- Algebra, nevezetes azonosságok
- Halmazok
- Gráfok
- Bizonyítási módszerek, matematikai logika
- Számelmélet
- Elsőfokú függvények
- Függvények ábrázolása
- Másodfokú egyenletek
- Egyenlőtlenségek
- Síkgeometria
- Egybevágósági transzformációk
- Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek
- Egyenletrendszerek
- Gyökös azonosságok és gyökös egyenletek
- Szöveges feladatok
- Középpontos hasonlóság
- Trigonometria
- Kombinatorika
- Exponenciális egyenletek és egyenlőtlenségek
- Logaritmus, logaritmikus egyenletek
- Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek
- Szinusztétel és koszinusztétel
- Feladatok függvényekkel
- Vektorok
- Koordinátageometria
- A parabola (emelt szint)
- A teljes indukció (emelt szint)
- Számtani és mértani sorozatok
- Százalékszámítás és pénzügyi számítások
- Térgeometria
- Valószínűségszámítás
- A várható érték és a szórás
- Statisztika
- Vegyes emelt szintű feladatok
- Sorozatok határértéke (emelt szint)
- Sorozatok monotonitása és korlátossága (emelt szint)
- Függvények határértéke és folytonossága (emelt szint)
- Deriválás (emelt szint)
- Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)
- Függvények érintője (emelt szint)
- Az integrálás (emelt szint)
A várható érték és a szórás
1. 3 darab 10 dollárossal befektetési terveink vannak, egy rulett segítségével. A terv a következő: felteszünk 10 dollárt a pirosra. Ha nyer, akkor megdupláztuk a 10 dollárt és abbahagyjuk a játékot. Namost, ha veszít, akkor újabb 10 dollárt teszünk a pirosra, és ha ezúttal nyerünk, akkor szintén abbahagyjuk a játékot. Ha másodszorra sem nyerünk, akkor az utolsó 10 dollárt is felrakjuk a pirosra. A kérdés az, várhatóan mennyi pénzünk lesz a tranzakció végén.
Megnézem, hogyan kell megoldani
2.
a) Számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások...
3% az esélye annak, hogy mindegyik nap esni fog. Aztán 9% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, 24%, hogy 3 nap fog esni, 40%, hogy 2 nap fog esni, 16%, hogy 1 nap fog esni, és 8%, hogy egyik nap sem fog esni.
b) Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?
c) Négy dobókockával dobunk. Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk nyerünk 10 dollárt. Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával. Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár. Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka. Ha a harmadik kockával 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár. De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is. Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár. Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit. Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?
Megnézem, hogyan kell megoldani
3.
a) Egy dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok várható értéke és szórása?
b) Két dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása?
Megnézem, hogyan kell megoldani
4. Elemér és Huba egy dobókocka játékot játszanak. Huba annyi dollárt ad Elemérnek, amennyi a dobott szám kétszerese, Elemér pedig annyit ad Hubának, amennyi a dobott szám négyzete. Melyikünk kedvez a játék?
Megnézem, hogyan kell megoldani
5. Az ötös lottón, egy hasábon 5 számot kell beikszelnünk 1-től 90-ig. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem nyerünk semmit. Két találat esetén a nyeremény 700 Ft, hármas találatnál 10 ezer Ft, négyes esetén 789 ezer Ft, az ötös pedig 535 millió Ft-ot fizet. Mennyi a nyereményünk várható értéke?
Megnézem, hogyan kell megoldani
6. Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?
Megnézem, hogyan kell megoldani
7. Egy sorsjegy 5% eséllyel nyerő, és kétféle nyeremény van, 2500 Ft és 50 000 Ft. A 2500 Ft-os nyerő sorsjegyből pontosan 24-szer annyi van, mint az 50 000 Ft-osból.
| 1 db sorsjegy nyereménye (Ft) | 0 | 2500 | 50 000 |
| nyeremény valószínűsége | 0,95 |
Töltsük ki a táblázat üres mezőit, majd számítsuk ki egy darab sorsjegy nyereményének várható értékét!
Megnézem, hogyan kell megoldani
8. Egy dobókocka három lapján 3-as, két lapján 2-es, egy lapján 1-es szám van. Andi és Béla a következő játékot játsszák ezzel a dobókockával. Valamelyikük dob egyet a kockával. Ha a dobás eredménye 3, akkor Andi fizet Bélának $n$ forintot ($n>80$), ha a dobás eredménye 1, akkor Béla fizet $(n-80)$ forintot Andinak, ha pedig a dobás eredménye 2, akkor is Béla fizet Andinak $2(n-80)$ forintot. Mennyit fizet Béla Andinak az 1-es dobása esetén, ha ez a játék igazságos, azaz mindkét játékos nyereményének várható értéke 0?
Szórás diszkrét esetben
A szórás azt mutatja meg, hogy a várható érték körül milyen nagy ingadozásra számíthatunk.
Jele: $D(X$)
Kiszámításának módja diszkrét esetben:
\( D(X) = \sqrt{E \left( X^2 \right) - E^2(X) } \)
Várható érték diszkrét esetben
A várható érték jele $E(X)$.
Diszkrét esetben úgy kell kiszámolni, hogy
\( E(X) = \sum X_i P(X_i) \)
3 darab 10 dollárossal befektetési terveink vannak, egy rulett segítségével. A terv a következő: felteszünk 10 dollárt a pirosra. Ha nyer, akkor megdupláztuk a 10 dollárt és abbahagyjuk a játékot. Namost, ha veszít, akkor újabb 10 dollárt teszünk a pirosra, és ha ezúttal nyerünk, akkor szintén abbahagyjuk a játékot. Ha másodszorra sem nyerünk, akkor az utolsó 10 dollárt is felrakjuk a pirosra. A kérdés az, várhatóan mennyi pénzünk lesz a tranzakció végén.
a) Számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások...
3% az esélye annak, hogy mindegyik nap esni fog. Aztán 9% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, 24%, hogy 3 nap fog esni, 40%, hogy 2 nap fog esni, 16%, hogy 1 nap fog esni, és 8%, hogy egyik nap sem fog esni.
b) Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?
c) Négy dobókockával dobunk. Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk nyerünk 10 dollárt. Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával. Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár. Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka. Ha a harmadik kockával 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár. De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is. Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár. Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit. Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?
a) Egy dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok várható értéke és szórása?
b) Két dobókockával dobunk. Mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása?
Elemér és Huba egy dobókocka játékot játszanak. Huba annyi dollárt ad Elemérnek, amennyi a dobott szám kétszerese, Elemér pedig annyit ad Hubának, amennyi a dobott szám négyzete. Melyikünk kedvez a játék?
Az ötös lottón, egy hasábon 5 számot kell beikszelnünk 1-től 90-ig. Ha nulla vagy egy számot találunk el, akkor nem nyerünk semmit. Két találat esetén a nyeremény 700 Ft, hármas találatnál 10 ezer Ft, négyes esetén 789 ezer Ft, az ötös pedig 535 millió Ft-ot fizet. Mennyi a nyereményünk várható értéke?
Két kockával dobva mennyi a dobott számok nem kisebbikének várható értéke?
Egy sorsjegy 5% eséllyel nyerő, és kétféle nyeremény van, 2500 Ft és 50 000 Ft. A 2500 Ft-os nyerő sorsjegyből pontosan 24-szer annyi van, mint az 50 000 Ft-osból.
| 1 db sorsjegy nyereménye (Ft) | 0 | 2500 | 50 000 |
| nyeremény valószínűsége | 0,95 |
Töltsük ki a táblázat üres mezőit, majd számítsuk ki egy darab sorsjegy nyereményének várható értékét!
Egy dobókocka három lapján 3-as, két lapján 2-es, egy lapján 1-es szám van. Andi és Béla a következő játékot játsszák ezzel a dobókockával. Valamelyikük dob egyet a kockával. Ha a dobás eredménye 3, akkor Andi fizet Bélának $n$ forintot ($n>80$), ha a dobás eredménye 1, akkor Béla fizet $(n-80)$ forintot Andinak, ha pedig a dobás eredménye 2, akkor is Béla fizet Andinak $2(n-80)$ forintot. Mennyit fizet Béla Andinak az 1-es dobása esetén, ha ez a játék igazságos, azaz mindkét játékos nyereményének várható értéke 0?
Itt szuper-érthetően elmeséljük, hogyan kell várható értéket számolni és várható értékkel kapcsolatos feladatokat megoldani. Aztán számolunk egy kis szórást is. Várható érték feladatok lépésről lépésre megoldással.Elmeséljük mi az a várható érték és hogyan kell kiszámolni. Mindezt egyszerű és nagyon szemléletes példákon keresztül. Várható érték, Szórás, Várható érték kiszámolása, Várható érték feladatok megoldással, Szórás kiszámolása, Diszkrét valószínűségi változó.
Most pedig nézzünk, hogy milyen izgalmak várhatók ebben a várható érték témában.
Itt is jön az első, számoljuk ki, hogy hány esős napra számítsunk egy nyaralóhelyen, hogyha öt napig vagyunk ott és ezek a kilátások…
5% esélye van annak, hogy mindegyik nap esni fog.
Aztán 7% az esélye, hogy csak 4 nap fog esni, és így tovább…
Az esős napok számának várható értéke:
a hét napos ott tartózkodásunk alatt.
át napos tartózkodásunk alatt várhatóan hány esős napra készüljünk.Egy vadrezervátumban 3 hím oroszlán él. Az illegális vadászat miatt 40% eséllyel 5 éven belül mindegyik elpusztul, 30% eséllyel 2 oroszlán pusztul el és 20% eséllyel egy. Ha átköltöztetik az oroszlánokat egy biztonságosabb területre, akkor a tapasztalatok szerint az állatok harmada pusztul el a költöztetés miatt, a többiek életben maradnak. Átköltöztessük-e az oroszlánokat, ha azt szeretnénk, hogy 5 év múlva a lehető legtöbben legyenek életben?
Hogyha költöznek az oroszlánok…
akkor várhatóan 2 marad életben.
Ha nem költöznek…
40% az esélye, hogy nulla darab oroszlán lesz.
30% eséllyel egy darab…
20% eséllyel kettő…
És úgy tűnik 10% eséllyel mindhárom oroszlán életben marad.
Most pedig lássuk, hogy várhatóan hány élő oroszlánunk lesz…
A jelek szerint a költözés jobb hatással van az oroszlánok életben maradására.
Várhatóan 2,19 nap fog esni.
Na persze nem mindegy, hogy mekkora a szórás.
Nézzük meg.
Nézzünk meg egy másik nagyon izgalmas történetet is.
Van négy dobókockánk.
Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor
Végül itt jön egy nagyon izgalmas történet négy dobókockával.
Ha az első kockával 1-est dobunk, akkor nyerünk 1 dollárt.
Ha a dobás nem 1-es, akkor dobhatunk a második kockával.
Ha a második kockával 1-est dobunk, a nyeremény 20 dollár.
Hogyha azzal sem 1-est dobunk, akkor jöhet a harmadik kocka.
Ha a harmadik kockával végre 1-est dobunk, a nyeremény 30 dollár.
De ha azzal se, akkor dobhatunk a negyedik kockával is.
Hogyha ez végre 1-es, a nyeremény 40 dollár.
Ha ez sem egyes, akkor vége a játéknak és nem nyertünk semmit.
És még csak most jön a kérdés…
Ha 8 dollárba kerül, hogy játszhassunk egy ilyen játékot, megéri-e játszani?
Vagyis a játék várható nyereménye vajon több vagy kevesebb, mint 8 dollár?
Hát, nézzük meg.
Akkor nyerünk 10 dollárt, ha elsőre 1-est dobunk.
Annak a sansza, hogy az első dobás nem 1-es 5/6.
A második dobás 1/6 eséllyel lesz 1-es.
De az is lehet, hogy nem 1-es.
Hogyha a harmadik dobás végre 1-es, akkor 30 dollárt nyerünk.
De előfordulhat, hogy az sem 1-es.
Aztán jön a mindent eldöntő negyedik dobás.
És most lássuk a várható nyereményt.
0,167
0,139
0,116
0,096
0,482
Hogyha 8 dollárba kerül a játék, akkor játékonként átlagosan 11,77 – 8 = 3,77 dollárt nyerünk.
Nekünk tehát megéri…
Annak viszont, akinek a játékot üzemelteti veszteséges.
Kéne szólni neki, hogy 11,77 dollárnál drágábban árulja…
