Függvényvizsgálat, szélsőérték feladatok (emelt szint)

1. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^4 - 4x^3 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


2. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^3 - 3x \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


3. Határozza meg az $a, b, c$ valós paramétereket úgy, hogy az $f(x)=ax^3+bx^2+cx+28$ függvénynek $x=2$-ben zérushelye, $x=-4$-ben lokális maximumhelye, $x=-1$-ben pedig inflexiós pontja legyen!

Megnézem, hogyan kell megoldani


4.

a) Egy vasúti alagút építése során minél mélyebbre helyezik a nyomvonalat, annál hosszabb alagutat kell fúrni és maga az építkezés is egyre drágább lesz. Az eredetileg kijelölt nyomvonal 340 méteres tengerszintfeletti magasságban halad és az építési költség 5,6 milliárd svájci frank. A nyomvonal $x$ méterrel mélyebbre helyezése az eredeti költséget ennyivel növeli: $a(x)=40x^4+160x^3$ frank.

A mélyebben futó nyomvonalnak az előnye, hogy az áthaladó vonatoknak a hegységben történő átkelés során kisebb szintkülönbséget kell megtenniük. Ennek évenkénti gazdasági haszna: $p(x)=80x^3$ frank.

Hogyha az alagút átadását követő 40 éves periódust vizsgálunk, hány méterrel lenne érdemes mélyebbre helyezni a nyomvonalat, hogy a lehető legnagyobb legyen a megtérülés?

b) Egy termék árbevétel függvénye $R(x)=12400x^2-4000x^3$, a költségfüggvénye pedig $C(x)=400x^2+2000$, ahol $x$ a termék ára dollárban. Milyen egységár esetén maximális a profit és mekkora ez a profit?

Megnézem, hogyan kell megoldani


5.

a) Egy termék keresleti függvénye

\( f(x)=20000x^2-1000x^3-72000x \)

ahol $x$ a termék árát jelöli euróban. Milyen ár esetén maximális az árbevétel?

b) Egy másik termék keresleti függvénye

\( f(x)=260x^3-11x^4 \)

ahol $x$ a termék árát jelöli euróban.

A termék fajlagos költsége (tehát az egy termékre jutó költség) 12 euró. Milyen ár esetén lesz maximális a profit?

Megnézem, hogyan kell megoldani


6.

Egy 33x18 cm-es kartonlapból téglatest alakú dobozt készítünk. A doboz kiterített hálója és méretei itt láthatóak.

a) Mekkora a doboz térfogata, ha $a=7$ cm?

b) Hogyan kell megválasztani az $a, b, c$ élek hosszát ahhoz, hogy a doboz térfogata maximális legyen?

Megnézem, hogyan kell megoldani


7. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^3+3x^2 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


8. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^4-18x^2+17 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


9. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=x^3-5x^2+3x-7 \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


10. Végezzük el a teljes függvényvizsgálatát az alábbi függvénynek.

\( f(x)=2x^6-6x^4+\sqrt{37} \)

Megnézem, hogyan kell megoldani


11. Egy részvény árfolyamának a napi alakulását az alábbi függvény adja meg reggel nyolc és este hat óra között, ahol a nap x-edik órájában az árfolyam ezer dollárban megadva

\( f(x)=(x-12)^2 e^{- \frac{x}{2} }+10 \qquad 8\leq x \leq 18 \)

a) Mekkora volt a nyitási és zárási árfolyam?

b) A nap melyik órájában volt az árfolyam a minimális, illetve maximális?

Megnézem, hogyan kell megoldani

A témakör tartalma

Itt szuper érthetően elmeséljük, hogyan kell egy teljes függvényvizsgálat feladatot megoldani. A teljes függvényvizsgálat lépései: Értelmezési tartomány, zérushely meghatározása, deriválás, a derivált előjele és monotonitás, második derivált, a második derivált előjele és konvexitás, határértékek, értékkészlet, a függvény ábrázolása. Rengeteg teljes függvényvizsgálatot oldunk meg lépésről-lépésre.



A teljes függvényvizsgálat lépései

Még egy teljes függvényvizsgálat lépései

Paraméteres feladat függvényvizsgálattal

Szöveges szélsőértékfeladat

FELADAT | Tejes függvényvizsgálat

FELADAT | Tejes függvényvizsgálat

FELADAT | Tejes függvényvizsgálat

FELADAT | Tejes függvényvizsgálat

Nehezebb gazdasági feladatok

Szöveges szélsőérték feladatok megoldása