Középszintű matek érettségi epizód tartalma:
Már mutatjuk is, hogyan kell kiszámolni egy csonkagúla térfogatát és felszínét. Aztán megnézzük a csonkakúp térfogatát és felszínét is. Lépésről lépésre megoldunk csonkakúpos és csonkagúlás feladatokat, és az epizód végére lazán menni fog a képletekkel való számolás. Sőt, készítünk külön képletet a négyzet alapú csonkagúla térfogatára és felszínére, és megnézzük a annak a csonkakúpnak a térfogatát és felszínét, aminél az alapkör sugara R, a fedőkör sugara r, az alkotója pedig a.
Itt vannak ezek a szokásos testek...
Hogyha egy vízszintes síkkal levágjuk a tetejüket...
A hasábokkal olyan túl sok dolog nem történik.
Egy kicsit alacsonyabbak lesznek.
A gúlákat és a kúpokat viszont jobban megviseli a dolog.
Az így keletkező testeket a csonkagúlának és csonkakúpnak nevezzük.
Most pedig lássuk a felszínüket és a térfogatukat.
Az alaplap területét T-vel, a fedőlap területét pedig t-vel jelöljük.
A felszínt úgy kapjuk meg, hogy ezeket összeadjuk, és még hozzáadjuk a palást területét.
Éppen itt is van egy csonkagúla és egy csonkakúp…
Számoljuk ki a térfogatukat és a felszínüket.
A négyzet alapú egyenes csonkagúla alapéle 20 cm fedőéle 8 cm, magassága 12 cm.
A csonkakúp alapkörének átmérője 26 cm a fedőkör átmérője 16 cm és a magassága 12 cm.
Számoljuk ki a térfogatukat és a felszínüket.
Kezdjük a térfogattal.
csonkagúla alapéle
És most jöhet a felszín.
A csonkagúla felszínét úgy kapjuk meg, hogy vesszük az alaplapot, meg a fedőlapot…
És hozzáadjuk a palást területét.
Ami négy darab trapézból áll.
Éppen itt is van az egyik.
A trapéz alapjai a és b…
A trapéz területe pedig…
De sajnos van itt egy kis gond…
Az eredeti csonkagúla magasságát jelöltük m-mel.
A trapéz magassága pedig nem ugyanakkora, mint a csonkagúla magassága.
Jelöljük a trapéz magasságát, mondjuk h-val.
át így kénytelenek vagyunk egy másik betűvel jelölni.
És most nézzük, mekkora egy ilyen trapéz magassága…
Egy Pitagorasz-tétel fog tudni nekünk ebben segíteni.
Végül nézzük a csonkakúp felszínét is…
Vesszük az alaplapot meg a fedőlapot…
És még hozzáadjuk a palást területét.
A csonkagúlák palástjának területére szerencsére van egy remek kis képlet:
Itt ez a bizonyos a a csonkakúp alkotója.
Lássuk, mekkora vajon ez az alkotó…
Ebben ismét Pitagorasz fog tudni nekünk segíteni…
Két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
Számoljuk ki a térfogatát és felszínét.
Egy 95 méter magas rakéta két hengerből, egy csonkakúpból és egy kúpból áll.
A nagyobbik henger magassága 65 méter, átmérője 8 méter. Erre illeszkedik a csonkakúp, amely 12 méter magas, majd felette található a másik henger, melynek magassága 13 méter és átmérője 6 méter. A rakéta csúcsa egy 5 méter magas kúp.
Számoljuk ki a térfogatát és a felszínét.
De van még itt egy kis gubanc…
Ezek ugyanis egymáson vannak…
A henger teteje és a csonkakúp alja tehát a rakéta belsejében van.
A rakéta felszínébe ezeket nem számoljuk bele.
Ezek szerint a henger felül nyitott, és a felszíne pedig…
És most jöhet a csonkakúp.
És ennek az alaplapja meg a fedőlapja sem fog kelleni.
A csonkakúp alapkörének sugara ugyanakkora, mint az alatta lévő hengeré…
A fedőkörének sugara pedig akkora, mint a felette lévő hengeré.
És most lássuk a csonkakúp felszínét.
Az alaplap és a fedőlap most nem kell…
Mert alulról az egyik henger csatlakozik a kúphoz, felülről pedig a másik.
Így aztán elég csak a csonkakúp palástjának a területét kiszámolni.
Itt az a a csonkakúp alkotója.
Itt jön aztán a másik henger…
A felszínnél itt sem kell az alaplap és a fedőlap…
És végül jön még ez a kúp.
A kúp alapkörének a sugara ugyanúgy 3 méter, mint az előbb a hengeré.
És a kúp alaplapja ugyanúgy nem fog kelleni a felszínhez.
Középszintű matek érettségi epizód.