Elsőfokú függvények (1,7 pont)

A lineáris függvények nem túl izgalmas részei a matematikának. De hát néha velük is kell foglalkozni, úgyhogy nézzünk meg néhányat. Ez itt egy lineáris függvény. És két dolgot érdemes róla tudni. Az egyik, hogy milyen meredeken megy… Ezt meredekségnek hívjuk, és így jön ki: A másik dolog, amit érdemes tudni, hogy hol metszi a függvény grafikonja az y tengelyt. Ezt úgy hívjuk, hogy tengelymetszet, és a jele b. És íme, itt a lineáris függvények képlete: Most pedig nézzük, mire használhatnánk ezeket a lineáris függvényeket, jóra vagy rosszra… Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát. A függvény az x tengelyen lévő számokhoz rendeli hozzá… az y tengelyen lévő számokat. Íme, itt is van a függvény grafikonja, ami egy egyenes vonal. Számoljuk ki a meredekségét. Lássuk, mennyit megy fölfele… Semennyit, mert ez most lefele megy. Előre pedig 3-at. A meredekség tehát megvolna. Most pedig jöhet a tengelymetszet. Hát, ez valahol 3 és 4 között van. Ennél azért egy picit pontosabban kéne tudnunk… Itt van a függvény képlete. És azt már tudjuk, hogy a meredekség -1/3. Úgy tudjuk kiszámolni b-t, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján… és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe. De mi van akkor, ha egy másik pontot választunk? Mondjuk például ezt… Mindig ugyanaz jön ki. Hát, ezzel megvolnánk. Így elsőre nehéz elhinni, hogy ezek a lineáris függvények jók is valamire. Pedig azért néhány dologra lehet őket használni. Itt van például ez a vonat, ami reggel 6-kor indul… és 8 óráig megtesz 300 kilométert. Menet közben nem állt meg sehol, és végig állandó sebességgel haladt. A vonat által megtett utat ez a lineáris függvény írja le. A 300 kilométeres utat… 2 óra alatt tette meg. A vonat sebessége éppen a függvény meredeksége. Hogyha mondjuk 8 és 11 óra között a vonat 100 km/h sebességgel halad tovább… Akkor egy olyan függvényt kell rajzolnunk, aminek a meredeksége 100. Ezt a függvényt például arra tudjuk használni, hogy megmondja nekünk, mikor hol van épp a vonat. Ha kíváncsiak vagyunk például arra, hogy 10 óráig mekkora utat tett meg… Ekkorát. Itt jön aztán egy másik vonatos történet. Erről a vonatról annyit lehet tudni, hogy reggel 8-kor éppen 200 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 400-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 14 óráig? A vonat 8 óráig 200 kilométert tett meg… 11 óráig pedig 400-at. A vonat átlagsebessége állandó, ezért a megtett utat egy lineáris függvény írja le. Az remekül látszik a rajzon, hogy a vonat 5-kor indult. Az már kevésbé, hogy hol lesz 14 órakor. Persze készíthetnénk egy nagyobb rajzot is… De a matematika nem igazán rajzok készítésével foglalkozik. Az egy másik tantárgy. Lássuk inkább azt a függvényt, amely megmondja nekünk, hol tart épp a vonat. Kezdjük azzal, hogy, mekkora a meredekség… A b-t most is úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján… és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe. Íme, itt is van. És, hogy hol lesz a vonat 14 órakor?

Van itt ez a nagyon izgalmas lineáris függvény:

Mit rendel hozzá ez a függvény az  számhoz?

Ez egy igazán egyszerű kérdés, csak be kell helyettesíteni a függvénybe.

Itt jön aztán a következő kérdés.

Melyik az a szám, amihez a függvény az  értéket rendeli?

Most tehát az y tengelyen van a 2…

És keressük a hozzá tartozó x-et.

Hát ez is kiderült.

Hogyha már ennyit szenvedtünk ezzel a függvénnyel, rajzoljuk is föl.

A meredekség:

Az y tengelyt pedig 4-ben metszi.

Egyébként ez a rajzról is látszik.

Egy lineáris függvény a 2-höz 3-at, az 5-höz pedig 2-t rendel. Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát.

A függvény az x tengelyen lévő számokhoz rendeli hozzá…

az y tengelyen lévő számokat.

Íme, itt is van a függvény grafikonja, ami egy egyenes vonal.

Számoljuk ki a meredekségét.

Lássuk, mennyit megy fölfele…

Semennyit, mert ez most lefele megy.

Előre pedig 3-at.

A meredekség tehát megvolna.

Most pedig jöhet a tengelymetszet.

Hát, ez valahol 3 és 4 között van.

Ennél azért egy picit pontosabban kéne tudnunk…

Itt van a függvény képlete.

És azt már tudjuk, hogy a meredekség -1/3.

Úgy tudjuk kiszámolni b-t, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…

és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.

Van itt ez a nagyon izgalmas lineáris függvény:

Mit rendel hozzá ez a függvény az  számhoz?

Ez egy igazán egyszerű kérdés, csak be kell helyettesíteni a függvénybe.

Itt jön aztán a következő kérdés.

Melyik az a szám, amihez a függvény az  értéket rendeli?

Most tehát az y tengelyen van a 2…

És keressük a hozzá tartozó x-et.

Hát ez is kiderült.

Hogyha már ennyit szenvedtünk ezzel a függvénnyel, rajzoljuk is föl.

A meredekség:

Az y tengelyt pedig 4-ben metszi.

Egyébként ez a rajzról is látszik.

Reggel 6-kor elindul az egyik állomásról egy Railjet. A vonat által óránként megtett utat ábrázolja ez a grafikon.

Két órával később ugyanarról az állomásról egy ICE is elindul. A két vonat útvonala megegyezik, mindkét vonat átlagsebessége egész úton ugyanakkora. Hány órakor éri utol az ICE a Railjetet?

Számoljuk ki a vonatok átlagsebességét.

Ezt a 600 kilométeres utat…

az egyik vonat 3 óra alatt tette meg.

a másik pedig 4 óra alatt.

A vonatok sebessége éppen a lineáris függvények meredeksége.

Még ezt a szerencsétlen b-t kéne valahogyan kideríteni…

Például úgy, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…

és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.

Ugyanezt megcsináljuk a másik függvénnyel is.

A b-t itt is ki kell számolni...

Pontosan úgy, ahogy az előbb.

Amikor a vonatok találkoznak…

mindkét vonat éppen ugyanakkora utat tett meg.

A jelek szerint 14 órakor fognak találkozni.

Egy másik vonatról annyit lehet tudni, hogy reggel 8-kor éppen 300 kilométer utat tett már meg, 11 órakor pedig 600-at. A vonat átlagsebessége útja során végig állandó. Hánykor indult a vonat és mekkora utat tesz meg 13 óráig?

A vonat 8 óráig 300 kilométert tett meg…

11 óráig pedig 600-at.

A vonat átlagsebessége állandó, ezért a megtett utat egy lineáris függvény írja le.

Lássuk, mekkora a meredekség…

A b-t pedig úgy kapjuk meg, hogy veszünk egy pontot a függvény grafikonján…

mindegy melyiket…

és a koordinátáit behelyettesítjük a függvénybe.

A jelek szerint reggel 5-kor indult a vonat.

 13 órakor pedig itt lesz.

Egy kicsivel 750 kilométer után.

Hogyha ennél pontosabban is szeretnénk tudni…

Akkor be kell helyettesíteni a 13-at a függvénybe.

A vonat 800 kilométert tett meg.

Egy harmadik vonatról azt lehet tudni, hogy 10 óráig állandó átlagsebességgel haladt, és közben megtett 300 kilométert, majd innentől duplájára növelte az átlagsebességét és 12 óráig már 600 kilométert tett meg.

Mikor indult a vonat?