Algebra, nevezetes azonosságok
Válaszd ki, hogy melyik év középszintű érettségi feladataival szeretnél gyakorolni.
- 2020 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2020 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2019 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2018 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2017 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2016 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2015 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2014 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2013 MÁJUSI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
- 2012 OKTÓBERI MATEK ÉRETTSÉGI FELADATOK
-
ELSŐ RÉSZ
MÁSODIK RÉSZ
Zárójelek
A zárójel egy fontos matematikai szimbólum, ami a műveleteknél a műveletek sorrendjét befolyásolja. A zárójelben szereplő műveleteket mindig előbb kell elvégezni, mint a többi műveletet.
Nézzük például ezt:
$6-(2+3)= $
Itt először a zárójelben szereplő összeadást végezzük el, aminek az eredménye 5. És utána jön a többi művelet:
$6-(2+3)=6-5=1 $
Műveleti sorrend
Ha több művelet szerepel egymás után, akkor ezeket a műveleti sorrend szerint kell elvégeznünk.
A műveleti sorrendben az első mindig a zárójel, vagyis a zárójelben szereplő műveleteket kell elsőként elvégezni.
A második a szorzás és az osztás. Ha több szorzás és osztás van, akkor balról jobbra kell őket elvégezni.
Végül az utolsó szint az összeadás és kivonás, és itt is ha több is van belőlük, akkor balról jobbra kell elvégezni.
A hatványozás még egy kicsit bezavarhat a dologba, így érdemes megnézni külön a hatványozásról és a hatványazonosságokról szóló epizódokat is.
Most pedig nézzünk egy példát a műveleti sorrendre:
Pl.: $3\cdot (5-3)+2:2=3\cdot 2 +2:2 = 6 +1 = 7 $
Algebrai kifejezések
Az algebra az a része a matematikának, ami betűs kifejezésekkel foglalkozik. Az algebrai kifejezések olyan matematikai kifejezések, amik betűket is tartalmaznak.
Kiemelés
A kiemelés során egy többtagú kifejezést egy vagy többtagú kifejezések szorzatává alakítjuk át úgy, hogy minden tagból kiemeljük a közös részeket.
Törtek egyszerűsítése
A törtek egyszerűsítése azt jelenti, hogy a tört számlálóját és nevezőjét ugyanazzal a nem nulla számmal osztjuk. Ha nincs olyan szám, amivel mind a számláló és a nevező is osztható lenne, akkor már nem egyszerűsíthető tovább a tört.
Algebrai tört
Algebrai törteknek nevezzük azokat a törteket, melyek nevezőjében betűs kifejezés van.
Tehát ha csak a tört számlálójában van betűs kifejezés (pl. $x$), de a nevezőjében nem, akkor az még nem algebrai tört.
Nevezetes azonosságok
\( (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \)
\( (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2 \)
\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
Köbös azonosságok
\( a^3 + b^3 = (a+b) \left( a^2 -ab +b^2 \right) \)
\( a^3 - b^3 = (a-b) \left( a^2 +ab +b^2 \right) \)
\( (a+b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 + b^3 \)
\( (a-b)^3 = a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3 \)
Binomiális tétel
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)
Binomiális tétel
Binomiális tétel:
\( (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1}b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \dots + \binom{n}{n} b^n \)
Kifejezés értelmezési tartománya
Egy kifejezés értelmezési tartományán azt a legbővebb halmazt értjük, ahol értelmezve van.
A következőket érdemes megjegyezni:
\( \sqrt[ \text{páros}]{ \text{ez itt} \geq 0} \quad \sqrt[ \text{páratlan} ]{ \text{ez itt bármi}} \quad \log{ \left( \text{ez itt} > 0 \right)} \quad \text{ tört nevező} \neq 0 \)
pl.
$ \frac{2}{x-3}$ értelmezési tartománya $x \in R \setminus \{ 3 \}$, mert tört van benne és a tört nevezője nem lehet nulla ($x \neq 3$)
$\sqrt{2x+5}$ értelmezési tartománya $x \in \left[ - \frac{5}{2}, \infty \right[ $, mert páros gyök alatt van (második) és így a gyök alatti kifejezés $\geq 0$
Számoljuk ki ezeket:
a) $4+3=$
b) $3-4=$
c) $4-3=$
d) $6-(3+2)=$
e) $6-3+2=$
f) $6-3-2-1=$
g) $6-(3-2)-1=$
h) $6-3-(2-1)=$
i) $6-(3-2-1)=$
Számoljuk ki ezeket:
a) $5\cdot 4 = $
b) $4 \cdot 5 = $
c) $(5\cdot 4)\cdot 2= $
d) $(5+4)\cdot 2 = $
e) $2+3\cdot 4 + 5 = $
f) $(2+3)\cdot 4 + 5 = $
Számoljuk ki ezeket:
a) $7-4+2= $
b) $7-(4+2) = $
c) $7-2\cdot 3 =$
d) $5+4\cdot 3 + 2 = $
e) $5+ 4 \cdot (3+2) = $
f) $6+2+3\cdot 4 = $
g) $6+(2+3)\cdot 4 = $
h) $6\cdot 2 + 3 + 4 = $
i) $6 \cdot (2+3) + 4 = $
j) $7+7:7+7\cdot 7-7=$
k) $12:2\cdot 3 = $
l) $12:(2\cdot 3 ) = $
m) $8:2\cdot (2+2) = $
Végezzük el a műveleteket!
a) \( x^3 \left( a^4 -2x^2 +4a^4 +x \right) \)
b) \( \left( x^3 +2a^2 \right) \left( 5a^4 -2x^2 +x \right) \)
c) \( \frac{4}{x-5} - \frac{x}{x+3} \)
Emeljünk ki mindent, amit lehet
a) \( 3x^4-5x^3+6x^2 \)
b) \( 3a^4b-x^2a^3b+5a^2b^4 \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{3x^2-5x^4}{x^5-5x^4} \)
b) \( \frac{a^2x^3-a^3b^2}{a^5-x^4a^3} \)
c) \( \frac{a^3x^4-a^2b^2x^3}{a^5x^2-x^4a^3} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( (x+3)^2= ? \)
b) \( (y-5)^2= ? \)
c) \( \left( 2x+3y^2 \right)^2 = ? \)
d) \( \left( 3a^2-ab^3 \right)^2 = ? \)
Egyszerűsítsük, amennyire csak lehet:
e) \( \frac{xy^3-4x^3y}{xy^2+2x^2y} \)
f) \( \frac{x^4-y^4}{x^4y^2+x^2y^4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket:
a) \( 12x + 3x^2 - 4x^3 - 7x - x^4 + x^3 \)
b) \( 4x(5x^4 + 3x^2) - (4x^2 +5)(x+6) \)
c) \( (3x^4 +4x +x^3 y^2 ) \cdot x^2 + (4x^3 +5x^2y^4 + x^3 y^2 ) : x^2 \)
d) \( x^2 \cdot (3x^4 +4y^5 +6 z^3) \)
e) \( x^2 \cdot (3x^4 \cdot 4y^5 \cdot 6z^3) \)
f) \( \left( \frac{1}{x^2+2xy+y^2} + \frac{1}{x^2-y^2} + \frac{1}{x^2-2xy+y^2} \right) : \left( \frac{4x^2}{x^2-y^2} -1 \right) \)
Egyszerűsítsük az alábbi törteket
a) \( \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y} } \)
b) \( \frac{ 2 \sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} + \frac{ \sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1} - \frac{4x-2}{x-1} \)
a) \( (x+2)^3= ? \)
b) \( (x-4b)^3 = ? \)
c) \( \left( \frac{x+y}{x^3-y^3} + \frac{2}{(x-y)^2} - \frac{1}{x^2+xy+y^2} \right) : \frac{x^2-4y^2}{x^2-2xy+y^2} = ? \)
a) Mennyi $(a+b)^7$-nél az $a^2b^5$-es tag együtthatója?
b) Mennyi $(a+2)^7$-nél az $a^2$-es tag együtthatója?
c) Mennyi $(x+3)^8$-nál az $x^6$-os tag együtthatója?
Mi az értelmezési tartományuk?
a) \( \frac{3}{x} \)
b) \( \frac{x}{x-2} \)
c) \( \frac{5}{(x-2)\cdot (x+3)} \)
d) \( \frac{1}{x^2-4} \)
Végezzük el az alábbi műveleteket
a) \( \frac{x-3}{2}+\frac{x+2}{4}-\frac{x-1}{4} \)
b) \( \frac{x+1}{x}-\frac{2x}{x-1} \)
c) \( \frac{4}{x}+\frac{3}{2x} \)
d) \( \frac{x}{4} \cdot \frac{8}{x} \)
e) \( \frac{2x^2}{y^3} : \frac{6x}{y^5} \)
f) \( \frac{a+b}{a} : \frac{a^2-b^2}{a^3} \)
A csokit sokkal többen szeretik, mint az algebrát.
De az algebra csokival… Azt már szinte mindenki szereti.
Kezdjük is az összeadással.
Ez itt 3…
Ez a másik pedig 4.
Ha összeadjuk őket…
Akkor teljesen mindegy, hogy a 3 kocka csokihoz adunk hozzá 4-et, vagy fordítva…
A végén lesz 7 kocka csokink.
Az összeadás sorrendje tehát fölcserélhető.
Ezt úgy hívjuk, hogy kommutatív.
A kivonás már nem cserélhető föl.
Ha 4 kocka csokiból megeszünk 3 kockát…
Az teljesen más, mintha 3 kocka csokiból megeszünk 4 kockát.
Ezt otthon bárki kipróbálhatja.
A kivonás tehát nem felcserélhető, vagyis nem kommutatív.
De az izgalmak csak most jönnek.
Egy újabb adag csoki segítségével.
Teljesen mindegy, hogy a 4+3 kocka csokihoz adunk még hozzá 5 kockát…
Vagy a 4 kockához adunk 3+5 kockát.
Mindkét esetben 12 kocka csokink lesz.
Ezt a dolgot, amikor mindegy, hova tesszük ki a zárójelet, úgy mondjuk, hogy asszociatív.
Sőt, itt az összeadásnál egyáltalán nem is kell a zárójel.
Kivonásnál már más lesz a helyzet.
Itt van például ez:
A zárójel azt jelenti, hogy először az abban szereplő műveletet kell elvégezni.
És most jöhet a kivonás.
A zárójel összeragasztja a csokikockákat…
Most nézzük, mi a helyzet ezzel:
Zárójel nélkül már egészen más a helyzet.
Ilyenkor szépen megyünk balról jobbra…
És ha így van a zárójel…
Akkor először elvégezzük a zárójelben lévő műveletet…
Vagyis pontosan ugyanazt csináljuk, mint az előbb:
Zárójelek nélkül ebben nincsen semmi érdekes.
Szépen balról jobbra elvégezzük a kivonásokat.
Zárójelekkel már egészen más a helyzet…
Ilyenkor ezzel kezdjük…
Most nézzük, mi történik, ha mondjuk így tesszük ki a zárójeleket…
És lehetnek a zárójelek akár így is.
De a valódi izgalmak csak most jönnek. A szorzással…
És most nézzük, hogyan működik a szorzás…
Hát, így.
Ez egy tábla csoki ötször 4 kockával.
Vagy éppen négyszer 5 kockával.
A végeredmény ugyanaz: 20 kocka csoki.
És most lássunk valami érdekesebbet…
Hogyha most ezt megszorozzuk 2-vel…
A szorzás sorrendje is felcserélhető.
Vagyis a szorzás is kommutatív.
Amikor egy szorzatot megszorzunk valamilyen számmal…
Akkor a szorzatnak vagy az egyik szereplőjét szorozzuk meg vele…
Vagy a másikat.
Teljesen mindegy, hogy melyiket…
De csak az egyiket.
Az összeadásnál ez teljesen máshogy van.
Íme, itt egy összeadás.
Hogyha megszorozzuk 2-vel…
Akkor lesz 10 kocka meg 8 kocka.
Amikor egy összeadást szorzunk meg valamilyen számmal, akkor mindkét szereplőt meg kell szorozni vele.
Az összeadás szereplői tehát máshogyan viselkednek, mint a szorzás szereplői.
Éppen ezért máshogy is hívjuk őket.
Ezeket a szereplőket úgy hívjuk, hogy tényezők.
Ezeket pedig úgy hívjuk, hogy tagok.
A kettő közti különbség csokiban is kimutatható.
A zárójel azt csinálja, hogy összeragasztja a csokidarabokat.
A műveleti sorrend innentől kezdve a világ legegyszerűbb kérdése lesz...
Ez itt egy algebrai kifejezés:
Ezeket a számokat együtthatónak hívjuk…
Itt az x és az a valamilyen számokat jelöl.
Az x-et és az a-t pedig a változónak.
Algebrai kifejezések szereplői
együtthatók
változók
kitevő
Ezek itt az együtthatók…
És ezek a változók.
És itt jön két tipikus hiba…
Az együtthatókat mindig előjellel együtt kell nézni…
Itt az együttható –2…
Ez a – 16 itt pedig nem együttható.
Mert nincs mögötte változó.
Ezt úgy hívjuk, hogy konstans tag.
És most nézzük az egynemű kifejezéseket.
Ilyenből, hogy xy nincs több…
Van külön x és külön y, de azokkal ez nem vonható össze.
Hát jó, akkor ennyit erről…
Ugorjunk…
Úgy tűnik, ezzel sem tudunk mit kezdeni, mert a nem bukkan fel máshol.
Nézzük az x-eket…
Na, ebből végre még van máshol is.
Vonjuk is őket össze.
És úgy tűnik ennyi…
Mást nem tudunk összevonni.
