Algebra, nevezetes azonosságok
Válaszd ki, hogy melyik év középszintű érettségi feladataival szeretnél gyakorolni.
- 2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2012 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
Műveleti sorrend
A zárójelben lévő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, és a szorzást előbb kell elvégezni, mint az összeadást.
A kivonás úgy viselkedik, mint az összeadás, az osztás pedig úgy, ahogyan a szorzás.
Algebrai kifejezések
Az algebra az a része a matematikának, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Az algebrai kifejezések olyan matematikai kifejezések, amik betűket is tartalmaznak.
Kiemelés
A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.
Algebrai tört
Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.
Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.
Törtek egyszerűsítése
A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.
Nevezetes azonosságok
\( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 \)
\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Köbös azonosságok
\( a^3 + b^3 = (a+b) \left( a^2 -ab +b^2 \right) \)
\( a^3 - b^3 = (a-b) \left( a^2 +ab +b^2 \right) \)
\( (a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3 \)
\( (a-b)^3 = a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 \)
Binomiális tétel
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
Binomiális tétel
Binomiális tétel:
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n \)
Kifejezés értelmezési tartománya
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.
$ \frac{2}{x-3}$ értelmezési tartománya $x \in R \setminus \{ 3 \}$, mert tört van benne és a tört nevezője nem lehet nulla ($x \neq 3$)
$\sqrt{2x+5}$ értelmezési tartománya $x \in \left[ - \frac{5}{2}, \infty \right[ $, mert páros gyök alatt van (második) és így a gyök alatti kifejezés $\geq 0$
Végezzük el a műveleteket!
a) \( x^3 \left( a^4 -2x^2 +4a^4 +x \right) \)
b) \( \left( x^3 +2a^2 \right) \left( 5a^4 -2x^2 +x \right) \)
c) \( \frac{4}{x-5} - \frac{x}{x+3} \)
Emeljünk ki mindent, amit lehet
a) \( 3x^4-5x^3+6x^2 \)
b) \( 3a^4b-x^2a^3b+5a^2b^4 \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( (x+3)^2= ? \)
b) \( (y-5)^2= ? \)
c) \( \left( 2x+3y^2 \right)^2 = ? \)
d) \( \left( 3a^2-ab^3 \right)^2 = ? \)
Egyszerűsítsük, amennyire csak lehet:
e) \( \frac{xy^3-4x^3y}{xy^2+2x^2y} \)
f) \( \frac{x^4-y^4}{x^4y^2+x^2y^4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( 12x + 3x^2 - 4x^3 - 7x - x^4 + x^3 \)
b) \( 4x(5x^4 + 3x^2) - (4x^2 +5)(x+6) \)
c) \( (3x^4 +4x +x^3 y^2 ) \cdot x^2 + (4x^3 +5x^2y^4 + x^3 y^2 ) : x^2 \)
d) \( x^2 \cdot (3x^4 +4y^5 +6 z^3) \)
e) \( x^2 \cdot (3x^4 \cdot 4y^5 \cdot 6z^3) \)
f) \( \left( \frac{1}{x^2+2xy+y^2} + \frac{1}{x^2-y^2} + \frac{1}{x^2-2xy+y^2} \right) : \left( \frac{4x^2}{x^2-y^2} -1 \right) \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \)
b) \( \frac{ 2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} + \frac{ \sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac{4x-2}{x-1} \)
a) \( (x+2)^3= ? \)
b) \( (x-4b)^3 = ? \)
c) \( \left( \frac{x+y}{x^3-y^3} + \frac{2}{(x-y)^2} - \frac{1}{x^2+xy+y^2} \right) : \frac{x^2-4y^2}{x^2-2xy+y^2} = ? \)
a) Mennyi $(a+b)^7$-nél az $a^2b^5$-es tag együtthatója?
b) Mennyi $(a+2)^7$-nél az $a^2$-es tag együtthatója?
c) Mennyi $(x+3)^8$-nál az $x^6$-os tag együtthatója?
Mi az értelmezési tartományuk?
a) \( \frac{3}{x} \)
b) \( \frac{x}{x-2} \)
c) \( \frac{5}{(x-2)\cdot (x+3)} \)
d) \( \frac{1}{x^2-4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket
a) \( \frac{x-3}{2}+\frac{x+2}{4}-\frac{x-1}{4} \)
b) \( \frac{x+1}{x}-\frac{2x}{x-1} \)
c) \( \frac{4}{x}+\frac{3}{2x} \)
d) \( \frac{x}{4} \cdot \frac{8}{x} \)
e) \( \frac{2x^2}{y^3} : \frac{6x}{y^5} \)
f) \( \frac{a+b}{a} : \frac{a^2-b^2}{a^3} \)
A csokit sokkal többen szeretik, mint az algebrát.
De az algebra csokival… Azt már szinte mindenki szereti.
Kezdjük is az összeadással.
Ez itt 3…
Ez a másik pedig 4.
Ha összeadjuk őket…
Akkor teljesen mindegy, hogy a 3 kocka csokihoz adunk hozzá 4-et, vagy fordítva…
A végén lesz 7 kocka csokink.
Az összeadás sorrendje tehát fölcserélhető.
Ezt úgy hívjuk, hogy kommutatív.
A kivonás már nem cserélhető föl.
Ha 4 kocka csokiból megeszünk 3 kockát…
Az teljesen más, mintha 3 kocka csokiból megeszünk 4 kockát.
Ezt otthon bárki kipróbálhatja.
A kivonás tehát nem felcserélhető, vagyis nem kommutatív.
De az izgalmak csak most jönnek.
Egy újabb adag csoki segítségével.
Teljesen mindegy, hogy a 4+3 kocka csokihoz adunk még hozzá 5 kockát…
Vagy a 4 kockához adunk 3+5 kockát.
Mindkét esetben 12 kocka csokink lesz.
Ezt a dolgot, amikor mindegy, hova tesszük ki a zárójelet, úgy mondjuk, hogy asszociatív.
Sőt, itt az összeadásnál egyáltalán nem is kell a zárójel.
Kivonásnál már más lesz a helyzet.
Itt van például ez:
A zárójel azt jelenti, hogy először az abban szereplő műveletet kell elvégezni.
És most jöhet a kivonás.
A zárójel összeragasztja a csokikockákat…
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Zárójel nélkül már egészen más a helyzet.
Ilyenkor szépen megyünk balról jobbra…
És ha így van a zárójel…
Akkor először elvégezzük a zárójelben lévő műveletet…
Vagyis pontosan ugyanazt csináljuk, mint az előbb:
Zárójelek nélkül ebben nincsen semmi érdekes.
Szépen balról jobbra elvégezzük a kivonásokat.
Zárójelekkel már egészen más a helyzet…
Ilyenkor ezzel kezdjük…
Most nézzük, mi történik, ha mondjuk így tesszük ki a zárójeleket…
És lehetnek a zárójelek akár így is.
De a valódi izgalmak csak most jönnek. A szorzással…
És most nézzük, hogyan működik a szorzás…
Hát, így.
Ez egy tábla csoki ötször 4 kockával.
Vagy éppen négyszer 5 kockával.
A végeredmény ugyanaz: 20 kocka csoki.
És most lássunk valami érdekesebbet…
Hogyha most ezt megszorozzuk 2-vel…
A szorzás sorrendje is felcserélhető.
Vagyis a szorzás is kommutatív.
Amikor egy szorzatot megszorzunk valamilyen számmal…
Akkor a szorzatnak vagy az egyik szereplőjét szorozzuk meg vele…
Vagy a másikat.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
De csak az egyiket.
Az összeadásnál ez teljesen máshogy van.
Íme, itt egy összeadás.
Hogyha megszorozzuk 2-vel…
Akkor lesz 10 kocka meg 8 kocka.
Amikor egy összeadást szorzunk meg valamilyen számmal, akkor mindkét szereplőt meg kell szorozni vele.
Az összeadás szereplői tehát máshogyan viselkednek, mint a szorzás szereplői.
Éppen ezért máshogy is hívjuk őket.
Ezeket a szereplőket úgy hívjuk, hogy tényezők.
Ezeket pedig úgy hívjuk, hogy tagok.
A kettő közti különbség csokiban is kimutatható.
A zárójel azt csinálja, hogy összeragasztja a csokidarabokat.
A műveleti sorrend innentől kezdve a világ legegyszerűbb kérdése lesz...
Ez itt egy algebrai kifejezés:
Ezeket a számokat együtthatónak hívjuk…
Itt az x és az a valamilyen számokat jelöl.
Az x-et és az a-t pedig a változónak.
Algebrai kifejezések szereplői
együtthatók
változók
kitevő
Ezek itt az együtthatók…
És ezek a változók.
És itt jön két tipikus hiba…
Az együtthatókat mindig előjellel együtt kell nézni…
Itt az együttható –2…
Ez a – 16 itt pedig nem együttható.
Mert nincs mögötte változó.
Ezt úgy hívjuk, hogy konstans tag.
És most nézzük az egynemű kifejezéseket.
Ilyenből, hogy xy nincs több…
Van külön x és külön y, de azokkal ez nem vonható össze.
Hát jó, akkor ennyit erről…
Ugorjunk…
Úgy tűnik, ezzel sem tudunk mit kezdeni, mert a nem bukkan fel máshol.
Nézzük az x-eket…
Na, ebből végre még van máshol is.
Vonjuk is őket össze.
És úgy tűnik ennyi…
Mást nem tudunk összevonni.
