Jump to navigation

Belépés
  • Elfelejtettem a jelszavam
Regisztráció
 
  • Hogyan működik a mateking?
  • Mire jó a matek?
  • Matek érettségi
  • Képletgyűjtemény
  • Feladatgyűjtemény
  • Rólunk
  • Matek 5. osztály próbaüzem
  • Matek 6. osztály próbaüzem
  • Matek 7. osztály próbaüzem
  • Matek 8. osztály próbaüzem
  • Matek 9. osztály
  • Matek 10. osztály
  • Matek 11. osztály
  • Matek 12. osztály
  • Középiskolai matek (teljes)
  • Középszintű matek érettségi
  • Emelt szintű matek érettségi
  • Egyetemi matek alapozó
Összes egyetemi tantárgy
Legnépszerűbb tantárgyak:
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Valószínűségszámítás
  • Lineáris algebra
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika

mateking

Login
 

Középiskolai matek (teljes)

Kategóriák
  • Algebra, nevezetes azonosságok
  • Halmazok
  • Gráfok
  • Bizonyítási módszerek, matematikai logika
  • Számelmélet
  • Elsőfokú egyenletek
  • Elsőfokú függvények
  • Függvények ábrázolása
  • Másodfokú egyenletek
  • Egyenlőtlenségek
  • Síkgeometria
  • Egybevágósági transzformációk
  • Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Egyenletrendszerek
  • Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
  • Szöveges feladatok
  • Középpontos hasonlóság
  • Trigonometria
  • Kombinatorika
  • Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Logaritmus, logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek
  • Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
  • Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletrendszerek (emelt)
  • Szinusztétel és koszinusztétel
  • Feladatok függvényekkel
  • Vektorok
  • Koordinátageometria
  • A parabola (emelt szint)
  • A teljes indukció (emelt szint)
  • Számtani és mértani sorozatok
  • Százalékszámítás és pénzügyi számítások
  • Térgeometria
  • Valószínűségszámítás
  • A várható érték
  • Statisztika
  • Vegyes emelt szintű feladatok
  • Sorozatok határértéke (emelt szint)
  • Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
  • Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
  • Deriválás (emelt szint)
  • Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
  • Függvények érintője (emelt szint)
  • Az integrálás (emelt szint)

Számtani és mértani sorozatok

  • Epizódok
  • Feladatok
  • Képletek
  • Tesztek
01
 
A számtani sorozat
01
 
Számtani és mértani sorozatok teszt
02
 
A mértani sorozat
03
 
Szöveges feladatok számtani és mértani sorozatokkal
04
 
Vegyes feladat számtani és mértani sorozattal
05
 
Számtani és mértani sorozat összegképletével kapcsolatos feladatok
06
 
Számtani sorozatos feladat összegképlettel
07
 
Mértani sorozatból számtani sorozat
08
 
Feladat számtani és mértani sorozat összegképlettel.
09
 
FELADAT
10
 
FELADAT
11
 
FELADAT
12
 
FELADAT
13
 
FELADAT
14
 
FELADAT
15
 
FELADAT
16
 
FELADAT
17
 
FELADAT
18
 
FELADAT
19
 
FELADAT
20
 
FELADAT
21
 
FELADAT
22
 
FELADAT
23
 
FELADAT
24
 
FELADAT

Számtani sorozat

Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatnak nevezzük.

A sorozat differenciája az a szám, amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél.

A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a differenciát $d$-vel jelöljük.

A számtani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:

\( a_n = a_1 + (n-1) d \)

Az első $n$ tagjának összegét pedig így:

\( S_n = \frac{n}{2} \left( 2a_1 + (n-1)d \right) \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

Mértani sorozat

Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan $q$-szor annyi, mint az előző tag, mértani sorozatnak nevezzük.

A sorozat kvóciense vagy hányadosa az a szám, ahányszor mindegyik tag nagyobb az előzőnél.

A sorozat első elemét $a_1$-gyel, a kvóciensét vagy hányadosát $q$-val jelöljük.

A mértani sorozat $n$-edik tagját így tudjuk kiszámolni:

\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)

Az első $n$ tagjának összegét pedig így:

\( S_n = a_1 \frac{ q^n -1 }{q-1} \)

Megnézem a kapcsolódó epizódot

1.

Egy cég bevétele az első évben 100 millió dollár volt, és azóta minden évben 20 millió dollárral nő. Mekkora lesz a bevétel a hatodik évben? Mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen?

Megnézem, hogyan kell megoldani

2.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy cég bevétele az első évben 10 millió dollár volt, és azóta minden évben 20%-kal nő. Mekkora lesz a bevétel a hatodik évben? Mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen?

b) Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_10$, ha számtani sorozatról van szó, illetve ha mértani sorozatról van szó.

Megnézem, hogyan kell megoldani

3.

a) Egy okostelefonokat gyártó cég minden hónapban egyre több darabot tud eladni egy bizonyos típusú telefonból. A növekedés ütemét kétféle modellel közelíthetjük.

Az egyik modell szerint havonta átlagosan 5400-zal több telefont adnak el.

A másik modell szerint a havonta eladott telefonok száma átlagosan 1%-kal nő.

- Hány darab telefont adnak el decemberben az egyik és a másik modell szerint, ha januárban 542 661 darab telefont tudnak eladni ebből a típusból?

- Hány darab telefont adnak el egész évben összesen az egyik és a másik modell szerint?

b) Bob maraton-futásra készül, ahol a táv 42 195 méter. A siker érdekében 10 héten át minden héten futni megy. Első héten 3 kilométert fut, az utolsó héten pedig lefutja a 42 195 métert.

Mivel Bob rajong a sorozatokért, így azt találja ki, hogy a hetente lefutott távok egy számtani sorozat egymást követő tagjai legyenek. Hetente hány kilométerrel többet fut Bob? Összesen hány kilométert fut a 10 hét alatt?

Hetente hány százalékkal többet fut Bob, ha a heti távok egy mértani sorozat egymást követő tagjai? Hány kilométert fut így a 10 hét alatt összesen?

Megnézem, hogyan kell megoldani

4.

Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_8=2$ és $a_7=162$. Mennyi $a_{10}$, ha

a) számtani sorozatról van szó.

b) mértani sorozatról van szó.

Megnézem, hogyan kell megoldani

5.

Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=-7$ és $a_8=896$.

a) Mennyi az első 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?

b) Mennyi a második 10 tag összege, ha számtani, illetve ha mértani sorozatról van szó?

Megnézem, hogyan kell megoldani

6.

Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?

Megnézem, hogyan kell megoldani

7.

Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 35. Ha a harmadik számot 5-tel csökkentjük, egy számtani sorozat első három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

8.

Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_1=5$ és $a_6=1215$. Mennyi lehet $n$ értéke, ha az első $n$ tag összege 5890-nél kisebb?

Megnézem, hogyan kell megoldani

9.

Egy számtani sorozat első 10 tagjának az összege feleakkora, mint a következő tíz tag összege. Az első 15 tag összege 375. Határozza meg a sorozat első tagját!

Megnézem, hogyan kell megoldani

10.

Egy számtani sorozat első tagja 12. Az első tíz tag összege négyszer akkora, mint közülük a páros indexű tagok összege. Mekkora a sorozat differenciája?

Megnézem, hogyan kell megoldani

11.

Egy mértani sorozat 12. tagja 36-tal nagyobb a 13.-nál. Ezen két tag szorzata 160. Mekkora a sorozat kvóciense?

Megnézem, hogyan kell megoldani

12.

Egy mértani sorozatról tudjuk, hogy az első tagja 3, az első 5 tag összege 468, az első 6 tag összege pedig 9843. Mennyi az első hét tag összege?

Megnézem, hogyan kell megoldani

13.

Egy mértani sorozat első 4 tagjának az összege 105, az 5., 6., 7., és 8. tag összege 1680. Melyik ez a sorozat?

Megnézem, hogyan kell megoldani

14.

Egy mértani sorozat első három tagjának a szorzata 216. Ha a harmadik számot 3-mal csökkentjük, egy számtani sorozat első három elemét kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

15.

Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 24. ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 2-öt, a harmadikhoz 35-öt adunk, egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

16.

Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 26. Ha az első taghoz 1-et, a másodikhoz 6-ot, a harmadikhoz 3-at adunk, egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozatot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

17.

Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5-öt, 6-ot, és 15-öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat kvóciensét!

Megnézem, hogyan kell megoldani

18.

Egy számtani sorozat első három tagjának az összege 36. Ezen tagokhoz rendre 16-ot, 12-öt, és 10-et adva egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozza meg a számtani sorozatot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

19.

Három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Ha a 2. számhoz 8-at adunk, egy számtani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Ha az így kapott sorozat 3. tagjához 64-et adunk, egy új mértani sorozat három szomszédos tagját kapjuk. Határozza meg az eredeti három számot!

Megnézem, hogyan kell megoldani

20.

Egy számtani sorozat első 3 tagjának az összege 30-cal kisebb, mint a következő 3 tag összege. Az első 6 tag összege 60. Melyik ez a sorozat?

Megnézem, hogyan kell megoldani

21.

Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 54-et, 39-et, 28-at, és 20-at adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozza meg a mértani sorozat kvóciensét!

Megnézem, hogyan kell megoldani

22.

Egy számtani sorozat 2. tagja 7, e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozza meg a mértani sorozat hányadosát!

Megnézem, hogyan kell megoldani

23.

Egy sorozatról tudjuk, hogy $a_{10} + 2 a_8 = 3 a_9$ és $a_4 = 24$. Mennyi $a_7$, ha 

a) számtani sorozatról van szó.

b) mértani sorozatról van szó.

Megnézem, hogyan kell megoldani

24.

Egy számtani sorozat második tagja 3. E sorozat első tíz tagjának összege harmad akkora, mint a következő tíz tag összege. Határozza meg a sorozat első tagját és differenciáját!

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt szuper-érthetően megnézheted, hogy mi az a számtani sorozat és a mértani sorozat, mit jelent a differencia és a hányasos, hogyan kell egy sorozat n-edik tagját kiszámítani. Megnézzük a szémtani sorozat első n tagjának összegére vonatkozó képletet is, aztán jön a mértani sorozt első n tag összegének képlete. Rengeteg feladat számtani sorozattal és mértani sorozattal lépésről lépésre megoldva.



FELADAT

Vegyes feladat számtani és mértani sorozattal

Számtani és mértani sorozat összegképletével kapcsolatos feladatok

Feladat számtani és mértani sorozat összegképlettel.

Számtani sorozatos feladat összegképlettel

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

Mértani sorozatból számtani sorozat

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

FELADAT

A számtani sorozat
Itt röviden és szuper-érthetően elmeséljük, hogy mik azok a számtani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány számtani sorozatos feladatot. Megnézzük a számatani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 20 ezer dollárral nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben? Nézzük meg egyesével az éves árbevételeket: A cég éves árbevételei egy sorozatot alkotnak. Egy olyan sorozatot, ahol minden tag pontosan 20-szal nagyobb az előző tagnál. Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan ugyanannyival nagyobb az előző tagnál, számtani sorozatoknak nevezzük. A sorozat differenciája az a szám amennyivel mindegyik tag nagyobb az előzőnél. Ha tudjuk, hogy mennyi a sorozat első tagja és a differencia, akkor bármelyik tagot ki tudjuk számolni. A hatodik évben az árbevétel: Most próbáljuk meg kideríteni, hogy mekkora a cég árbevétele a hat év alatt összesen. Nos, úgy néz ki 900 ezer dollár az árbevétel a hat év alatt összesen. A számtani sorozat első n darab tagjának összege:
A mértani sorozat
Lássuk, hogy mik azok a mértani sorozatok, mire lehet őket használni és megoldunk néhány mértani sorozatos feladatot. Megnézzük a mértani sorozatok összegképletét, a sorozat általános tagját, és tulajdonságait. Itt jön egy másik történet. A számtani sorozat: Egy cég árbevétele az első évben 100 ezer dollár volt és azóta minden évben 2%-kal nő. Mekkora lesz az árbevétel a hatodik évben? Azokat a sorozatokat, ahol minden tag pontosan q-szor annyi, mint az előző tag, mértani sorozatnak nevezzük. A hatodik évben az árbevétel: Ha megint kíváncsiak vagyunk rá, hogy mekkora volt az árbevétel a hat év alatt összesen, akkor most a mértani sorozat összegképletére lesz szükség. Íme a mértani sorozat összegképlete: Az első hat év összes árbevétele ez alapján: A mértani sorozat: Egy sorozatról tudjuk, hogy a8 = 2 és a7 = 162. Mennyi a10, ha a) számtani sorozatról van szó. b) mértani sorozatról van szó.
Szöveges feladatok számtani és mértani sorozatokkal

MIRE JÓK A SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK?

Számtani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három számból álló számsorozatokat ahol az egymással szomszédos tagok (egy tag, és az őt megelőző tag) különbsége állandó. Ezt az állandót, amely minden sorozatnál más és más, a sorozat differenciájának nevezzük, és d-vel jelöljük. Olyankor, ha ez a differencia nulla, a sorozat minden tagja pontosan ugyanannyi. Ekkor konstans vagyis másként fogalmazva állandó számtani sorozattal van dolgunk. A számtani sorozat neve onnan ered, hogyha vesszük három egymást követő tagját a sorozatnak, akkor a három szám közül a középső mindig számtani közepe a két másik számnak.

Példa számtani sorozatra:

3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

Példa konstans számtani sorozatra:

5, 5, 5, 5, 5, 5, ...

Mértani sorozatnak nevezzük azokat a legalább három tagból álló sorozatokat, ahol bármely két egymást követő tag (egy tag és az őt megelőző tag) hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek nevezzük és q-val jelöljük. Abban az esetben, amikor q éppen 1, a sorozat konstans sorozat. A mértani sorozat onnan kapta nevét, hogy a nem negatív tagú mértani sorozatokra igaz, hogy bármely három egymást követő tagja közül a középső tag a másik két tag mértani közepe.

Példa mértani sorozatra:

1, 3, 9, 27, 81, …

Példa konstans mértani sorozatra:

5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...

Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot, sőt ismerték a számtani sorozat és a mértani sorozat összegképletét is. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való, és amelyen megtalálták a következő feladatot, ami később számos feladatgyűjteményben és népi találós kérdésben is felbukkant, és érdekes módon mindig a 7-es számmal. A feladat így szól, hogy: „Ha 7 ház mindegyikében 7 macska van, mindegyik megfogott 7 egeret, minden egér megevett 7 búzaszemet, minden búzaszemből 7 hekatbúza termett volna, hány hekat búza lett volna abból?”

A feladat népszerűsége máig töretlen, beugratós változatát a Die Hard című filmsorozat is felhasználta a harmadik epizódjában ( Die Hard - With a Vengeance ) ahol egy Simon (Jeremy Irons) nevű terrorista adta föl ezt a rejtvényt ebben a formában: „St Ives felé haladtomban egy hétfeleséges férfiba botlottam, minden feleségnek volt hét zsákja, minden zsákban volt hét macska, minden macskának volt hét kiscicája. Cicák, macskák, zsákok, feleségek, St Ives felé hányan mendegéltek? Ha egy percen belül nem hívnak vissza, meghalnak. A telefonszámom 555 és a válasz.” Itt azonban nem volt szükség a mértani sorozat összegképletre, ugyanis St Ives felé csak egy ember haladt.

A mértani sorozatok egyik fontos gyakorlati alkalmazása a pénzügyi számítások, azon belül is a kamatos-kamat számítás területe. Hogyha például van 1 millió forintunk és ezt befektetjük 3%-os éves hozammal, akkor azt, hogy évről évre mennyi pénzünk lesz, egy mértani sorozat írja le. Egy év múlva a kezdetben befektetett összeg 1,03-szorosa lesz, mert 3% a kamat. Ez azt jelenti, hogy 30 ezer forint kamatot kapunk. De két év múlva nem 60 ezer lesz a kamat, mert a kamat is kamatozik. Ezt hívjuk kamatos-kamatnak. Ha például 10 évig kamatoztatjuk a pénzt, akkor 10-szer 30 ezer az 300 ezer, de nem a kamatos-kamat miatt ennél sokkal jobban járunk. A pénzünk minden évben 1,03-szorosára változik, ami éppen egy mértani sorozat, ahol a kvóciens 1,03 és azt, hogy 10 év múlva mennyi pénzünk lesz a mértani sorozat tízedik tagja mondja meg. A mértani sorozat n-edik tagja an=a1*qn-1 és ez alapján a tízedik tag a10=1 304 773 forint.

Ez egy olyan mértani sorozat, amelynek az első tagja az 1 millió forint, míg a kvóciense 1,03. A mértani sorozat tagjai pedig:

1; 1,03; 1,061; 1,093; 1,125; 1,16; ...

Hát ennyit röviden a számtani és mértani sorozatokról…

Kapcsolatfelvétel
  • Segítségnyújtás
  • Hibabejelentés
  • Kapcsolatfelvétel
  • Mateking torrent bejelentés
Rólunk
  • A projektről
  • Médiamegjelenések
  • Legyen élmény a matek
  • Mire jó a matek?
Tartalomjegyzék
  • Középiskolai matek
  • Analízis 1
  • Analízis 2
  • Analízis 3
  • Lineáris algebra
  • Valószínűségszámítás
  • Diszkrét matematika
  • Statisztika
  • További tantárgyak
  • Egyetemi tematikák
  • Matek érettségi
GYIK Általános szerződési feltételek Adatkezelési tájékoztató Felhasználás oktatási célra

Cookie-használat módosítása

© Minden jog fenntartva!

Az oldalon található tartalmak részének vagy egészének másolása, elektronikus úton történő tárolása vagy továbbítása, harmadik fél számára nyújtott oktatási célra való hasznosítása kizárólag az üzemeltető írásos engedélyével történhet. Ennek hiányában a felsorolt tevékenységek űzése büntetést von maga után!

barion
macroweb
  • Tantárgyaim