A várható érték és a szórás

1. 3 darab 10 dollárossal befektetési terveink vannak, egy rulett segítségével. A terv a következő: felteszünk 10 dollárt a pirosra. Ha nyer, akkor megdupláztuk a 10 dollárt és abbahagyjuk a játékot. Namost, ha veszít, akkor újabb 10 dollárt teszünk a pirosra, és ha ezúttal nyerünk, akkor szintén abbahagyjuk a játékot. Ha másodszorra sem nyerünk, akkor az utolsó 10 dollárt is felrakjuk a pirosra. A kérdés az, várhatóan mennyi pénzünk lesz a tranzakció végén.

Megnézem, hogyan kell megoldani


2.

a) Számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások...

3% az esélye annak, hogy mindegyik nap esni fog. Aztán 9% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, 24%, hogy 3 nap fog esni, 40%, hogy 2 nap fog esni, 16%, hogy 1 nap fog esni, és 8%, hogy egyik nap sem fog esni.

b) Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?

c) Négy dobókockával dobunk. Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk nyerünk 10 dollárt. Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával. Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár. Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka. Ha a harmadik kockával 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár. De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is. Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár. Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit. Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?

Megnézem, hogyan kell megoldani


3.

a) Egy dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok várható értéke és szórása?

b) Két dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása?

Megnézem, hogyan kell megoldani


4. Elemér és Huba egy dobókocka játékot játszanak. Huba annyi dollárt ad Elemérnek, amennyi a dobott szám kétszerese, Elemér pedig annyit ad Hubának, amennyi a dobott szám négyzete. Melyikünk kedvez a játék?

Megnézem, hogyan kell megoldani


5. Az ötös lottón, egy hasábon 5 számot kell beikszelnünk 1-től 90-ig. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem nyerünk semmit. Két találat esetén a nyeremény 700 Ft, hármas találatnál 10 ezer Ft, négyes esetén 789 ezer Ft, az ötös pedig 535 millió Ft-ot fizet. Mennyi a nyereményünk várható értéke?

Megnézem, hogyan kell megoldani


6. Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt szuper-érthetően elmeséljük, hogyan kell várható értéket számolni és várható értékkel kapcsolatos feladatokat megoldani. Aztán számolunk egy kis szórást is. Várható érték feladatok lépésről lépésre megoldással.Elmeséljük mi az a várható érték és hogyan kell kiszámolni. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Várható érték, Szórás, Várható érték kiszámolása, Várható érték feladatok megoldással, Szórás kiszámolása, Diszkrét valószínűségi változó.



A várható érték és a szórás

Várható értékkel és szórással kapcsolatos feladatok

Most pedig nézzünk, hogy milyen izgalmak várhatók ebben a várható érték témában.

Itt is jön az első, számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások…

5% esélye van annak, hogy mindegyik nap esni fog.

Aztán 7% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, és így tovább…

Az esős napok számának várható értéke:

 a hét napos ott tartózkodásunk alatt.

át napos tartózkodásunk alatt várhatóan hány esős napra készüljünk.Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?

Hogyha költöznek az oroszlánok…

akkor várhatóan 2 marad életben.

Ha nem költöznek…

40% az esélye, hogy nulla darab oroszlán lesz.

30% eséllyel egy darab…

20% eséllyel kettő…

És úgy tűnik 10% eséllyel mindhárom oroszlán életben marad.

Most pedig lássuk, hogy várhatóan hány élő oroszlánunk lesz…

A jelek szerint a költözés jobb hatással van az oroszlánok életben maradására.

Várhatóan 2,19 nap fog esni.

Na persze nem mindegy, hogy mekkora a szórás.

Nézzük meg.

Nézzünk meg egy másik nagyon izgalmas történetet is.

Van négy dobókockánk.

Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor

Végül itt jön egy nagyon izgalmas történet négy dobókockával.

Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk 1 dollárt.

Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával.

Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár.

Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka.

Ha a harmadik kockával végre 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár.

De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is.

Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár.

Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit.

És még csak most jön a kérdés…

Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?

Vagyis a játék várható nyereménye vajon több vagy kevesebb, mint 8 dollár?

Hát, nézzük meg.

Akkor nyerünk 10 dollárt, ha elsőre 1-est dobunk.

Annak a sansza, hogy az első dobás nem 1-es 5/6.

A második dobás 1/6 eséllyel lesz 1-es.

De az is lehet, hogy nem 1-es.

Hogyha a harmadik dobás végre 1-es, akkor 30 dollárt nyerünk.

De előfordulhat, hogy az sem 1-es.

Aztán jön a mindent eldöntő negyedik dobás.

És most lássuk a várható nyereményt.

0,167

0,139

0,116

0,096

0,482

Hogyha 8 dollárba kerül a játék, akkor játékonként átlagosan 11,77 – 8 = 3,77 dollárt nyerünk.

Nekünk tehát megéri…

Annak viszont, akinek a játékot üzemelteti veszteséges.

Kéne szólni neki, hogy 11,77 dollárnál drágábban árulja…


FELADAT | Várható érték és szórás kiszámolása

FELADAT | Várható érték és szórás kiszámolása

FELADAT | Várható érték és szórás kiszámolása

FELADAT | Várható érték és szórás kiszámolása