Középszintű matek érettségi epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan kell kiszámolni a gömb térfogatát és felszínét. Megnézzük, hogy mi az a főkör, mi történik, ha egy gömböt síkokkal metszünk, kiderül mi a gömbszelet, a gömbkétszög, az átmérő és a sugár. Megoldunk néhány feladatot gömbök felszínével és térfogatával kapcsolatban.
Itt jön egy újabb izgalmas térbeli alakzat, a gömb.
Hogyha a gömb középpontját…
…összekötjük a gömbfelület bármelyik pontjával…
az így keletkező szakaszok hossza állandó, és ez a hosszúság a gömb sugara.
A sugarat r-el jelöljük.
Ha meghosszabbítjuk ezt a szakaszt a másik irányba is…
Akkor egy átmérőt kapunk.
Az átmérő jele d, és mindig a sugár kétszerese.
Az r sugarú gömb felszíne és térfogata:
És most lássuk, mire használhatnánk ezeket a képleteket, jóra vagy rosszra…
A Föld sugara 6378 km.
A Mars sugara pedig 3397 km.
Számoljuk ki a Föld és a Mars felszínét, és térfogatát.
A Föld felszíne:
Legalábbis ennyi lenne akkor, hogyha a Föld gömb alakú lenne.
Csak hát a Föld nem gömb alakú…
De még mielőtt a lapos-Föld-hívők csillogó szemekkel néznék tovább ezt az epizódot …
Nem erről van szó.
A Föld szinte tökéletesen gömb alakú, néhol picike eltérésekkel, így a felülete valójában kicsit kisebb, úgy kb. 510 millió km2.
De most nem csillagásznak készülünk, úgyhogy maradunk ennél az 511 milliónál…
Nézzük, mekkora a felszíne a Marsnak.
Hát ez is jó nagy…
A Föld felszíne viszont sokkal nagyobb.
Ha elosztjuk a Föld felszínét a Mars felszínével:
Akkor azt kapjuk, hogy a Föld felszíne 3,5-ször nagyobb, mint a Marsé.
Most nézzük a térfogatokat.
A Föld térfogata:
A Mars térfogata pedig:
Nézzük, hányszorosa a Föld térfogata a Mars térfogatának.
A Mars majdnem hétszer beleférne a Földbe.
A Jupiter pedig még ennél is nagyob…
Hogyha elosztjuk ezt a Föld térfogatával…
A Jupiterbe 1408-szor férne bele a Föld.
Hogyha a gömböt egy síkkal elvágjuk…
Akkor két gömbszelet keletkezik.
Egy nagyobb meg egy kisebb.
Ha a sík éppen áthalad a gömb középpontján…
Akkor két egyforma méretű félgömbre vágja a gömböt.
Az így keletkező kör sugara éppen megegyezik a gömb sugarával.
Ezt a kört főkörnek nevezzük.
A Földön az egyenlítő például egy főkör.
És a hosszúsági körök is főkörök.
Egy hőlégballon lényegében szabályos gömb alakú. A ballont 14 darab egyenként 44 m2-es egyforma darabból, úgynevezett gömbkétszögből rakták össze. Milyen széles lesz a ballon, hogyha megtöltik levegővel? Hány köbméter levegő kell a megtöltéséhez?
Itt egy gömbkétszög.
De ez végülis mindegy is, hiszen a 14 darab 44 m2-es gömbkétszög éppen kiadja a teljes gömbfelületet:
A hőlégballon szélessége pedig…
A ballon átmérője.
Vagyis a sugár kétszerese.
A ballon térfogatát is könnyedén ki tudjuk számolni:
Egy mérőedényben 2 liter víz van. Beleejtünk egy gömb alakú vasgolyót, és ennek hatására a vízszint 3,5 literre emelkedik. A víz a vasgolyót teljesen ellepi. Mekkora a vasgolyó felszíne cm2-ben megadva?
Íme, a mérőedény vasgolyó nélkül…
És vasgolyóval.
A golyó térfogata éppen annyi, amennyivel többet mutat a mérce.
A jelek szerint egy 1,5 literes vasgolyóval van dolgunk.
Ezt most megpróbáljuk átváltani köbcentire.
Egy 10 cm x 10 cm x 10 cm méretű kocka éppen 1 liter.
A felszín pedig:
Hát, ennyit a gömbökről…
Középszintű matek érettségi epizód.