A teljes indukció (emelt szint)

1. Bizonyítsuk be, hogy $1+3+5+\dots + 2n-1 = n^2$ minden pozitív egész $n$ esetén.

Megnézem, hogyan kell megoldani

2. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( 1\cdot 4 + 2\cdot 7 + \dots  + n\cdot (3n+1) = n \cdot (n+1)^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

3. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{(2n-1)2n)} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{2n} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

4. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( 1\cdot 2 + 2\cdot 3 + \dots + n (n+1) = \frac{ n(n+1)(n+2)}{3} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

5. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( \left( 1- \frac{1}{4} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{9} \right) \cdot \left( 1- \frac{1}{16} \right) \cdot \dots \cdot \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) = \frac{n+1}{2n}  \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

6. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy $n$ db. egyenes a síkot legfeljebb $ \frac{n^2+n+2}{2}$ részre osztja.

Megnézem, hogyan kell megoldani

7. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy $n$ db. kör a síkot legfeljebb $ n^2-n+2 $ részre osztja.

Megnézem, hogyan kell megoldani

8. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( (2+1) \cdot (2^2+1) \cdot \dots \cdot \left( 2^{2^n} + 1 \right) = 2^{2^{n+1}} -1   \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

9. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}}   \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

10. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} + \dots + \frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} > 1   \)

Megnézem, hogyan kell megoldani

11. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden $n$ pozitív egész számra

\( \frac{n}{2} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}   \)

Megnézem, hogyan kell megoldani