Trigonometria, szinusztétel, koszinusztétel (8,8 pont)

a) Egy világítótorony teteje 32 fokos emelkedési szögben látszik abból a csónakból, ami a torony lábától 100 méter távolságban van. Milyen magas a torony?

b) Egy 50 méter magas világítótorony tetejéről egy hajó 14°-nyi depresszió szög (vízszinteshez képest lefele mért szög) alatt látszik. A torony alja éppen a tenger szintjében van. Milyen távol van a hajóa torony aljától?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 12 cm hosszúak, és az alapon fekvő szöge 70 fokosak. Mekkora az alap és mekkora a háromszög területe?

b) Egy másik egyenlőszárú háromszögben az alap 16 cm, a szárak pedig 12 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögei és a terület?

c) Egy egyenlőszárú háromszög szárai 10 cm-esek, a szárak által bezárt szög pedig 50 fokos. Mekkora a háromszög területe és az alapja?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy trapéz két alapja 20 cm és 10 cm, az egyik szára 12 cm és ez a szár 60°-os szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe és negyedik oldala?

b) Egy másik trapézban a hosszabbik alapon fekvő szögek 45 és 60 fokosak, a trapéz magassága 12 cm, a trapéz területe pedig 156 cm². Mekkorák a trapéz oldalai?

a) Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek a területe, amelynek szárai 12 cm hosszúak, és a szárak által bezárt szög 30 fok.

b) Egy másik egyenlő szárú háromszögről azt tudjuk, hogy az alapon fekvő szögei 30 fokosak, és a szárak 10 cm hosszúak. Mekkora a háromszög területe?

c) Egy paralelogramma oldalainak hossza 16 cm és 12 cm, az általuk bezárt szög 30°. Mekkora a paralelogramma területe?

d) Egy paralelogramma egyik átlójának hossza 7 cm és ez az átló 40 fokos szöget zár be a paralelogramma 12 cm hosszú oldalával. Mekkora a paralelogramma területe?

e) Egy trapézról tudjuk, hogy a két alapja 16 cm és 10 cm, az egyik szára 8 cm és ez a szár 60 fokos szöget zár be a hosszabbik alappal. Mekkora a trapéz területe?

Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 13 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 5 cm távolságban haladó szelővel.

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Egy háromszögben \( a=12 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 40° \). Mekkorák a háromszög oldalai és a körülírt kör sugara?

b) Egy másik háromszögben \( a=12 \), \( b=13 \) és \( \alpha = 50° \). Mekkora a \( c \) oldal?

c) Egy harmadik háromszögben \( a=8 \), \( b=13 \) és \( \beta= 60° \). Mekkora a \( c \) oldal?

d) És végül egy negyedik háromszögben \( a=12 \), \( b=13 \), \( c= 8 \) és \( \gamma = 37° \). Mekkorák a háromszög szögei?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Az \( ABC \) háromszögben \( BC=14 \), \( AC=12 \), és az \( ACB \) szög 60°-os. Mekkorák az \( AB \) oldal és a háromszög területe?

b) Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a szemben levő szög 60°. A másik két oldal összege 8 cm. Mekkora a másik két oldal és a háromszög területe?

Végezzük el az alábbi feladatokat:

a) Az \( ABC \) háromszögben \( BC=16 \), \( AC=12 \), és az \( ACB \) szög 60°-os. Mekkora az \( AB \) oldal és a háromszög területe?

b) Egy másik háromszögben \( a=16 \), \( \alpha = 30° \), \( \beta = 40° \). Mekkorák a háromszög oldalai és a háromszög területe?

c) És itt jön végül ez a harmadik háromszög, amiben a három oldal \( a=10 \), \( b=12 \) és \( c=16 \). Mekkorák a háromszög szögei és a háromszög területe?

a) Egy szikla tetején álló világítótoronyhoz vezető út a vízszinteshez képest 14°-os szögben emelkedik. Az út a szikla aljától indul és egyenesen halad a torony lábához, a hossza 150 méter. Milyen magas a szikla és hány fokos szögben látszik a vízszinteshez képest az 50 méter magas torony tetejéből az út eleje?

b) Egy másik világítótorony 30 méter magas sziklára épült. A torony teteje 15°-os emelkedési szögben, az alja 10°-os emelkedési szögben látszik egy hajóról. Milyen magas a torony?

c) Egy hegycsúcs tengerszint feletti magasságát szeretnénk megmérni. A hegycsúcs alatt elterülő völgyben 1800 méteres tengerszint feletti magasságban lézeres mérőeszközzel megállapítjuk, hogy a hegy csúcsa éppen 6854,11 méter távolságban van. A lézernyaláb emelkedési szöge 24 fokos. Milyen magas a hegycsúcs?

a) Egy toronyantennához 640 m hosszú egyenes út vezet, melynek emelkedési szöge 10°. Az út elejéről az antenna csúcsa az úthoz képest 20° emelkedési szög alatt látszik. Milyen magas az antenna?

b) Egy hegycsúcs 7 fokos emelkedési szögben látszik egy vele szomszédos 3089 méter magas hegyről. Ha a hegycsúcs irányában elindulunk egy 1 km hosszú 45 fokos lejtőn lefelé, akkor a lejtő aljáról ugyanennek a hegycsúcsnak a teteje 11,2 fokos emelkedési szögben látszik. Milyen magas a hegycsúcs?

a) Egy torony árnyéka a vízszintes talajon kétszer olyan hosszú, mint a torony magassága. Hány fokos szöget zár be ekkor a Nap sugara a vízszintes talajjal?

b) Egy egyenlőszárú háromszög alapja 12 centiméter, a szárai pedig 16 centiméteresek. Mekkorák a háromszög szögei?

a) Egy húrtrapéz két párhuzamos oldalának hossza 20 cm és 8 cm, az alapon fekvő szögei $\alpha=60°$. Mekkorák az oldalak és a trapéz területe?

b) Egy húrtrapéz két párhuzamos oldalának hossza 10 cm és 6 cm, területe $40 cm^2$. Mekkorák a trapéz szögei?

c) Egy egyenlőszárú trapéz szárai 30 fokos szöget zárnak be az egyik alappal. A szárak hossza 8 cm, a trapéz területe $36 cm^2$. Mekkora a trapéz kerülete?

Egy függőleges tartórúdra a talajtól 4 m magasan mozgásérzékelős lámpát szereltek, ami 140°-os nyílásszögű forgáskúpban világít függőlegesen lefelé.

a) Milyen messze van a lámpától a legtávolabbi megvilágított pont?

b) Megvilágítja-e az érzékelő lámpája azt a tárgyat, amelyik a talajon a tartórúd aljától 15 m távolságra van?

Számoljuk ki annak a körszeletnek a területét, amelyet egy 15 cm sugarú körből vágunk le a kör középpontjától 8 cm távolságban haladó szelővel.

a) Egy egyenlőszárú háromszögben az alap 10 cm, a szárak pedig 16 cm-esek. Mekkorák a háromszög szögei?

b) Egy egyenlőszárú háromszögben az alap és a szár összege 11 cm, az alapon fekvő szögek 53° nagyságúak. Mekkorák a háromszög oldalai, csúcsnál fekvő szöge, és területe?

c) Egy egyenlőszárú háromszög területe $108 \; cm^2$, a csúcsánál levő szöge $36°$. Mekkora az alapja és a magassága?

a) Egy derékszögű háromszögben $\tan{\alpha}=\frac{3}{4}$, a háromszög területe pedig $24 \; cm^2$.

Mekkorák a háromszög oldalai?

Mekkora a köré írható kör sugara?

b) Egy hegyre két ösvény vezet, melyek azonos szintről, ellentétes oldalról, egymástól 500 m távolságról indulnak. Az ösvények emelkedési szöge 32° és 42°. Milyen magas a hegy?

Az óceánban fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 18 km. A rengés középpontja a sziget partjától 17 km távolságban volt. Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve?

Számoljuk ki az adott derékszögű háromszögekben a hiányzó oldalakat és szögeket, ha

a) $a=12, \beta=48° $

b) $b=14, \alpha=34° $

c) $a=6, b=8$

Egy háromszög egyik oldala 6 cm, a másik két oldal különbsége 4 cm, és a 6 cm-es oldallal szemközti szög 75°-os. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?

Az \( ABC \) hegyesszögű háromszögben legyen az \( AB \) oldal felezőpontja \( C_1 \). Az \( AB \) oldal hossza 36, a \( CC_1 \) szakaszé 24, továbbá a \( C_1CB \) szög 40°-os

a) Mekkora a háromszög \( B \) csúcsnál lévő belső szög?

b) Mekkora a \( BC \) oldal hossza?

c) Mekkora a háromszög területe?

Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú. Az ezzel az oldallal szemközti szög 28,96°. A másik két oldal négyzetének összege 625 \( cm^2 \). Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?

a) Egy háromszög három oldala $a=5$, $b=6$ és $c=10$.

Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

b) Egy háromszög három oldala $a=6$, $b=8$ és $c=12$.

Mekkora a háromszög legnagyobb szöge?

Egy háromszög szögei: ABC szög 50°-os, BCA szög 60°-os, CAB szög 70°-os, és BC=5.

a) Mekkora a háromszög területe?

b) Mekkora a köré írható kör sugara?

Egy toronyantennához 230 m egyenes út vezet, melynek emelkedése 21°. Az út elejéről az út síkjához képest az antenna csúcsa 39° szögben látszik. Milyen magas az antenna?

Egy hegymászó a hegyoldal valamely pontjából a tőle 1657 m távolságban levő hegycsúcsot 23° emelkedési szögben s ugyanennek a hegycsúcsnak a tükörképét az alatta elterülő tó tükrében 49°-os depressziószög alatt látja. Milyen magasan van a hegymászó, s milyen magasan van a hegycsúcs a tenger színe felett, ha a tó felszíne 608 m-nyire van a tenger színe felett?

Az \( ABC \) hegyesszögű háromszögben \( BC=14 \), \( AC=12 \), és a \( BCA \) szög 40°-os. Mekkora az \( AB \) oldal? Legyen az \( AB \) oldal felezőpontja \( C_1 \) és a \( BC \) oldal felezőpontja \( A_1 \). Mekkora az \( AC_1A_1C \) négyszög területe?

Egy derékszögű háromszögben \( \tan{\alpha}=\frac{3}{4} \), a háromszög területe pedig \( 24 cm^2 \).

a) Mekkorák a háromszög oldalai?

b) Mekkora a köré írható kör sugara?

Az \( ABCD \) trapéz oldalainak hossza: \( AB=10 \), \( BC=5 \), \( CD=4 \), \( DA=5 \).

a) Számítsa ki a trapéz szögeit!

b) Határozza meg az \( ABC \) és \( ACD \) háromszögek területének arányát!

c) A trapéz belső szögeit egy-egy 5mm sugarú körívvel jelöljük be. Számítsa ki a négy körív hosszának összegét!

Az \( ABCD \) trapéz oldalainak hossza: \( AB=10 \), \( CD=6 \), \( AD=7 \). Az \( A \) csúcsnál fekvő belső szög 70°-os.

a) Mekkora távolságra van a \( D \) pont az \( AB \) oldaltól?

b) Számítsa ki a négyszög \( AC \) átlójának hosszát!

Az \( E \) pont az \( AD \) és \( BC \) szárak egyenesének metszéspontja.

c) Számítsa ki az \( ED \) szakasz hosszát!

Egy háromszög egyik oldala 5 cm, a másik két oldal összege 8 cm, és az 5 cm-es oldallal szemben lévő szög 60°. Mekkora a másik két szög, és a másik két ismeretlen oldal?

Az $ABCD$ húrnégyszögben $AB=20$, $BC=18$, az $ABC$ szög 70°-os, a $CAD$ szög 50°-os. Milyen hosszú a $CD$ oldal és mekkora a húrnégyszög területe?

Egy háromszög kerülete $598 \; cm$, $a=258 \; cm$, $\alpha = 98°33'$. Mekkorák a háromszög ismeretlen oldalai és szögei?