kétségbeejtő rész ebben az új definícióban ez.

De aggodalomra semmi ok. Az, hogy

mindössze ezt jelenti.

Vagyis azt, hogy  közelebb van -hoz, mint .

Nézzük meg például, hogy mennyi lesz az -hoz tartozó , ha

Nos, úgy tűnik akkor lesz a sorozat -nál közelebb a határértékéhez, ha

Vagyis a hetedik tagtól és így .

Itt van aztán egy másik nagyszerű sorozat.


Divergens sorozatok

Újabb nagyszerű sorozatok felbukkanása várható életünkben. A konvergens sorozatokat már ismerjük:

Itt jönnek aztán a divergens sorozatok.

Ez a sorozat például azért divergens, mert végtelenbe tart.

A sorozat bármilyen  számot túlnő, tagjai megállíthatatlanul tartanak a végtelen felé.

Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek azért divergensek, mert mínusz végtelenbe tartanak.

És végül vannak olyan divergens sorozatok is, amelyek nem tartanak sehova. Ilyen sehova sem tartó sorozat például ez:

Az  sorozat oszcillálva divergens, ha nincs semmilyen határértéke, vagyis sem egy valós számhoz, sem plusz vagy mínusz végtelenbe nem tart.

Íme a menü:

Nézzük meg, mit művel például ez a sorozat:

A jelek szerint divergens, és tart plusz végtelenbe.

Ez azt jelenti, hogy bármely M>0-ra van olyan n0, hogy

Ha mondjuk , akkor

és így

Ez azt jelenti, hogy sorozatnak a 14696-odik tag utáni összes tagja 600-nál nagyobb.

Ha ez a bizonyos M nem 600, hanem mondjuk 800…

akkor a sorozat egy későbbi tagtól ugyan, de a 800-on is túlnő.

Itt jön aztán egy vicces sorozat. Próbáljuk meg kiszámolni az -hoz tartozó -t

A sorozat divergens.

Így aztán nem létezik -hoz semmiféle .


Érdekesebb konvergens sorozatok

Itt az ideje, hogy szeszélyesebben viselkedő sorozatokkal is megismerkedjünk.

És most megszabadulunk az abszolútértékektől.

Fönt kezdjük.

Ha n=1

Lássuk csak,  vajon pozitív-e.

Nos, ha n=1, 2, 3, 4, 5 akkor igen. De 6 után negatív.

Minket a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis  valahol itt lesz.

Most pedig nézzük mi van a nevezővel.

Ha n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 akkor negatív.

De 9-től már pozitív.

Minket most is a nagy n-ek érdekelnek, ugyanis  valahol itt lesz.

Beszorzunk és aztán kicsit rendet rakunk…

És íme a küszübindex.

Itt jön egy újabb remek sorozat,  és

Lássuk mi a helyzet a nevezővel. Ha n=1, 2, 3, akkor negatív…

De az összes többi n-re pozitív.


Sorozatok monotonitása

A sorozatok monotonitásának vizsgálata valóban elég monoton elfoglaltság lesz.

Szóval ne sok izgalomra számítsunk…

Egy sorozat szigorúan monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb az előtte lévő tagnál.

Szigorúan monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb az előtte lévő tagnál.

Monoton növekedő, ha bármelyik tagja nagyobb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.

És monoton csökkenő, ha bármelyik tagja kisebb vagy egyenlő az előtte lévő tagnál.

Itt van például egy sorozat, és vizsgáljuk meg a monotonitását.

Nos ez elég rémes lesz.

2.1.   

A jelek szerint tehát szigorúan monoton nő.

Ugyanezt kideríthetjük egy trükk segítségével is.

Épp itt is jön:

Itt picit álljunk meg gondolkodni.

Mi történik, ha a 4-et egyre nagyobb számokkal osztjuk?

Nos ez.

Nézzünk meg egy másikat is.

A sorozat szigorúan monoton nő.

Lássuk, hogyan jön ez ki a trükk segítségével is:

Jön megint a gondolkodás.

Mi történik, ha a 9/5-öt egyre nagyobb számokkal osztjuk?

A mínusz jellel együtt viszont már szigorúan monoton nő.

És így az egész sorozat is szigorúan monoton nő.

Itt jön aztán egy érdekesebb eset:

Ha akkor a számláló éppen nulla.

Ha  akkor pozitív.

Tehát a sorozat monoton nő.

Lássuk, hogyan működik itt a trükk:

Nos, sehogy.

Az okozza a problémát, hogy egyszerre  és  is szerepel és sajna ilyenkor a trükk nem működik…

Vannak aztán olyan sorozatok is, amelyek nem monotonok.

Sajnos ettől még nem mondható el róluk, hogy izgalmasak volnának.

Itt van például egy ilyen.

Az ilyen sorozatokat oszcilláló sorozatoknak nevezzük.

Ez a sorozat például a nulla körül oszcillál:

  ha n páratlan

  ha n páros

Mi jöhet még ez után…


Sorozatok korlátossága, infimum és szuprémum

További feladatok sorozatok monotonitásával

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim