- Algebra, betűs kifejezések használata
- Nevezetes azonosságok, binomiális tétel
- Hatványozás, hatványazonosságok, normálalak
- Gyökvonás, gyökös azonosságok, gyöktelenítés
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet, számrendszerek
- Egyenes arányosság, fordított arányosság
- Elsőfokú egyenletek
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Arányos osztás, szöveges feladatok arányos osztással
- Szöveges feladatok
- Függvények
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Pontok, egyenesek, síkok, szögek, a geometria alapjai
- Síkidomok, háromszögek, négyszögek, sokszögek
- A kör
- A Pitagorasz-tétel
- Egybevágósági transzformációk
- Mértékegységek és mértékegység-átváltás
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria a síkgeometriában
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
- Százalékszámítás
- Kamatos kamat és pénzügyi számítások
- Számtani és mértani sorozatok
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- Térgeometria
- Statisztika
- Valószínűségszámítás
- Geometriai valószínűség
- A várható érték
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
Számtani és mértani sorozatok
Számtani sorozat
Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.
A sorozat differenciája az a szám, amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a differenciát $d$-vel jelöljük.
A számtani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 + (n-1) d \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \)
A számtani sorozatok tehát olyan legalább három számból álló számsorozatok ahol az egymással szomszédos tagok (egy tag, és az őt megelőző tag) különbsége állandó. Ezt az állandót, amely minden sorozatnál más és más, a sorozat különbségének, vagy másként differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük. A számtani sorozat elnevezés onnan ered, hogy a sorozatnak bármely három egymást követő tagjára igaz, hogy a három szám közül a középső a két másik számnak a számtani közepe.
Mértani sorozat
Mértani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három tagból álló sorozatokat, ahol bármely két egymást követő tag (egy tag és az őt megelőző tag) hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek nevezzük és $q$-val jelöljük. Egy kicsit egyszerűbben megfogalmazva egy sorozat akkor mértani sorozat, ha minden tagja pontosan $q$-szor annyi, mint az előző tag, ahol $q$ egy tetszőleges nem nulla szám, és ezt hívjuk a sorozat hányadosának, vagy másként kvóciensének.
Vagyis a sorozat kvóciense vagy hányadosa az a szám, ahányszor mindegyik tag nagyobb az előzőnél.
A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a kvóciensét vagy hányadosát $q$-val jelöljük.
A mértani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
Az első $n$ tagjának összegét pedig így:
\( S_n = a_1 \frac{ q^n -1 }{q-1} \)
Olyankor, amikor $q = 1$ ez az összegképlet nem működik. Ilyenkor a sorozat minden tagja az előző tag egyszerese, ami azt jelenti, hogy a sorozatnak minden tagja ugyanannyi. Ekkor az összegképlet így néz ki: \( S_n = a_1 \cdot n \)
A mértani sorozat elnevezés onnan ered, hogy a nem negatív tagú mértani sorozatokra igaz, hogy bármely három egymást követő tagja közül a középső tag a másik két tag mértani közepe.
a) Bob úgy dönt, hogy fejlesztenie kell egy kicsit a matektudását, ezért egy héten keresztül minden nap 5 perccel többet bambul a matekfüzete felett, mint előző nap. Az első nap 20 percig bírta. Mennyi ideig matekozik Bob a hetedik napon? Mennyit matekozik Bob a hét nap alatt összesen?
b) Egy számtani sorozat ötödik tagja 23 és nyolcadik tagja 47. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája? Mekkora az első 10 tag összege?
c) Egy számtani sorozat ötödik tagja 16 és a huszonharmadik tagja 70. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája?
a) Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?
b) Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?
a) Egy okostelefonokat gyártó cég minden hónapban egyre több darabot tud eladni egy bizonyos típusú telefonból. A növekedés ütemét kétféle modellel közelíthetjük.
Az egyik modell szerint havonta átlagosan 5400-zal több telefont adnak el.
A másik modell szerint a havonta eladott telefonok száma átlagosan 1%-kal nő.
- Hány darab telefont adnak el decemberben az egyik és a másik modell szerint, ha januárban 542 661 darab telefont tudnak eladni ebből a típusból?
- Hány darab telefont adnak el egész évben összesen az egyik és a másik modell szerint?
b) Bob maraton-futásra készül, ahol a táv 42 195 méter. A siker érdekében 10 héten át minden héten futni megy. Első héten 3 kilométert fut, az utolsó héten pedig lefutja a 42 195 métert.
Mivel Bob rajong a sorozatokért, így azt találja ki, hogy a hetente lefutott távok egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek. Hetente hány kilométerrel többet fut Bob? Összesen hány kilométert fut a 10 hét alatt?
Hetente hány százalékkal többet fut Bob, ha a heti távok egy mértani sorozat egymást követő tagjai? Hány kilométert fut így a 10 hét alatt összesen?
Egy sorozatról tudjuk, hogy a negyedik tagja 72 és a hetedik tagja 576.
a) Nagyobb-e a sorozat tízedik tagja 1111-nél, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Melyik az első olyan tag, ami már 6000-nél is nagyobb, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
A Föld népessége 2022-ben 8 milliárd fő volt és a népesség növekedésének mértéke jelenleg körülbelül évi 1%.
a) Hány fő élne 2100-ban a Földön, ha addig folyamatosan évi 1% lenne a népességnövekedés?
b) Melyik évben érné el a 12 milliárd főt a Föld népessége évi 1%-os növekedés mellett?
c) Ha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a Föld népessége, akkor 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene növekednie a népességnek, feltételezve, hogy minden évben ugyanannyi százalékkal nő a népesség?
Egy vasútvonalon a nagysebességű vonatok forgalma évente folyamatosan növekszik. A növekedést különböző modellekkel lehet becsülni.
a) A lineáris becslési módszer szerint a vonatok forgalma minden évben ugyanannyival nő. 2023-ban 6,1 millió utas volt és 2050-re ez a szám 10,4 millió lesz. A modell szerint hány fővel növekszik a forgalom egy év alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az utasok száma évente átlagosan 2%-kal nő. 2023-ban 6,1millió utassal számolva hány fővel növekszik az utasok száma 2040. és 2041. között?
c) Hány év alatt nő 30%-kal az utasok száma az exponenciális modell szerint?
Egy mértani sorozat első három tagjának összege 124. Ha az első tagjához 12-t, és a második tagjához 36-ot adunk, a harmadik tagjából pedig 4-et levonunk, akkor az így kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz. Mekkora az eredeti mértani sorozat hányadosa?
Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 12 és a kilencedik tagja 324.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani sorozatról van szó?
b) Mennyi az első 10 tag összege, ha mértani sorozatról van szó?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=-7$ és $a_8=896$.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 35. Ha a harmadik számot 5-tel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot!
a) Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy ha a huszonharmadik tagjából kivonjuk a tizenhatodik tagját, akkor 119-et kapunk, a sorozat hetedik tagja pedig 144. Mennyi a sorozat századik tagja?
b) Adjunk meg az 56 és az 576 között 12 darab számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt ez a 14 darab szám egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek.
c) Egy mértani sorozat ötödik tagja 48, a kilencedik tagja 768. Mennyi a sorozat tízedik tagja?
Egy sorozat hatodik tagja 1215, hetedik tagja pedig 3645. Mennyi a sorozat nyolcadik tagja és az első nyolc tagjának összege, ha
a) Számtani sorozatról van szó?
b) Mértani sorozatról van szó?
Egy mértani sorozat első tagja 9, az első hat tagjának összege 567, az első hét tag összege pedig 1143. Mennyi az első nyolc tag összege?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=5$ és $a_6=1215$. Igazoljuk, hogy ha az első n tag összege 5890-nél kisebb, akkor n legfeljebb 7 lehet, függetlenül attól, hogy számtani vagy mértani sorozatról van-e szó.
A Föld átlaghőmérséklete 13,7 °C volt 1900-ban. 100 év alatt 0,74 °C mértékű a melegedés.
a) A lineáris becslési módszer szerint az átlaghőmérséklet minden évben ugyanannyival nő. Mekkora lesz ez alapján a Föld átlaghőmérséklete 2060-ban?
b) Az exponenciális modell szerint az átlaghőmérséklet évente mindig ugyanazzal a százalékkal nő. Mekkora ez a százalék?
c) Mekkora lesz az átlaghőmérséklet 2060-ban az exponenciális modell szerint?
d) Szakemberek szerint a 16 °C-os átlaghőmérséklet már komoly veszélyt jelenthet a földi civlizációra. Melyik évben érhetjük el a 16 °C-os átlaghőmérsékletet az egyik illetve a másik modell szerint?
Egy számtani sorozat első tagja 12. Az első tíz tag összege négyszer akkora, mint közülük a páros indexű tagok összege.
Mekkora a sorozat differenciája?
Egy mértani sorozat első 4 tagjának az összege 105, az 5., 6., 7., és 8. tag összege 1680. Melyik ez a sorozat?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_{10} + 2 a_8 = 3 a_9$ és $a_4 = 24$. Mennyi $a_7$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Egy számtani sorozat első 3 tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő 3 tag összege. Az első 6 tag összege 60. Melyik ez a sorozat?
a) Egy számtani sorozat első és századik tagjának összege 576. Mennyi az első száz tag összege?
b) Egy számtani sorozat második tagja 8 és a differenciája 3. Az első n tagjának összege 220. Mennyi az n értéke?
Egy számtani sorozat első és harmadik tagjának összege 8. A sorozat harmadik, negyedik és ötödik tagjának összege 9.
Mekkora az első tíz tag összege?
Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_{10}$, ha
a) számtani sorozatról van szó.
b) mértani sorozatról van szó.
Az új autók értéke a megvásárlás pillanatától kezdve csökken. A csökkenés mértékét különböző modellekkel lehet becsülni.
a) A lineáris becslési módszer szerint az autó minden hónapban ugyanannyi forintot veszít az értékéből. Egy újonnan 6 millió forintba kerülő autó értéke a lineáris becslési módszer szerint 5 év alatt csökken a felére. Hány forinttal csökken az autó értéke egy hónap alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az új autó értéke havonta 1%-kal csökken. Hány forintra csökken a 6 millió forintba kerülő új autó értéke két év alatt az exponenciális modell szerint, és ez hány százalékos csökkenést jelent az új kori értékéhez képest?
c) Hány hónap alatt csökken a felére az autó értéke az exponenciális modell szerint?
a) Egy számtani sorozat második tagja 24, ötödik tagja 81. Hány százalékkal nagyobb a sorozat első 16 tagjának összege a sorozat 106. tagjánál?
b) Egy mértani sorozat második tagja 24, ötödik tagja 81. A sorozat tagjai között hány olyan van, amelyik kisebb, mint 10 000 000?
a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3. Mennyi a sorozat 38. tagja és mennyi az első 50 tagjának összege?
b) Egy számtani sorozat harmadik tagja 5, hatodik tagja 17. Mennyi a sorozat első 20 tagjának összege?
c) Egy mértani sorozat második tagja 8, ötödik tagja 27. Mennyi a 15. tagja?
a) Egy mértani sorozat első tagja 5, második és harmadik tagjának összege 10. Mennyi az első hét tagjának összege?
b) Egy mértani sorozat második és negyedik tagjának összege 9, harmadik és ötödik tagjának összege 27. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa?
c) Egy számtani sorozat első tagja 2, első hét tagjának összege 45,5. Mennyi a hatodik tagja?
a) Egy számtani sorozat első tagja 5, differenciája 3, az első n tagjának összege 1550. Mennyi az n?
b) Egy mértani sorozat első tagja 10, hányadosa 1,5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell összeadni ebben a sorozatban, hogy az összeg elérje az 1000-et?
c) Egy számtani sorozat első tagja 12. A sorozat első hat tagjának összege egyenlő a sorozat első hét tagjának összegével. Mennyi a sorozat nyolcadik tagja?
Egy mértani sorozat első három tagjának a szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három elemét kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 24. ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-öt, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozzuk meg a számtani sorozat differenciáját.
Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!
Egy számtani sorozat második tagja 3. A sorozat első tíz tagjának összege harmad akkora, mint a következő tíz tag összege. Határozzuk meg a sorozat első tagját és differenciáját.
Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 36. Ezen tagokhoz rendre 16-ot, 12-öt, és 10-et adva egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozzuk meg a számtani sorozatot.
Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt, 6-ot, 9-et és 15-öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozzuk meg a mértani sorozat kvóciensét.
Három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Ha a 2. számhoz 8-at adunk, egy számtani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Ha az így kapott sorozat 3. tagjához 64-et adunk, egy új mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Határozzuk meg az eredeti három számot.
Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 54-et, 39-et, 28-at, és 20-at adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozzuk meg a mértani sorozat kvóciensét.
Egy számtani sorozat 2. tagja 7, e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!
Egy számtani sorozat első 10 tagjának az összege feleakkora, mint a következő tíz tag összege. Az első 15 tag összege 375. Határozza meg a sorozat első tagját!
Itt szuper-érthetően megnézheted, hogy mi az a számtani sorozat és a mértani sorozat, mit jelent a differencia és a hányasos, hogyan kell egy sorozat n-edik tagját kiszámítani. Megnézzük a szémtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képletet is, aztán jön a mértani sorozt első n tag összegének képlete. Rengeteg feladat számtani sorozattal és mértani sorozattal lépésről lépésre megoldva.
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a számtani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. Megnézzük a számatani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait.
Bob úgy dönt, hogy fejlesztenie kell egy kicsit a matektudását, ezért egy héten keresztül minden nap 5 perccel többet bambul a matekfüzete felett, mint előző nap.
Az első nap 20 percig bírta. Mennyi ideig matekozik Bob a hetedik napon?
Bob matekozással töltött ideje egy sorozat.
A sorozat első tagja 20.
A második tagja 5-tel több…
És mindegyik tagja 5-tel több, mint az előző.
Azokat a sorozatokat, ahol minden tag ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.
Azt a számot amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél, a sorozat differenciájának hívjuk.
Most éppen a differencia 5.
A számtani sorozat n-edik tagját pedig így kapjuk meg.
A hetedik napon Bob matekozással töltött ideje pedig:
Hogyha tudjuk, hogy mennyi egy számtani sorozat első tagja…
És azt is tudjuk, hogy mennyi a differencia…
Akkor ezzel a képlettel a sorozat bármelyik tagját ki tudjuk számolni.
Számtani sorozat általános tagjának képlete:
Most számoljuk ki azt is, hogy mennyi időt töltött Bob matekozással a 7 nap alatt összesen.
Ezt úgy fogjuk megkapni, hogy szépen összeadogatjuk a sorozat első hét tagját:
Amit így fogunk jelölni.
És itt jön rá egy jó kis képlet.
Próbáljuk is ki…
Ennyit matekozik Bob a hét nap alatt összesen.
És most nézzünk valami vidámabb témát.
Itt egy újabb képletre lesz szükség, amit a számtani sorozat összegképletének nevezünk.
Egy számtani sorozat ötödik tagja 23 és nyolcadik tagja 47. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája? Mekkora az első 10 tag összege?
Készítsünk egy rajzot.
Ez egy számtani sorozat, tehát minden tagja ugyanannyival nagyobb az előzőnél.
Ez pedig Bob.
De rá most nem lesz szükség.
Nézzük meg, hogy mennyivel nagyobb a nyolcadik tag az ötödik tagnál.
Ennyivel.
És ez éppen a differencia háromszorosa.
A differencia meg is van.
Most lássuk, mennyi a sorozat első tagja.
Azt tudjuk, hogy az ötödik tag 23…
És a képlet szerint…
A sorozat első tagját ezzel a képlettel tudjuk kiszámolni.
Írjuk fel, mondjuk az ötödik tagra.
És most lássuk, mennyi az első 10 tag összege.
Itt is van a képlet…
Hát, sajnos az a10-ről nem tudunk semmit.
De ki tudjuk számolni.
5 11 17 23 29 35 41 47 50 53 56
16
Kész is.
Az egyetlen gubanc ezzel az összegképlettel az, hogy külön ki kellett hozzá számolni az a10-et.
Úgyhogy itt jön most egy másik képlet is.
Próbáljuk is ki ezt az új képletet és számoljuk ki újra az első 10 tag összegét.
A két képlet közül az egyszerűbb feladatoknál bőven jó az első is.
De az izgalmasabb esetekben a második jobban használható.
Végül itt jön még egy számtani sorozat.
Ötödik tagja 16 és a huszonharmadik tagja 73. Mennyi a sorozat első tagja és a differenciája?
Most is készítünk egy ábrát…
Ez az ötödik tag…
És a huszonharmadik…
Hát, inkább mégse csináljunk ábrát.
Ez a rajzolgatós módszer olyankor még működik, ha néhány tagot kell csak fölrajzolni…
De itt már jobban járunk a képlettel.
Hát igen, ez itt egy egyenletrendszer.
De pánikra azért nincs ok.
Szinte észre sem vesszük, olyan könnyen meg fogjuk oldani.
Az alsó egyenletből kivonjuk a felső egyenletet.
Csodás, ez kész is.
Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet.
Bob, a laborjában baktériumok tenyésztésébe kezd. Egy óra alatt 5 milligramm baktérium keletkezett, és utána óránként megduplázódik a baktériumok száma a tenyészetben. Hány milligramm baktériuma lesz Bobnak a hatodik órában?
Ez egy sorozat, aminek a tagjait úgy kapjuk meg, hogy az előző tagot mindig 2-vel szorozzuk.
Az ilyen sorozatokat mértani sorozatnak nevezzük.
A számtani sorozatoknál azt csináltuk, hogy az előző taghoz mindig ugyanazt a számot hozzáadtuk…
Most pedig ugyanazzal a számmal szorozzuk.
Ezt a számot q-val jelöljük, és a mértani sorozat hányadosának nevezzük.
És, hogy miért éppen hányadosnak hívjuk…
Ha egy mértani sorozat bármelyik tagját elosztjuk az őt megelőző taggal…
Akkor mindig ugyanazt a számot kapjuk.
Ezt hívjuk a sorozat hányadosának.
És így jutunk el a mértani sorozatok hivatalos definíciójához is.
Egy sorozat akkor mértani sorozat, ha a második tagtól kezdve bármelyik tag és az azt megelőző tag hányadosa állandó.
Ez a hányados a q, amit kvóciensnek is szokás nevezni.
A mértani sorozatoknak is van összegképlete...
Most pedig nézzünk meg egy tanulságos történetet.
általános képlete pedig ez.
Mértani sorozat általános tagjának képlete
És itt jön még az összegképlet is.
Egy iskolai futóversenyre a fiúk és a lányok külön-külön edzenek. Első nap mindannyian 3 kilométert futnak, aztán a fiúk minden nap 2 kilométerrel többet, a lányok pedig minden nap 20%-kal többet, mint előző nap. Mennyit futnak a fiúk és a lányok a tízedik napon? Mennyit futottak a 10 nap alatt összesen?
Kezdjük a fiúkkal.
Minden nap ugyanannyival futnak többet, úgyhogy ez egy számtani sorozat.
A sorozat első tagja 3…
És a differencia pedig 2.
Lássuk, hogy mennyit futottak a tízedik napon…
Most pedig nézzük, mennyit futottak a 10 nap alatt.
Ennyit.
Ez egy piti feladat, úgyhogy ide a könnyített képlet is elég lesz.
A 10 nap alatt a fiúk 120 kilométert futottak összesen.
Jönnek a lányok…
Ők is minden nap ugyanannyival futnak többet, naponta 20%-kal.
Úgy néz ki, hogy ez is egy számtani sorozat lesz…
De a lányok sárgák…
Vagyis valami gubanc még lesz itt.
A lányok első nap 3 kilométert futnak.
A második nap pedig 20%-kal többet.
Aztán megint 20%-kal többet, de ez már a második nap 20%-a.
És ahogy napról napra többet futnak…
Ezek a 20%-ok is egyre nagyobbak lesznek.
Úgy néz ki, hogy ez mégsem számtani sorozat.
Hanem egy mértani sorozat.
A kérdés, hogy mit kezdhetnénk ezzel a +20%-kal.
Az, hogy a lányok naponta 20%-kal többet futnak, ezt jelenti:
Minden nap 1,2-szer annyit futnak, mint előző nap.
Ez tehát egy mértani sorozat lesz, aminek 1,2 a hányadosa.
:
A mértani sorozat képletével kiszámoljuk a a10-et, és meg is van, hogy mennyit futottak a lányok a tízedik napon.
Azt, hogy a tízedik napon mennyit futnak, a mértani sorozat képletével tudjuk kiszámolni.
Úgy tűnik, hogy 15,48 kilométert.
Végül nézzük, hogy mennyit futottak a lányok 10 nap alatt összesen.
Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 36 és a hetedik tagja 576.
a) Nagyobb-e a sorozat tízedik tagja 1000-nél, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?
b) Hányadik tag lesz 6000-nél nagyobb, ha számtani, illetva ha mértani sorozatról van szó?
Kezdjük a számtani sorozattal…
És most lássuk, mi van a mértanival…
Ezeket az egyenletrendszereket megoldani nagyon egyszerű.
Kifejezzük az egyenletekből a1-et és szinte már kész is.
És most lássuk, hogy mi van ezzel a tízedik taggal…
Úgy néz ki, a számtani sorozat tízedik tagja még 1000-nél kisebb.
A mértani sorozaté viszont már nagyobb.
Ez a másik kérdés már izgalmasabbnak tűnik…
Az első olyan tagot keressük, ami már 6000-nél nagyobb:
A számtani sorozatnál a 48. tag az első, amely 6000-nél nagyobb.
Itt akár próbálgatással is megkaphatjuk a megoldást…
A mértani sorozatnál a 11. tag az első, amely 6000-nél nagyobb.
Azoknak, akik imádják a logaritmusokat, itt jön egy másik megoldás is.
Van egy ilyen, hogy:
És így is kijött, hogy a mértani sorozatnál a 11. tag az első, amely 6000-nél nagyobb.
A Föld népessége 2022-ben 8 milliárd fő volt és a népesség növekedésének mértéke jelenleg körülbelül évi 1%.
a) Hány fő élne 2100-ban a Földön, ha addig folyamatosan évi 1% lenne a népességnövekedés?
b) Melyik évben érné el a 12 milliárd főt a Föld népessége évi 1%-os növekedés mellett?
c) Ha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a Föld népessége, akkor 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene növekednie a népességnek, feltételezve, hogy minden évben ugyanannyi százalékkal nő a népesség?
Ez a történet nagyon emlékeztet Cilire, aki minden nap egy kockával több csokit eszik meg…
És Bobra, aki minden nap 1%-kal jobban utálja az ilyen matekfeladatokat.
Cili napi csokiadagjai mindig ugyanannyival nőnek, ezért ez egy számtani sorozat.
Bobnál viszont a növekedés minden nap 1%, vagyis
Az ilyen százalékos növekedés pedig mindig mértani sorozat.
És ebben a feladatban is éppen 1%-os a növekedés…
Így hát a sorozat hányadosa meg is van.
A sorozat első tagja a 8 milliárd…
A hányadosa pedig ez a bizonyos 1,01 lesz.
Most pedig készítsünk egy rajzot.
Hát, egészen 2100-ig nem fog kiférni…
De 2030-ig még igen.
És innen még 70 év.
Úgyhogy a sorozat indexéhez is 70-et kell adni.
Csak kiszámoljuk ezt a tagot, és kész is:
Ennyi ember élne a Földön 2100-ban, ha folyamatosan 1%-os a növekedés.
Most nézzük, hányadik tagnál éri el a sorozat a 12 milliárdot.
Jó lenne tudni, hogy mennyi az n.
Onnan a kitevőből egy logaritmus segítségével tudjuk leszedni…
Az mindegy, hogy milyen alapú logaritmus.
Legyen 10-es alapú, mert az van minden számológépen.
Az első olyan tag, ami 12 milliárdnál nagyobb, a 42. tag.
Már csak azt kéne tudni, hogy ez melyik év.
A jelek szerint 2063-ban érné el a Föld népessége a 12 milliárd főt.
Hogyha 2100-ra 10,35 milliárd fő lesz a népesség…
Akkor egy olyan mértani sorozatunk van, aminek az első tagja ugyanúgy 8 milliárd, mint az előbb…
És 2100-ban a sorozat 79. tagja van, ezt már korábban kiderítettük…
Ez a tag pedig 10,35 milliárd.
Itt a q-t úgy kapjuk meg, hogy gyököt kell hozzá vonni.
Mégpedig hetvennyolcadik gyököt.
Akinek nem őskövület a számológépe, ezt így tudja beírni:
A mértani sorozat hányadosa tehát 1,0033 vagyis évente ennyivel szorzódik a Föld népessége.
Úgy kapunk belőle százalékot, hogy megszorozzuk 100-zal.
Évente átlagosan 0,33%-kal kéne növekednie a népességnek.
Egy sorozatról tudjuk, hogy a harmadik tagja 12 és a kilencedik tagja 324.
a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani sorozatról van szó?
b) Mennyi az első 10 tag összege, ha mértani sorozatról van szó?
Kezdjük a számtani sorozattal.
Szinte észre sem vesszük és már meg is oldottuk ezt az egyenletrendszert…
És most jöhet az első 10 tag összege.
Hát, most nem egy főnyeremény ez a képlet, az a10-ről ugyanis fogalmunk sincs, hogy mennyi…
Nem baj, akkor bevetjük a durvább képletet…
Ez meg is van.
Jöhet a mértani sorozat.
Megint jön az egyenletrendszer…
Most, hogy ez megvan, visszarakjuk valamelyik egyenletbe…
Az első 10 tag összege pedig:
Most pedig végre kiderül, hogy miért hívják „számtani”nak a számtani sorozatot, és mitől „mértani” a mértani sorozat.
Sötét titkok fognak kiderülni, úgyhogy mindenki döntse el, valóban tudni akarja-e…
Az első titokzatos dolog a nevezetes közepek lesznek.
Ezt hívjuk az a és b számok számtani közepének:
A számtani közép nem más, mint az átlag.
És például három számnak is van számtani közepe…
Vagy négynek is.
De vannak olyan esetek, amikor egy másfajta átlagolásra van szükség.
Hogyha valaki például idősorok statisztikai elemzésével szeretne foglalkozni…
Vagy akkor is, ha szeretné tudni, hogy mitől „mértani” a mértani sorozat.
Ezt a másik típusú átlagot mértani átlagnak nevezzük…
És már jön is.
És egyúttal ez a két szám mértani átlaga.
A dolog most is működik több számra is…
És mindig annyiadik gyököt kell vonni, ahány szám van.
Most pedig lássuk, mi köze ezeknek a sorozatokhoz.
Hogyha x, y és z egy számtani sorozat három egymást követő tagja…
És a sorozat differenciája pedig d…
Akkor az x d-vel kevesebb…
A z pedig d-vel több az y-nál.
A három egymást követő tag közül a középső mindig a két másik tagnak a számtani közepe.
És most nézzük, mi a helyzet a mértani sorozatoknál.
És íme, itt a mértani közép.
És végül még egy dolog…
Nagyon szépek ezek a számtani és mértani közepek, de a mértani közepes képletben kicsit aggasztó ez az abszolútérték.
Vagyis jobban járunk, ha inkább ezt a verziót használjuk.
És akkor már a számtani sorozatnál is egyszerűbb inkább ez.
Most pedig lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket.
Egy mértani sorozat első három tagjának összege 124. Ha az első tagjához 12-t, és a második tagjához 36-ot adunk, a harmadik tagjából pedig 4-et levonunk, akkor az így kapott három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz. Mekkora az eredeti mértani sorozat hányadosa?
Az eredeti mértani sorozat első három tagja:
És itt jön a számtani sorozat három egymás utáni tagja:
A mértani sorozat első három tagjának összege pedig 124…
Úgy tűnik, hogy két ilyen mértani sorozat is lesz…
Az egyiknek a hányadosa q=5 a másiknak pedig q=1/5.
Egy vasútvonalon a nagysebességű vonatok forgalma évente folyamatosan növekszik. A növekedést különböző modellekkel lehet becsülni.
a) A lineáris becslési módszer szerint a vonatok forgalma minden évben ugyanannyival nő. 2023-ban 6,1 millió utas volt és 2050-re ez a szám 10,4 millió lesz. A modell szerint hány fővel növekszik a forgalom egy év alatt?
b) Az exponenciális modell szerint az utasok száma évente átlagosan 2%-kal nő. 2023-ban 6,1millió utassal számolva hány fővel növekszik az utasok száma 2040. és 2041. között?
c) Hány év alatt nő 20%-kal az utasok száma az exponenciális modell szerint?
Hát, ez nem hangzik túl jól…
Kezdjük azzal, hogy mit jelent az, hogy „lineáris”…
A lineáris függvények így néznek ki:
És ezek pedig az exponenciális függvények:
És itt van még a vonat is:
De ez most nem fog nekünk túl sokat segíteni.
Amit viszont jegyezzünk meg, hogy a számtani sorozat mindig lineáris modell…
A mértani sorozat pedig exponenciális.
Az első kérdésre tehát valamilyen számtani sorozatos választ fogunk adni, a másik kettőre pedig mértani sorozatosat.
Kezdjük a számtani sorozattal.
A sorozat első tagja meg is van.
Most lássuk, hányadik tag lesz vajon 2050-ben…
Hát, egészen 2050-ig nem fogunk kiférni a rajzzal…
És innen még 20 év.
Tehát itt, a sorozat indexeinél is még +20…
A sorozatnak ez a tagja pedig a modell szerint…
A kérdés, hogy mennyivel növekszik a forgalom évente…
Vagyis, hogy mekkora a sorozat differenciája.
A modell szerint évente átlagosan 159 259 fővel növekszik a forgalom.
És most jöhet a mértani sorozat.
Megint csinálunk egy ábrát…
És most a 2040-et kéne megkeresnünk rajta.
Na meg 2041-et.
A kérdés, hogy mennyivel nőtt az utasforgalom 2040-ről 2041-re.
Hát ennyivel:
2040-ről 2041-re az utasforgalom 170 830 fővel nőtt.
Végül itt jön az utolsó kérdés…
Az utasok száma évente 2%-kal nő.
Két év alatt a növekedés:
Három év alatt pedig:
És négy év alatt:
A kérdés az, hogy hány év alatt lesz a növekedés +20%...
Hát, ennyi.
13,249 év alatt növekszik az utasforgalom 30%-ot.
Vagyis 13 év es egy negyedév alatt.
Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy ha a huszonharmadik tagjából kivonjuk a tizenhatodik tagját, akkor 119-et kapunk, a sorozat hetedik tagja pedig 144. Mennyi a sorozat századik tagja?
Itt van a sorozat tizenhatodik tagja…
És ez pedig a huszonharmadik.
Az a16-ból úgy kapjuk meg az a23-at, hogy 7-et ugrunk.
És mindegyik ugrás a sorozat differenciája.
A differencia meg is van.
Azoknak, akiket a házorvosuk nem tiltott el a matematikai képletek használatától…
Itt jön egy másik megoldás is:
Most, hogy a differencia megvan, lássuk milyen adatot nem használtunk még föl.
Ezt…
A sorozat századik tagja pedig:
Ez meg is van. Jöhet még egy ilyen…
Adjunk meg a 56 és az 576 között 12 darab számot úgy, hogy a megadott számokkal együtt ez a 14 darab szám egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek.
Itt is jól jönne valami kis rajz…
Ja, mondjuk nem pont ez…
Akkor lesznek ezek a számok egy számtani sorozat egymást követő tagjai, ha mindegyik ugyanannyival több az előzőnél.
Ez lesz a sorozat differenciája.
Kész is.
Egy mértani sorozat ötödik tagja 224, a kilencedik tagja 768. Mennyi a sorozat tízedik tagja?
Megint jön a rajz…
Egy mértani sorozat minden tagja az előző tag q-szorosa…
És a tízedik tag is q-szorosa a kilencedik tagnak.
MIRE JÓK A SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK?
Kezdjük azzal, hogy egyáltalán mik azok a sorozatok… Ez itt például egy sorozat:
2, 5, 23, 1, 46, 52
Egy olyan sorozat, aminek 6 darab tagja van. A sorozat tagjait, általában így szoktuk jelölni, hogy a1, aztán a2, aztán a3 és így tovább. Ennél a sorozatnál az első tag a1=2 a második tag a2=5 és a sorozatnak összesen 6 darab tagja van. Itt jön most néhány példa izgalmasabb sorozatokra is, sőt megnézzük részletesen, hogy mik is azok a sorozatok, és mit érdemes tudni róluk. EZT MEGNÉZEM
Vannak olyan számsorozatok, amiknek minden tagja nagyobb az előző tagnál. Például:
2, 4, 6, 8, 10, 12…
Vagy éppen olyan sorozatok is vannak, aminek a tagjai egyre kisebbek:
1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…
A sorozatoknak ezt a viselkedését monotonitásnak nevezzük. Az emelt szintű anyagban részletesen foglalkozunk a monotonitással itt, az egyetemi tananyagokban pedig még alaposabban körbejárjuk ezt a témát. Hogyha középszinten érdekel a dolog, akkor itt is meg tudod nézni a sorozatok jellemzését: EZT MEGNÉZEM
Az egyik legfontosabb sorozat, amivel foglalkozni fogunk a számtani sorozat. Számtani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három számból álló számsorozatokat ahol az egymással szomszédos tagok (egy tag, és az őt megelőző tag) különbsége állandó. Ezt az állandót, amely minden sorozatnál más és más, a sorozat differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük. Olyankor, ha ez a differencia nulla, a sorozat minden tagja pontosan ugyanannyi. Ekkor konstans vagyis másként fogalmazva állandó számtani sorozattal van dolgunk. A számtani sorozat neve onnan ered, hogyha vesszük három egymást követő tagját a sorozatnak, akkor a három szám közül a középső mindig számtani közepe a két másik számnak.
Példa számtani sorozatra:
3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
Példa konstans számtani sorozatra:
5, 5, 5, 5, 5, 5, ...
A számtani sorozatok közül talán a legegyszerűbb a pozitív egész számok sorozata:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... A sorozat első száz tagjának az összegét a legenda szerint hat éves korában számolta ki egy ügyes kis trükk segítségével Carl Friedrich Gauss, minden idők egyik legnagyobb matematikusa. Gauss hatéves diákként gyakran unatkozott a matematika órákon. A tanár az egyik matekórán azt a feladatot adta Gaussnak, hogy adja össze 1-től 40-ig a számokat. Úgy gondolta, ezzel egy időre leköti, ám Gauss egy ravasz trükk segítségével pár perc alatt végzett a feladattal. A trükköt, és még több infót Gaussról itt találsz: EZT MEGNÉZEM
Mértani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három tagból álló sorozatokat, ahol bármely két egymást követő tag (egy tag és az őt megelőző tag) hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek nevezzük és q-val jelöljük. Abban az esetben, amikor q éppen 1, a sorozat konstans sorozat. A mértani sorozat onnan kapta nevét, hogy a nem negatív tagú mértani sorozatokra igaz, hogy bármely három egymást követő tagja közül a középső tag a másik két tag mértani közepe.
Példa mértani sorozatra:
1, 3, 9, 27, 81, …
Példa konstans mértani sorozatra:
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...
Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot, sőt ismerték a számtani sorozat és a mértani sorozat összegképletét is. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való, és amelyen megtalálták a következő feladatot, ami később számos feladatgyűjteményben és népi találós kérdésben is felbukkant, és érdekes módon mindig a 7-es számmal. A feladat így szól, hogy: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzaszemet, minden búzaszemből 7 hekat búza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?”
A feladat népszerűsége máig töretlen, beugratós változatát a Die Hard című filmsorozat is felhasználta a harmadik epizódjában ( Die Hard - With a Vengeance ) ahol egy Simon (Jeremy Irons) nevű terrorista adta föl ezt a rejtvényt ebben a formában: „St Ives felé haladtomban egy hétfeleséges férfiba botlottam, minden feleségnek volt hét zsákja, minden zsákban volt hét macska, minden macskának volt hét kiscicája. Cicák, macskák, zsákok, feleségek, St Ives felé hányan mendegéltek? Ha egy percen belül nem hívnak vissza, meghalnak. A telefonszámom 555 és a válasz.” Itt azonban nem volt szükség a mértani sorozat összegképletre, ugyanis St Ives felé csak egy ember haladt.
A mértani sorozatok egyik fontos gyakorlati alkalmazása a pénzügyi számítások, azon belül is a kamatos-kamat számítás területe. Hogyha például van 1 millió forintunk és ezt befektetjük 3%-os éves hozammal, akkor azt, hogy évről évre mennyi pénzünk lesz, egy mértani sorozat írja le. Egy év múlva a kezdetben befektetett összeg 1,03-szorosa lesz, mert 3% a kamat. Ez azt jelenti, hogy 30 ezer forint kamatot kapunk. De két év múlva nem 60 ezer lesz a kamat, mert a kamat is kamatozik. Ezt hívjuk kamatos-kamatnak. Ha például 10 évig kamatoztatjuk a pénzt, akkor 10-szer 30 ezer az 300 ezer, de nem a kamatos-kamat miatt ennél sokkal jobban járunk. A pénzünk minden évben 1,03-szorosára változik, ami éppen egy mértani sorozat, ahol a kvóciens 1,03 és azt, hogy 10 év múlva mennyi pénzünk lesz a mértani sorozat tízedik tagja mondja meg. A mértani sorozat n-edik tagja an=a1*qn-1 és ez alapján a tízedik tag a10=1 304 773 forint.
Ez egy olyan mértani sorozat, amelynek az első tagja az 1 millió forint, míg a kvóciense 1,03. A mértani sorozat tagjai pedig:
1; 1,03; 1,061; 1,093; 1,125; 1,16; ...
A sorozatok egyik speciális fajtája a rekurzív sorozatok. Ezek olyan sorozatok, ahol a sorozat későbbi tagjait a korábbi tagokból keverjük ki. Az egyetemi matekos tananyagunkban bőven foglalkozunk ilyen rekurzív sorozatokkal, de most nézzük meg az egészet az alapoktól. EZT MEGNÉZEM
A rekurzív sorozatok közül az egyik leghíresebb a Fibonacci sorozat. Az egyetemi anyagban részletesen foglalkozunk a lineáris rekurziók zárt formuláival, és így a Fibonacci sorozatra is adni fogunk egy zárt formulát, most azonban inkább csak imserkedjünk egy kicsit magával a sorozattal. Azt, hogy mi ez a sorozat, mire lehet használni, és miért van olyan nagy jelentősége a matematikában, itt tudod megnézni: EZT MEGNÉZEM
