Lineáris algebra képsor tartalma:

Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy mik azok a kvadratikus alakok. | Kvadratikus alakok mátrixa, Polinomok, Homogén polinomok, Kvadratikus alak felírása mátrix alapján. |

A képsor tartalma

Ha   szimmetrikus mátrix és  egy vektor -ben, akkor a

kifejezést kvadratikus alaknak nevezzük.

Ezek a kvadratikus alakok nagyon barátságosak, nézzünk is meg egy példát.

Legyen mondjuk

  és 

A hozzájuk tartozó kvadratikus alak

Számoljuk ki. A szorzásokat kell hozzá elvégezni, kezdjük hátulról.

Aztán még ezeket is összeszorozzuk.

És felbontjuk a zárójeleket.

Íme itt a kvadratikus alak.

Azért hívják kvadratikusnak vagyis négyzetesnek, mert ez mindig egy homogén másodfokú kifejezés. Ez azt jelenti, hogy az x-ek vagy négyzeten vannak benne,

vagy elsőfokúak, de akkor meg vannak szorozva egy másik elsőfokúval és így az is négyzetesnek számít.

Nézzünk meg egy másik kvadratikus alakot is.

  és 

Most az  mátrix -as, így az  vektornak is 3 koordinátája van.

Rettenetes lenne viszont megint elvégezni a szorzásokat, főleg, hogy most -as.

Szerencsére van itt egy trükk. Nem is olyan nagy trükk.

A kvadratikus alak valahogy úgy fog kinézni, hogy lesz benne  aztán lesz  és , meg lesznek vegyes tagok.

A kérdés csak az, hogy hány darab lesz ezekből. A válasz pedig éppen az  mátrix.

Hát ez kész.

A dolog fordítva is működik, tehát ha van egy kvadratikus alak, akkor abból fel tudjuk írni a mátrixát.

ez például jó is:

Van itt egy kvadratikus alak:

A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,

egy olyan  vektort amire

és egy olyan  vektort amire

Olyan vektort könnyű találni,

amire a kvadratikus alak pozitív.

Olyat már nehezebb, amire negatív,

de azért ilyen is van.

Aztán van itt egy másik kvadratikus alak is:

A feladatunk az, hogy találjunk két vektort,

egy olyan  vektort amire

és egy olyan  vektort amire

Olyat most is könnyű találni,

amire a kvadratikus alak pozitív.

próbáljuk ki ezt:

Olyat viszont nehezebb, amire negatív.

Sőt, nemhogy nehezebb, hanem lehetetlen.

Ez a kvadratikus alak tehát

tud pozitív és negatív is lenni.

Ez a kvadratikus alak viszont

csak pozitív tud lenni

A kvadratikus alakoknak ezekkel az érdekes szokásaival fogunk most foglalkozni.

A  kvadratikus alak

pozitív definit, ha minden

vektorra

negatív definit, ha minden

vektorra

pozitív szemidefinit, ha minden

vektorra

negatív szemidefinit, ha minden

vektorra

indefinit, ha van olyan  és ,

hogy   és

A definitség eldöntésében a kvadratikus alak mátrixa segít minket.

ha a kvadratikus alak  mátrixa

pozitív definit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

negatív definit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

pozitív szemidefinit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

negatív szemidefinit

ha a kvadratikus alak  mátrixa

indefinit

Van itt egy kvadratikus alak, a feladatunk az, hogy döntsük el a definitségét.

Lássuk a mátrixot!

Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.

Ehhez lássuk a sarokfőminorokat.

első sarokfőminor:

3

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

ez tutira 13 

Hát úgy tűnik ez egy pozitív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is pozitív definit.

Nézzünk meg egy másikat is.

Van itt egy másik kvadratikus alak is, döntsük el ennek is a definitségét.

Már csak annyi dolgunk van, hogy eldöntsük, a kvadratikus alak mátrixának definitségét.

Ehhez jönnek a sarokfőminorok.

első sarokfőminor:

-5

második sarokfőminor:

harmadik sarokfőminor:

Hát úgy tűnik ez egy negatív definit mátrix, tehát a kvadratikus alak is negatív definit.

Kvadratikus alakok

09
 
Hopsz, úgy tűnik nem vagy belépve, pedig itt olyan érdekes dolgokat találsz, mint például:

Itt röviden és szuper-érthetően meséljük el neked, hogy mik azok a kvadratikus alakok. | Kvadratikus alakok mátrixa, Polinomok, Homogén polinomok, Kvadratikus alak felírása mátrix alapján. |

Itt jön egy fantasztikus
Lineáris algebra képsor.

Hozzászólások

Még nincs hozzászólás. Legyél Te az első!