Ezt a képletet hívjuk binomiális eloszlásnak:

\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

ahol $n$ a kísérletek száma,

$k$ a sikeres kísérletek száma,

$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.

Visszatevéses mintavételről beszélünk, ha egy $p$ valószínűségű elem többszöri kihúzásának esélyét vizsgáljuk úgy, hogy ha kihúzunk egy ilyen elemet, akkor ezt követően azt visszarakjuk.

Például ha azt vizsgáljuk, hogy egy kosárban van 8 piros és 5 kék golyó, és mennyi a valószínűsége, hogy háromszor húzva két piros és egy kék golyót húznánk úgy, hogy a kihúzott golyókat mindig visszatesszük, akkor az egy visszatevéses mintavétel.

A visszatevées mintavételhez kapcsolódó eloszlás a binomiális eloszlás.

A visszatevés nélküli mintavétel tipikus példája, hogy van egy doboz, benne $N$ darab elem. Közülük $K$ darab valamilyen tulajdonságú, az egyszerűség kedvéért hívjuk selejtesnek. Mondjuk sárga vagy szép vagy ronda. Kihúzunk $n$ darab elemet, és ez a képlet meg fogja nekünk mondani, hogy mekkora az esélye, hogy közülük $k$ darab a vizsgált tulajdonságú:

\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)

De vannak olyan esetek, amikor a visszatevés nélküli mintavételnél másik képletet kell használnunk. Ezt a másik képletet binomiális eloszlásnak nevezzük, és olyankor használjuk, amikor a selejtek száma helyett csak a selejtek arányát ismerjük. 

Ez a binomiális eloszlás képlete:

\( P = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)

ahol $n$ a kísérletek száma,

$k$ a sikeres kísérletek száma,

$p$ pedig a sikeres kísérlet valószínűsége.

És, hogy mi alapján döntjük el, hogy a két képlet közül melyiket kell használni? A dolog nagyon logikus, nézd meg a kapcsolódó epizódot és minden világos lesz.

A hipergeometriai eloszlás a visszatevés nélküli mintavételhez kapcsolódó eloszlás, képlete pedig:

\( P(X=k)=\frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} \)